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1、浙江省2010届第一次调研卷：数学测试卷(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A, B互斥, 那么棱柱的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh如果事件A, B相互独立, 那么其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高P(AB)=P(A)P(B)棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么nV=Sh次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高Pn(k)=Cpk (1p)n-k (k = 0,1,2, n)球的表面积公式棱台的体积公式S = 4R2球的体积公式其
2、中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=R3h表示棱台的高 其中R表示球的半径一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。(1) 设非空集合A, B满足AB, 则开始k = 0S = 100S 0 ?kk1S = S2k是输出k结束否(第5题)(A) x0A, 使得x0B (B)xA, 有xB(C) x0B, 使得x0A(D)xB, 有xA(2) 在二项式(x)6的展开式中, 常数项是(A) 10 (B) 15 (C) 10 (D) 15(3) 已知a, b是实数, 则“a = b”是“a3 = b3 ”的(A) 充分而
3、不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(4) 若复数z与其共轭复数满足: |z|=, z +=2, 则(A) z22z20 (B) z22z20(C) 2z22z10 (D) 2z22z10(5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k的值是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7(6) 设向量, 满足:, , , 则与的夹角是(A) (B) (C) (D) (7) 在RtABC中, A, B, AB=1. 若圆O的圆心在直角边AC上, 且与AB和BC所在的直线都相切, 则圆O的半径是11正视图侧视图1俯视图1(第8题) (A) (B)
4、 (C) (D) (8) 若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此多面体的体积是 (A) cm3 (B) cm3(C) cm3(D) cm3(9) 过双曲线(a0, b0)的右焦点F作圆的切线FM(切点为M), 交y轴于点P. 若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是 (A) (B) (C) 2(D) (10) 在直角坐标系中, 如果两点A(a, b), B(a, b)在函数的图象上, 那么称A, B为函数f (x)的一组关于原点的中心对称点 (A , B与B, A看作一组). 函数关于原点的中心对称点的组数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4非选择题部分 (共100分
5、)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。(11) 若实数满足不等式组则3xy的最小值是_.(12) 若等比数列an的前n项和Sn满足: an1a1 Sn1(nN*), 则a1=_.(13) 已知a00. 设方程a0xa10的1个根是x1, 则x1； 设方程a0x2a1xa20的2个根是x1, x2, 则x1 x2； 设方程a0x3a1x2a2xa30的3个根是x1, x2, x3, 则x1 x2 x3； 设方程a0x4a1x3a2x2a3xa40的4个根是x1, x2, x3, x4, 则x1 x2 x3 x4； 由以上结论, 推测出一般的结论:设方程a0xna1xn-1a
6、2xn-2an-1xan0的n个根是x1, x2, , xn ,则x1 x2xn_.(14) 设直线3x4y50与圆C1: 交于A, B两点, 若圆C2的圆心在线段AB上, 且圆C2与圆C1相切, 切点在圆C1的劣弧上, 则圆C2的半径的最大值是_.ABCD(第15题)(15) 如图, 某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上, 小山的高BC为35米, 在地面上有一点A, 测得A, C间的距离为91米, 从A观测电视发射塔CD的视角(CAD)为, 则这座电视发射塔的高度CD为_米.(16) 将5人分成3组, 每组至多2人, 则不同的分组方式种数是_.(17) 若函数在区间上单调递增, 则实数a的
7、取值范围是_.三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。(18) (本题满分14分) 在ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足.() 求的值;() 若ABC的面积是, 求的值.(19) (本题满分14分) 在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.() 求取出的数各位数字互不相同的概率;() 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则). 求随机变量的分布列及其数学期望E. (20) (本题满分15分) 如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, BCF, 且AC = CB =
8、 4, 将此平面沿直线EF折成的二面角EF, BP平面, 点P为垂足.() 求ACP的面积;(第20题)BAFCCBPAEEF() 求异面直线AB与EF所成角的正切值. xyPOQF(第21题)(21) (本题满分15分) 已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).() 求抛物线C的方程;() 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P的直线交C于另一点Q, 满足PFQF, 且PQ与C在点P处的切线垂直? 若存在, 求出点P的坐标; 若不存在, 请说明理由. (22) (本题满分14分)已知函数().() 当a = 0时, 求函数的单调递增区间;() 若函数在区间0, 2上的最大值为2,
9、求a的取值范围. 数学测试卷(理科)答案及评分参考说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分(第13题除外)。五、未在规定区域内答题, 每错一个区域扣
10、卷面总分1分。一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。(1) B(2) D(3) C(4) A(5) D(6) D(7) C(8) C(9) A(10) B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题4分, 满分28分。(11) 1(12) 1(13) (1)n( (1)n与每对一个得2分)(14) 1 (15) 169 (16) 15(17) 1,)三、解答题: 本大题共5小题, 满分72分。(18) 本题主要考查正弦、余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。() 解: 利用正弦定理, 得 sinCco
11、sB+sinBcosC = 4sinAcosA, sin(B+C) = 4sinAcosA,即 sinA = 4cosAsinA,所以cosA =. (7分)() 解: 由(I), 得 sinA =,由题意,得bcsinA,所以bc = 8,因此2 . (14分)(19) 本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概括能力。满分14分。() 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则P(B) . (5分)() 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是012P (11分)所以的数学期望E0+1+2= . (14分)(20) 本题主要
12、考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分15分。方法一: () 解: 如图, 在平面内, 过点P作PMEF, 点M为垂足, 连结BM, 则BMP为二面角EF的平面角. 以点P为坐标原点, 以直线PM为x轴, 射线PB为z轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.xyzCBPAEMzF 在RtBMC中,由BCM, CB = 4, 得 CM =, BM =2.在RtBMP中,由BMP, BM =2, 得 MP = 1, BP =.故P(0,0,0), B(0, 0,), C(1, 0), M(1,0,0).由ACM, 得
13、A(1,4, 0).所以= (1,0), = (2,0),则 10,cosACP = ,sinACP = .因此SACP. (7分)() 解:(1,4,), (0,2,0), 24, cos=,所以AB与EF所成角的正切值为. (15分)方法二:() 解: 如图, 在平面内, 过点P作PMEF, 点M为垂足,连结BMCBPAEMQF, 则BMP为二面角EF的平面角.在RtBMC中,由BCM, CB = 4, 得 CM =, BM=2.在RtBMP中,由BMP, BM=2, 得MP=1. 在RtCMP中,由CM =, MP=1, 得CP=, cosPCM, sinPCM =.故 sinACP =
14、 sin(PCM).所以SACP. (7分)() 解: 如图, 过点A作AQEF, 交MP于点Q ,则BAQ是AB与EF所成的角, 且AQ平面BMQ .在BMQ中,由BMQ, BMMQ2, 得 BQ = 2.在RtBAQ中, 由AQACCM 4, BQ = 2, 得 tanBAQ =.因此AB与EF所成角的正切值为. (15分)(21) 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。() 解: 设抛物线C的方程是x2 = ay,则, 即a = 4.故所求抛物线C的方程为x2 = 4y . (5分)() 解: 设P(x1,
15、y1), Q(x2, y2), 则抛物线C在点P处的切线方程是,直线PQ的方程是.将上式代入抛物线C的方程, 得,故 x1+x2 =, x1x2 =84y1 ,所以 x2=x1 , y2=+y1+4 .而(x1, y11), (x2 , y21) ,x1 x2(y11) (y21)x1 x2y1 y2(y1y2)14(2+y1)+ y1(+y1+4)(+2y1+4)+1(2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.2y1 7第三章 圆(2y11)4(+y1+2)(y11)2定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;0,故 y14, 此
16、时, 点P的坐标是(4,4) . 经检验, 符合题意.所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(4,4). (15分)弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。(22) 本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分14分。一锐角三角函数() 解: 当a = 0时, f (x)x34x25x ,0,所以 f (x)的单调递增区间为, . (6分)8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边
17、）。() 解: 一方面由题意, 得23.53.11加与减（一）4 P4-12 即 ;94.234.29加与减（二）4 P49-56另一方面当时, f (x) = (2x39x212x4)ax34x25x ,令g(a) = (2x39x212x4)ax34x25x, 则74.94.15有趣的图形3 P36-41g(a) max g(0), g() = maxx34x25x , (2x39x212x4)x34x25x = maxx34x25x , x2x2 ,f (x) = g(a) maxx34x25x , x2x2 ,又x34x25x=2, x2x2=2, 且f (2)2,所以当时, f (x)在区间0,2上的最大值是2.综上, 所求 a的取值范围是. (14分)