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1、下学期高二数学 5 5 月月考试题 0303 （时间：120分钟，满分 150分） 一选择题（本大题 1212小题，每小题 5 5 分，共 6060分，在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项是符合题目要求的） 1. 下图是选修 1-2第二章“推理与证明”的知识结构图，如果要加入“综合法”，则应该放在 （ ） A“” 合情推理 的下位 B“” 演绎推理 的下位 合情推理 C“” 直接证明 的下位 D“” 间接证明 的下位 2. 已知 z 3i 3,那么复数 z 在平面内对应的点位于( ) A第一象限 B 第二象限 推 理 与 证 明 推理 证明 演绎推理 直接证明 间接证明 C第三象限 D第四
2、象限 3. 已知全集 I N* ，集合 A 2n | n N*， B 4n | n N*，则（ ） A. I A B B. I A B C. I A B D. I I I A B I I 4. “有一段演绎推理是这样的： 直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b a b b a 平面 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 ”的结论显然 是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 1 i z 5. 若复数 （ 为虚数单位）,则 的值为（ ） i W z2 z4 z6 z8 z10 1 i A. 1 B. 1 C. i D. i
3、6. a 0 是方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负数根的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2 f (x) 7. 已知 ，猜想 的表达式为 （ ） f (x 1) , f (1) 1（x N *） f (x） f (x) 2 4 2 1 A. B. C. D. f (x) f (x) f (x) 2x 2 2x 1 x 1 f (x) x 2 1 8. 已知 ，则使得 都成立的 x 取值范围是（ ） 0 a a a (1 a x)2 1, (i 1，2，3) 1 2 3 i 1 2 1 2 A B C D 0， 0， 0 0， ， a a
4、a a 1 1 3 3 9. 设函数 f (x) x | x | bx c ，给出下列四个命题： c 0 时， f (x) 是奇函数 b 0,c 0 时，方程 f (x) 0 只有一个实根 f (x) 的图象关于点 (0,c) 对称 方程 f (x) 0 至多两个实根 其中正确的命题 是（ ） A B C D - 1 - 3 1 10. 设数集 x | m x m , N x | n x n，且 M、N 都是集合 M x 0 x 1 4 3 的子集，如果把 b a 叫做集合x a x b“的 长度”，那么集合 M N “的 长度”的 最小值是（ ） 1 2 1 5 A. B. C. D. 3
5、3 12 12 11. 如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们 有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过 的最大信息量.现从结点 A向结点 B传递信息，信息可以分开沿 不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（ ） A.26 B.24 C.20 D.19 第 11 题 12. 函数 y x2 2x 在区间a,b上的值域是1, 3 ，则点 (a,b)的轨迹是图中的( ) A线段 AB 和线段 AD B线段 AB和线段 CD C线段 AD 和线段 BC D线段 AC和线段 BD 二填空题（本大题有 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020分） 13.
6、 在复平面内，平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 对应的 复数分别是1 3i,i,2 i ,则点 D 对应的复数为_. 第 12 题图 14. 古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性， 则第 30 个三角 数减去第 28 个三角数的值为_ 15. 在 等 差 数 列 中 ， 若 ， 则 有 等 式 a 5 0 a n a a a a a a 1 2 n 1 2 9 n (n 9,nN ) * 成立 类比上述性质：在等比数列 中，若 ，则有等式 成立 b b n 6 1 16. 如果函数 f (x) 的定义域为 R ，对于 m,n R ，恒有 f
7、(m n) f (m) f (n) 6 ，且 f (1) 是不大 于 5 的正整数，当 x 1时， f (x) 0 那么具有这种性质的函数 f (x) (注：填上你认为正确的一个函数即可) 三解答题（本大题有 6 小题，共 70 分） a 17. （本小题满分 10 分）函数 f ( x) 2x 的定义域为(0，1（ a 为实数） x 当 a 1时，求函数 y f ( x) 的值域； - 2 - 若函数 y f ( x) 在定义域上是减函数，求 a 的取值范围； 18. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 集 合 A x | (x 2)x (3a 1) 0， B x 2a x | 0
8、 x (a 1) 2 当 a 2 时，求 A B ； 求使 B A 的实数 a 的取值范围 19. （ 本 小 题 满 分 12分 ） 求 证 ： y ax2 2bx c, y bx2 2cx a, y cx2 2ax b （ a,b,c 是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点 20. （本小题满分 12 分）已知命题 p ：方程 a2 x2 ax 2 0 在1，1上有解；命题 q ： 只有一个实数 x 满足不等式 x2 2ax 2a 0，若命题“ p 或 q ”是假命题，求实数 a 的 取值范围 21. （本小题满分 12 分）设集合 A 中不含有元素 1, 0,1，且
9、满足条件：若 a A，则有 1 1 a a A ， 请考虑以下问题： （1）已知 2 A ，求出 A 中其它所有元素； （2）自己设计一个实数属于 A，再求出 A 中其它所有元素； （3）根据已知条件和前面（1）（2）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想 22. （本小题满分 12 分）对于函数 f (x) ax2 (b 1)x b 2(a 0)，若存在实数 x ， 0 使 成立，则称 为 的不动点 f 0 ) x f (x) (x x 0 0 - 3 - 当 a 2,b 2 时，求 f (x) 的不动点； 若对于任何实数b ，函数 f (x) 恒有两相异的不动点，求实数 a 的取值范围； 在的
10、条 件下，若 y f (x)的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点，且直线 y kx 1 2a2 1 是线段 AB的垂直平分线，求实数 b 的取值范围 答案 一选择题（本大题 12小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有 一项是符合 题目要求的） CBCAB ADDCC DA 二填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 3+5i 14. 5959 15.15.b b b b b b b b 1 2 3 n 1 2 3 11 n (n 11,nN*) 16. 16. x6 或 2x6 或 3x6 或 4x6 或 5x6 正
11、确的一个函数即可 三解答题（本大题有 6 小题，共 70 分） 17.（本小题满分 10分） 解：（1）显然函数 y f ( x) 的值域为2 2, ) ； （ 2） 若 函 数 y f ( x) 在 定 义 域 上 是 减 函 数 ， 则 任 取 x1, x2 (0.1且 x1 x2 都 有 1 a f (x x )(2 ) 0 ( x1 f x2 ) ( ) 成立， 即 2 x x 1 2 只要 a 2x1x2 即可， 由 x1, x2 (0.1，故 2x1x2 (2,0) ，所以 a 2 ， 故 a 的取值范围是 (,2 ； 18.（本小题满分 12分）解：（1）当 a2 时，A（2，7
12、），B（4，5） A B（4，5） （2） B（2a，a21）， 2a 3a 1 1 当 a 时，A（3a1，2） 要使 B A，必须 ，此时 a1； 3 a 1 2 2 1 当 a 时，A ，使 B A 的 a 不存在； 3 2a 2 1 当 a 时，A（2，3a1）要使 B A，必须 ，此时 1a3 3 2 1 3 1 a a 综上可知，使 B A 的实数 a 的取值范围为1，31 19.（本小题满分 12分）【证明】 假设这三条抛物线全部与 x 轴只有一个交点或没有交点，则 有 - 4 - 1 2 3 4b 2 4c 2 4a 2 4ac 4ab 4bc 0 0 三式相加，得 a2+b2
13、+c2abacbc0 0 （ab）2+（bc）2+（ca）20 a=b=c与已知 a，b，c 是互不相等的实数矛盾， 这三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点 20.（本小题满分 12 分） 解 :由 a x ax 2 0，得(ax 2)(ax 1) 0， 2 2 2 1 a 0 x x a a 显然 或 2 1 x 故 或 a 1,1 , | | 1 | | 1, | | 1 a a “ 只有一个实数满足 2 2 0”.即抛物线 2 2 与 轴只有 x2 ax a y x2 ax a x 一个交点， 或 4a2 8a 0. a 0 2, 命题“ p 或 q 为真命题“时“| a | 1或
14、a 0“ 命题“P 或 Q“为假命题 a的取值范围为a a 或 a 1 | 1 0 0 21.（ 本 小 题 满 分 12分 ） 解 ： （ 1） 由 2 A ， 则 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 3 1 1 2 3 A A A 2 1 3 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 A ，所以集合 A 2,3, , ；（2）任取 2 3 1 1 一常数，如 3 A ，则同理（ ）可得： A 3,2, , ； 3 2 1 a 1 a 1 （3）猜想任意的 a 1,a 0,a A ，则集合 A a, , , 1 a a a 1 1 a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 a a a 1 a
15、 a 1 下面作 简要证明： a A ，则 A A A a A 这 1 a a a 1 1 1 1 1 a 1 a 1 1 a a a 1 四个元素互不相等，否则 a 1 或a 0 22.（本小题满分 12 分） 解 f (x) ax2 (b 1)x b 2(a 0), （1）当 a2，b2 时， f (x) 2x2 x 4. 设 x 为其不动点，即 2x2 x 4 x. 则 2x2 2x 4 0. 1 1, x 2. f (x) 的不动点是1，2 x 即 2 （2）由 f (x) x 得： ax2 bx b 2 0 由已知，此方程有相异二实根， x 4 ( 2) 0. 0 b2 a b b2 4ab 8a 0 b R 恒成立，即 即 对任意 恒成立 0. 16a2 32a 0 0 a b （3）设 A(x1, x ), B(x , x )， 1 2 2 2. - 5 -