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1、不变性与不变量,深圳大学 张文俊,2018-10-24,领悟数学的真谛感受数学的魅力,深圳市魏国良名师工作室数学文化通俗讲座,从指纹到DNA,如何证明你是你？,不变性,随意写一个个位数与百位数不等的三位数A。,一个游戏,将A倒着写（个位与百位互换）得到一个新数B。,计算A与B之差（大的减小的，三位），记作C。,将C倒着写（个位与百位互换）得到一个新数D。,计算C+D 结果记作E。,一个游戏,你得到了什么？,计算 E - 65 =？,10 24,今天的日子：10月24号,不变性,模式,现实世界的自然与社会现象，存在且变化其存在具有某种本质、共性和联系其变化具有某种规律这些本质、共性、联系与规律，
2、以理想化的数学模式而呈现模式本身是规律，规律反映变化，变化亦有规律事物在变，变的方式可能不变，变化的变化、规律的规律可能不变。,观点1,数学关注不变性,数学关注什么本质、共性与不变性规律、联系与不变性,不变性与不变量,数学关注什么,1,本质、共性、规律、联系,共性：多种事物的共性,规律：一系列事物的规律,联系：不同事物的联系,数学关注什么？,数与形模式与秩序,本质：一件事物的本质,不依对象而变,不随时间而变,不随过程而变,一定角度不变,不变性,本质、共性、规律、联系，从某种角度去看，在某种程度上都是不变性。,数学关注本质、共性、规律与联系,观点2,本质、共性与不变性,2,江山易改本性难移,万事
3、万物均以一定的形态存在于空间之中；并受诸如长度、面积、体积、质量、浓度、温度、色度等各种量的制约。万事万物万象的变化与发展均以形的变换、量的增减来反映。,数学关注数与形万物之本,数学的定义之一：数学是研究数与形的科学,从生活到数学,生活中,数学中,2,3,+,= 5,3 + 2 = 2 + 3,m + n = n + m,抓本质 抽象化,从生活到数学,生活中,数学中,直线,时空弯曲？,抓本质 抽象化,抄近路,轴对称、中心对称、旋转对称,案例1 概念：对称性,对称的本质,所谓对称，就是图形在某种运动或变换下保持不变的性质。,有一个轴线，图形关于该轴线左右反射不变。,有一个中心，图形围绕该中心旋转
4、或者反射不变。,有一个中心，图形围绕该中心旋转一定角度不变。,稳定、均衡 = 不变性,周长与直径之比,案例2 结论：圆周率,圆的本质,圆、椭圆、球、椭球周长、面积、体积、表面积三角形内角和，几何的分类（欧氏、黎曼、罗巴切夫斯基）正态分布、周期性,万事万物总是在不断地运动与变化中。变化过程中总有某些方面、某些特征在某种程度上保持不变。正是这些不变的部分，才是事物的本质，或者是起根本作用的部分。数学中许多定理反映的都是数学对象的本质，表现为某种不变性。比如： 三角形内角和；圆周率；勾股定理，等等,本质=内在性质=不变性,观点3,万事万物万象之所以存在，必然有其存在的方式和道理，也会以一定的模式与秩
5、序呈现。万事万物千差万别，但是，许多看起来不同的事物却有着共同的部分（共性）。,数学关注模式与秩序万事之理,数学的定义之二：数学是研究模式与秩序的科学,集合 + 结构,数学 = 集合+结构,数学中基本的集合：各种数的集合；各类图形；各类函数；各种空间；一般抽象集合；,数学中的基本结构：代数结构(反映“合作”关系的各种运算及其算律);顺序结构(反映对比关系的大小、先后，反映隶属关系的蕴涵);拓扑结构(反映亲疏程度与规模大小的距离)。,度量,计算,对比,数学的具体对象,面对一个现实问题如何通过数学手段解决现实问题？,判断,最后运用逻辑进行判断、预测、决策。,数学关注模式，关注共性集合概念（满足一定
6、【同样】属性的)各种定义（按照共同属性分类的结果）各种公式（不同对象遵从的统一法则）同构、同态、同胚（某种方面的本质相同性）,案例3 模式：七桥问题,能否不重复地走遍七座桥？,抽象化,模型化,3度,一笔画定理：一个图能够一笔画的充分必要条件是，图中不存在度数为奇数的点，或者只有两个这样的点。,案例4 共性：欧拉公式,3,空间上任意多面体，其顶点数 v，连接顶点的线段数 e ，与其围出的区域数 f 满足,f e + v =2,欧拉公式,变中有恒,显而易见：平面上任意多边形，其边界上的线段数 e 与顶点数 v 相同（e = v），其围出的区域数为 f =1。,f e + v =1,变中有恒,欧拉公
7、式,3,这个网络图形中，围出的区域数为f =30，而其顶点数 v = 42，连接顶点线段数 e =35（竖）+36（横）=71。,f e + v =1,多一条边，多一个区域；多一个顶点，多一条边。,f e + v =1,变中有恒,欧拉公式,平面上任意网络图形，其顶点数 v，连接顶点的线段数 e ，与其围出的区域数f 满足,f e + v =1,变中有恒,欧拉公式,空间上任意多面体，其顶点数 v，连接顶点的线段数 e ，与其围出的区域数 f 满足f e + v =2。,f e + v =2,欧拉公式,平均速度问题,前一半时间平均速度为a1，后一半时间平均速度为a2，全程平均速度是,前一半路程平均
8、速度为a1，后一半路程平均速度为a2，全程平均速度是,算术平均,调和平均,案例5 调和平均,从算术平均到调和平均,顺水逆水问题,一艘轮船从重庆到武汉顺水而下，每小时行驶50公里；从武汉到重庆逆水而上每小时行驶40公里。问来回全程平均每小时行驶多少公里？,更多的场景,轮胎问题,一辆汽车有大小一样的前后四轮，对同样质量的轮子，安装在前面可以行驶4万公里，安装在后面则可以行驶6万公里。为了使四个轮胎最终同时报废，使用期间可以进行一次前后轮胎调换。问何时调换？最终能够行驶多少公里？,更多的场景,工程问题,一项工程，甲工程队单干需要40天，乙工程队单干需要60天，甲乙两队同时合作干需要多少天？,更多的场
9、景,思考：销售问题,一批水果，其中30公斤苹果，30公斤梨。甲销售：苹果10元2公斤，梨10元3公斤，总收入250元；乙销售：苹果和梨一起按照10元2.5公斤混合销售，总收入240元。乙比甲少收入10元。钱哪去了？,每公斤 a 元与每元 a 公斤的计价区别。,请注意,对比，发现共性,横向来看，许多看起来不同的事物却有着共同的部分，共性 = 不随对象而变。数学中许多概念提出的依据是共性；数学中的许多结论：公式、法则、定理等，反映的是共性。共性是某种不变性。比如多边形外角和 三角形面积公式 加法交换律 欧拉公式,共性=共同性质=同则不变,观点4,规律、联系与不变性,3,动中有静 变中有恒乱中有序
10、异中有同,万变不离其宗,事物之所以存在，必然有其某些方面、某种程度的秩序性、规律性与稳定性。规律性是可以被认识的。,数学关注规律乱中有序,数学是研究模式与秩序的科学,观点5,万事万物的变化过程（随着时间的变化、规模的变化等）总是呈现出某种模式，模式蕴含规律，规律蕴含周期、蕴含稳定，稳定蕴含不变。,模式规律周期稳定不变,规律不是周期，但规律蕴含周期函数是表达规律的一种手段，具有周期性的三角函数是表达函数的一种基本元素（Fourier展开）,规律性蕴含周期性,在实数范围内，指数函数不是周期函数，但在复数范围内 eix = cos x + i sin x,动力系统是整个空间内的系统，但由其周期点决定
11、,规律性蕴含周期性,复解析动力系统中：稳定集由其吸性周期点和中性周期点决定；非稳定集由其斥性周期点决定。,规律性蕴含周期性,递归变化与周期性有理数与循环小数,案例6规律与周期：多项式通项的数列,1、2、3、4、5、6、7、,1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,0，,1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、,1 , 4, 9 , 6 , 5 , 6 , 9 , 4 , 1 ,0，,2、6、12、20、30、42、56、72、90、110、,2 , 6, 2 , 0 , 0 , 2 , 6 , 2 , 0 ,0，,递增数列的个位数规律,周期性、不动点
12、、方程的根,周期蕴含稳定 稳定蕴含不变,周期的本质,所谓周期，就是周而复始，不断重复。,周期 = 重复 = 不变性,0.142857 142857 142857 ,案例7 变中有恒之 不动点定理,很明显：一根橡皮筋，固定一个端点，拉住另一端延长，除被固定的端点外，橡皮筋上点的位置都要移动，但是，其端点（起点）始终不动。,一个圆盘，围绕中心旋转，除中心点外，内部点的位置都要运动，但是，中心始终未动，而且整个图形未动。,不动点定理：若函数 f 是有界闭区间a,b到其内部（可含边界）的连续函数，则在a,b内至少存在一点c，使得 f (c) = c。,O,a,b,a,b,证明：如果 f (a) = a
13、 或使得 f (b) = b, 自明。否则，考虑函数 g (x) = f (x) x，则g (a) 0 且 g (b) 0, 从而在(a,b)内至少存在一点c，使得 g (c) = 0.,C,C,应用：任何一张准确绘制的地图，把它放在地面上，一定有一个点正好与该点所代表的点一致。,应用：我们的身体,手指的指纹,头发的漩涡,应用:天体、气候任何一个时刻，地球上一定有一个点处是无风的。,规律性代表秩序性、稳定性稳定性蕴含不变性,规律性蕴含稳定性,数列与函数的极限问题。,案例8 高次幂开方的稳定性,每天进步一点点,最强大脑？中国雨人周玮，人人都可做！比如：中国人的任何一个手机号码，都可以说出开16次
14、方的结果（精确到两位小数）,规律变化模式,刻画连续量变化的指标导数（变化率）刻画离散量变化的指标差分（变化率）不变的特征导数、差分为0,f (x) = c ; f (x) = 0, 不变。,案例9 微分与函数变化,f (x) = 3x ; f (x) = 3, 匀变。,n 次幂函数，n+1阶导数为0.指数函数，各阶导数不变正余弦函数，各阶导数周期变化。,基本初等函数的不变性,f (x) = ex ; f (x) = ex , 同变。 f (x) = sin x ; f (x) = cos x 。 f (x) = cos x ; f (x) = -sin x, 循变,1、2、3、4、5、6、7、
15、,案例10 差分与数列变化,1、1、1、1、1、1、1、,0、0、0、0、0、0、0、,1、4、9、16、25、36、,3、5、7、9、11、,2、2、2、2、2、2、2、,0、0、0、0、0、0、0、,规律的本质0与不变性,任何以多项式为通项的数列都如此,观点6,变化有规律，规律在变化。变化的变化、规律的规律，可能不变。,万事万物不是孤立存在的，而是相互依存、相互联系的。万物万象之所以会发生和以某种方式发生，不是偶然的，而是有其特殊的原因，因果呼应。,数学关注联系情中有理 理中有用,案例11 杨辉三角,杨辉三角,(a+b)n,二项式展开系数,杨辉三角与数列,杨辉三角,等比级数,1,2,4,8
16、,16,32,64,128,杨辉三角与数列,杨辉三角,斐波那契数列,1,1,2,3,5,8,13,21,34,杨辉三角与数列,杨辉三角,各斜线数列通项：,由此可以依次导出前n个自然数的各次方求和公式。,案例12 斐波那契数列,问题,妈妈买来8个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？,第一思维层次分类穷举,一天吃完：1种,两天吃完：(6,2)，(5,3)，(4,4)，5种,三天吃完： (2,2,4),(2,3,3), 6种,四天吃完： (2,2,2,2),1种,13,问题,妈妈买来8个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？,第二思维层次归纳猜想,如果不是8个鸡蛋呢？,
17、2个鸡蛋：1种3个鸡蛋：1种4个鸡蛋：2种5个鸡蛋：3种6个鸡蛋：5种7个鸡蛋：8种8个鸡蛋：13种,1,1,2,3,5,8,13,21, 34, 55, 89,144，,后一个数是前两个数之和？！,案例12 斐波那契数列,问题,妈妈买来8个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？,第三思维层次演绎推理,这个规律正确吗？,n个鸡蛋有an种吃法， an=？,n个鸡蛋的吃法有两类：第一天吃2个： 剩n-2个，有an-2种；第一天吃多于2个： 相当于有n-1个鸡蛋，每天至少吃2个， 有an-1种.,案例12 斐波那契数列,n个鸡蛋有an种吃法， an=？,第一天吃2个： 剩n-2个，有a
18、n-2种；,第一类,第一天吃多于2个： 相当于先打开1个鸡蛋第一天吃，剩下n-1个鸡蛋，每天至少吃2个， 有an-1种.,第二类,加法原理,斐波那契数列！,斐波那契数列,第四思维层次淡化形式 抽出本质,兔子繁殖问题：一对兔子每个月都生一对兔子，生出来的兔子在出生两个月之后，也每个月生一对兔子。那么，从一对小兔开始，满一年时可以发展到多少对兔子？,斐波那契数列,第四思维层次淡化形式 抽出本质,爬楼梯问题：如果一个人爬楼梯的方式有两种：一次一个台阶或两个台阶。如果要爬上12级台阶，总共有多少种不同的爬法？,斐波那契数列,第四思维层次淡化形式 抽出本质,吃鸡蛋问题：妈妈买来8个鸡蛋，每天吃1个或2个
19、，吃完为止，有多少种不同的吃法？,注意与原问题的区别,斐波那契数列,第四思维层次淡化形式 抽出本质,投硬币问题：将一枚硬币连续投20次，不出现连续两次正面朝上的情形有多少种？,斐波那契数列,第四思维层次淡化形式 抽出本质,截钢丝问题：有长为144cm的钢丝，要截成m段，使得每段长度不小于1cm，且其中任何三段都不能作为一个三角形的三边，m最大是多少？,1、1、2、3、5、8、13、,案例12 斐波那契数列,和,an + an+1= an+2,差,an+2 - an+1= an,积,商,任何相邻前后两项之商趋于一个稳定数值黄金分割数0.618。任何相邻后前两项之商趋于一个稳定数值1.618。,延
20、伸1：无需文字的证明,22,32,52,82,132,1321,延伸2：哪里多出1个平方？,A,B,C,D,B,A,C,D,88=64,135=65,5 2 1 5,延伸3：为何出现一个洞？,5 2 1 5,为何多出一个洞？,延伸3：为何出现一个洞？,数缺形时少直观形少数时难入微 华罗庚,延伸4 一个数字猜心术,请随便写出两个你喜欢的正整数，然后把二者之和作为第三个数，第2、3数之和作为第4数，如果第10数已经写出，那么第11数是什么呢？比如,问题是：下一个数应该是几？,18,33,+,=,+,=,48,15,81,129,210,339,549,888,8881.618 =1436.784,
21、1437,魔术揭秘,请每一位同学随便写出两个你喜欢的正整数 m,n. 先看看你的数列长成什么样：,m，,n，,m+n，,m+2n，,2m+3n，,3m+5n，,5m+8n，,8m+13n，,13m+21n，,21m+34n，,34m+55n,魔术揭秘,考虑比值：,如果,则,溶液浓度的数学,斐泼那契数列中的余数规律,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ,第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字，能够被 2 整除。想一想：为什么？奇奇偶-奇奇偶-奇奇偶-奇奇偶-,斐泼那契数列中的余数规律,1 , 1 , 2 , 3 , 5
22、 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ,第 4、第 8、第 12 项的数字，能够被 3 整除。想一想：为什么？被3除的余数：1120-2210-1120-2210-,斐泼那契数列中的余数规律,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ,第 5、第 10、第 15、第 20 项的数字，能够被 5 整除。余此类推。想一想：为什么？被5除的余数：11230-33140-44320-22410-11230-,斐泼那契数列中的有限性,问题：你发现了什么？有什么进一步的猜想？你能证明你的猜想吗？,斐泼
23、那契数列本身是无限的，但是，它的各项被某数除的余数必然是周期的，有限项一循环。,任何以递归形式产生的数列（后一项与前面一项或几项有关），它的各项被某数除的余数都必然是周期的。,观点7,递归蕴含周期,斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、,斐波那契数列与指数函数,差分(变化率),an+2 - an+1= an,指数函数 ex,导数(变化率）（ex） = ex,0、1、1、2、3、5、8、13、,ex,观点8,连续变量的指数函数ex，其导数还是它本身（ex） = ex 。（在复数范围内，常值函数之外的所有基本初等函数都归结为指数函数）；离散变量的斐波那契数列an，其差分还是它本身 an+2 - an+1 = an 。,离散与连续，对立又统一,结语,数学关注本质、共性、规律、联系。深挖下去，这些都归结为不变性。不变性从数的观点去看，就是不变量。公式、定理、法则等数学结论，是不变性。这个世界，一直在变。变化有规律，规律在变化。变化的变化、规律的规律，或匀变，或同变，或循变，或不变，本质都是不变性。,电子邮箱：,QQ 号：956528623,微 信 号：szuzwj,主 讲： 深圳大学 张文俊,谢谢各位,