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1、浙江省路桥中学2012届高三下学期3月考试试题(数学理)路桥中学高三(下)第2次月考试卷 数 学(理科) 2012.3 本卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟( 第?卷(选择题，共50分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的( i(为虚数单位)，则的虚部是( ? ) 1(若复数z,，,(1i)iz,11,iiA( B( C( D( ,432,，,2(已知则等于( ? ) sin()sin,0,，,cos(),35234334A( B( C( D( ,55553(阅读右面的程序框图，则输出
2、的( ? ) k,4A( B( C( D( 56711,4(若，则“”是的“”( ? ) 0x,x,x2sinxsinxA(必要不充分条件 B(充分不必要条件 C(充要条件 D(既非充分又非必要条件 5(设是平面上互异的四个点，若 ABCD,(则?ABC的形状是( ? ) DB，DC,2DA),(AB,AC),0,A(直角三角形 B(等腰三角形 C(等腰直角三角形 D(等边三角形 1,0x,2fxxx()sgn(ln)ln,sgn()0,0xx,6(已知符号函数，则函数的零点个数为,1,0x,( ? ) 421A( B( C( D( 3BFA,A,B,BF,F7(如图，椭圆的中心在坐标原点，顶
3、点分别是，焦点为，延长与O12121212y AB，BPA 交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范P2212B 2围为 ( ? ) P 5+151，51,51,(，)0(,1)(,1)(0,)A( B( C( D( A O FF x A 11224422B 128(“”含有数字，且有两个数字，则含有数字， 0, 1, 20, 1, 22012且有两个相同数字的四位数的个数为( ? ) 24A( B( C( D( 182736xy,，,230,xy,，,330xy, zyax,9. 已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点处(3,0),(,y,10,取到最大值，则实数的取值范围为( ? ) a
4、11A( B( C( D( (3,5) (1,2), (,1) (,) ，,32AaaaMm=,(*)臀N，若集合，且10. 已知集合Mnn= 1,2,3,(*)N12mbaa=+,对任意的，存在，使得(其中aaAijm,(1)危,bM12ijijAM,1,0,1?)，则称集合为集合的一个元基底.给出下列命题: m12AM ?若集合，则是的一个二元基底; A=1,5M=1,2,3,4,5AM?若集合，则是的一个二元基底; A=2,3M=1,2,3,4,5,6AM?若集合是集合的一个元基底，则; mmmn(1)+ A?若集合为集合的一个元基底，则的最小可能值为( M=1,2,3,19mm5其中是
5、真命题的为( ? ) A. ? B. ? C. ? D. ? 第?卷(非选择题，共100分) 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分( 11(一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 ? ( 12(已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸 3 (单位:cm)，可得这个几何体的体积为_ ? _cm( 22xy22x，y,4x,5,0,113(已知双曲线的一个焦点在圆 9m上，则双曲线的渐近线方程为 ? ( 1,2,3,41,2,3,414(一个人随机的将编号
6、为的四个小球放入编号为的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了，记放对的个随机变量，则的期望 数为,E,= ? ( 61,aa,a15(已知等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则 x,5n37,3x,? ( ABE16(如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已DABCDABCD,CAB,2知，AE,BE,3，且当规定主(正)视方向垂直平面时，ABCD2MMDE该几何体的左(侧)视图的面积为(若、分别是线段、上NCE2N的最小值为 ? ( 的动点，则AM，MN，NBBA E第16题 210100xmxm,，,17.已知是正整数，若关于的方程有整
7、数解，则所有可mxm能的取值集合是 ? ( 第?卷(非选择题，共100分) 三、解答题:本大题共5小题，共72分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 18.(本题满分14分)己知在锐角中，角所对的边分别为，且ABC,abc,ABCab. tanC,222abc，,(?)求角大小; C22?()当时，求的取值范围. c,1ab，SpSqpq,，(,aS19(本小题满分14分)设数列的前项和为，已知为常数，nnnnn，1*aaaqp,2,1,3)， ( nN,123a(?)求数列的通项公式; nmSm,2nmn,(?)是否存在正整数，使成立,若存在，求出所有符合条件的,mSm,，21，1n有
8、序实数对(,)mn;若不存在，说明理由( 20(本小题满分15分)如图，在三棱锥中，为P,ABCOP 的中点，平面?平面， ACPACABCCA OB :,. AB,BC,AP,PC,2，ABC,，APC,90(?)求证:; OBOP,PA(?)求直线与平面所成角的正弦值; PBC(III)若动点M在底面三角形ABC上，二面角 311的余弦值为，求BM的最小值. MPAC,1122xyCC21(本小题满分15分)设椭圆:的一个顶点与抛物线:，,1(0)ab1222ab12FF,e,xy,43 的焦点重合，分别是椭圆的左右焦点，离心率 ，过椭圆右焦 122FC点的直线与椭圆交于两点( MN,l2
9、1C(I)求椭圆的方程; 1(II)是否存在直线，使得 ，若存在，求出直线的方程;若不存在，OMON,2ll说明理由; 2|ABABC(III)若是椭圆经过原点的弦，且，求证:为定值( OMNAB/1|MN13222(本小题满分14分)已知函数，设曲线y,f(x)在与轴()xfx,x，bx，cx，d3,交点处的切线为，fx()为fx()的导函数，满足f(2,x),f(x)( y,4x,12(1)求; fx(),(2)设，求函数gx()在0,m上的最大值; gxxfx()(),m,0,(3)设hxfx()ln(),，若对一切x,0,1，不等式hxthx(1)(22)，,，恒成立，求t实数的取值范
10、围( 特别提醒:本试题所有答案均做在答题卡或答题纸上，否则答题无效 路桥中学高三(下)第2次月考试卷 数 学(理科)参考答案 本卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟( 第?卷(选择题，共50分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的( i1(若复数z,，,(1i)i(为虚数单位)，则z的虚部是( B ) ,11,iiA( B( C( D( ,432,，,2(已知sin()sin,0,则等于( D ) ，,cos(),35234334A( B( C( D( ,55553(阅读右面的程序框图，
11、则输出的( A ) k,4A( B( C( D( 56711,4(若0，则“x,”是的“”( A ) ,x,x2sinxsinxA(必要不充分条件 B(充分不必要条件 C(充要条件 D(既非充分又非必要条件 5(设ABCD,是平面上互异的四个点，若 (则?ABC的形状是( B ) DB，DC,2DA),(AB,AC),0,A(直角三角形 B(等腰三角形 C(等腰直角三角形 D(等边三角形 1,0x,2fxxx()sgn(ln)ln,sgn()0,0xx,6(已知符号函数，则函数的零点个数为( C ) ,1,0x,421A( B( C( D( 3BFA,A,B,BF,F7(如图，椭圆的中心在坐标
12、原点，顶点分别是，焦点为，延长与O12121212y AB，BPA 交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范P2212B 2围为 ( C ) P 5+151，51,51,(，)0A( B(,1) C(,1) D( (0,)A O FF x A 1122442228(“”含有数字，且有两个数字，则含有数字， 0, 1, 20, 1, 22012B 且有两个相同数字的四位数的个数为( B ) 124A( B( C( D( 182736xy,，,230,xy,，,330xy, zyax,9. 已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点处(3,0),(,y,10,取到最大值，则实数的取值范围为( A )
13、 a11A( B( C( D( (3,5) (1,2), (,1) (,) ，,32AaaaMm=,(*)臀N10. 已知集合，若集合，且Mnn= 1,2,3,(*)N12mbaa=+,对任意的，存在，使得(其中aaAijm,(1)危,bM12ijijAM,1,0,1?)，则称集合为集合的一个元基底.给出下列命题: m12AM ?若集合，则是的一个二元基底; A=1,5M=1,2,3,4,5AM?若集合A=2,3，M=1,2,3,4,5,6，则是的一个二元基底; AM?若集合是集合的一个元基底，则mmn(1)+ ; mA?若集合为集合的一个元基底，则的最小可能值为( M=1,2,3,19mm5
14、其中是真命题的为( D ) A. ? B. ? C. ? D. ? 第?卷(非选择题，共100分) 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分( 11(一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 ? (10 12(已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸 34 (单位:cm)，可得这个几何体的体积为_ ? _cm( 22xy22x，y,4x,5,0,113(已知双曲线的一个焦点在圆 9m4上，则双曲线的渐近线方程为 ? ( yx,314(一个人随机的将编号为1，
15、2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数记为，则的期望 ,1E= ? ( ,61,aa,a15(已知等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则 x,5n37,3x,25 ( ?9ABE16(如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已DABCDABCD,CAB,2AE,BE,3知，且当规定主(正)视方向垂直平面时，ABCD2MMDE该几何体的左(侧)视图的面积为(若、分别是线段、上NCE2N的动点，则的最小值为 ? ( AM，MN，NB3BA E第16题 210100xmxm,，,17.已知是
16、正整数，若关于的方程有整数解，则所有可mxm能的取值集合是 ? ( 3,14,30,三、解答题:本大题共5小题，共72分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 18.(本题满分14分)己知在锐角中，角所对的边分别为，且ABC,abc,ABCab. tanC,222abc，,(?)求角大小; C22(?)当时，求的取值范围. c,1ab，sin1Cab解:(?)由已知及余弦定理，得因为为锐角，所以,sin,CCcos2cos2CabC,6分 C,.6abc1(?)由正弦定理，得，,21sinsinsinABC2, ？,，aAbBA2sin,2sin2sin().6,1cos(2),，A1co
17、s2,A,22223abAA，,，,，4sinsin()4 6221113,，,41cos2(cossin2)423sin(2).AAAA 2222311分 ,0,A由得 ,A.,232,5,0,A,62,3,222,？,，,，sin(2)1.7423.Aab ？,2,A2333314分 SpSqpq,，(,aS19(本小题满分14分)设数列的前项和为，已知为常数，nnnnn，1*aaaqp,2,1,3)， ( nN,123a(?)求数列的通项公式; nmSm,2nmn,(?)是否存在正整数，使成立,若存在，求出所有符合条件的,mSm,，21，1n有序实数对;若不存在，说明理由( (,)mn1
18、,Spaq,+,32,pq+p,21解:(?)由题意，知即解之得 22,SpSq,+,333,+qppq,32,q,2(,分 11？,，SSn?2SS,，22，? 当时，? nn，1nn,1221,aan,?2?得， 4，nn，12分 111*2aa,aan,Na又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列， ,，nn，n211222所以1a,(7分 nn,221,2(1)mnSm,21n2(?)由?得，由，得 S,4(1)nnm12Sm,，21，1n,121,m4(1)mnmn2(4)42,m22，即，,mnm1，212(4)221,，m,m4(1)+1n210分 21mn,即，因为，所以2(4
19、)2,m， 210，,nm,，m2(4)221nm+1m,4所以，且22(4)24,m+， (),*2m,13因为，所以或或( m,N12分 nm,1n,1当时，由得，所以; (),2238,，,n2m,2n,1当时，由得，所以或; (),22212,，,n4m,3n,23当时，由得，所以或或， (),2220,综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为: (,)mn(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)14分 20(本小题满分15分)如图，在三棱锥中，为的中点，平面?平P,ABCOACABC面， PACP :,. AB,BC,AP,PC,2，ABC,，APC,9
20、0(?)求证:; OBOP,PA(?)求直线与平面所成角的正弦值; PBC(III)若动点M在底面三角形ABC上，二面角 CA O311的余弦值为，求BM的最小值. MPAC,11B z P 解:(?)因为为的中点, AB=BC，所以, OACOB,OC,?平面?平面，平面平面, ABCPACABCAPCCA y OB x ?平面PAC，?;5分 OB,OBOP, xyz,(?)以为坐标原点,分别为轴 OBOCOP,O建立如图所示空间直角坐标系，因为AB=BC=PA=, 2所以OB=OC=OP=1，从而O(0,0,0),B(1,0,0), A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1)
21、, ? BC,(,1,0,1),PB,(1,0,1),AP,(0,1,1)设平面PBC的法向量，由得方程组 n,(x,y,z)BC,n,0,PB,n,0111,x，y,0,AP,n61,APn,cos,，取，? n,(1,1,1),113x,z,0APn,16?直线PA与平面PBC所成角的正弦值为;103分 (III)由题意平面PAC的法向量， n,(1,0,0)2设平面PAM的法向量为n,(x,y,z),M(m,n,0) 3?又因为AP,n,0,AM,n,0 AP,(0,1,1),AM,(m,n，1,0)33y，z,0,n，1? 取， n,(,1,1),3mx，(m，1)y,0m,1n，n,
22、n311m23,nn,cos,? 23211nn1n，,232，,m,2n，1,?,9，? 或 (舍去) n，1,3mn，1,3m,m,10d,?B点到AM的最小值为垂直距离(155分 22xyC21(本小题满分15分)设椭圆C:的一个顶点与抛物线:，,1(0)ab1222ab12FF,e,xy,43 的焦点重合，分别是椭圆的左右焦点，离心率 ，过椭圆右焦 122FC点的直线与椭圆交于两点( MN,l21C(I)求椭圆的方程; 1(II)是否存在直线，使得 ，若存在，求出直线的方程;若不存在，OMON,2ll说明理由; 2|ABABC(III)若是椭圆经过原点的弦，且，求证:为定值( OMNA
23、B/1|MN2cb1(0,3)e,1a,2解:(I)椭圆的顶点为，即，解得， b,32aa222xy 椭圆的标准方程为 ？，,1435分 l(II)由题可知，直线与椭圆必相交( ?当直线斜率不存在时，经检验不合题意( l?设存在直线为，且，. Mxy(,)Nxy(,)ykxk,(1)(0)112222,xy2，,18k,2222(34)84120，,，,kxkxk由得， ，xx，,43,12234，k,ykx,(1),2412k,， xx,12234，k2OMONxxyyxxkxxxx,，,，,，()1 121212121222224124128512kkkk,2 = ，,，,k(1)2222
24、234343434，kkkkyx,2(1)yx,2(1)l所以，故直线的方程为或 k,210分 (III)设, MxyNxy(,),(,)AxyBxy(,),(,)11223344222由(II)可得: |MN|=1|(1)()4，,，,kxxkxxxx 121212222841212(1)kkk,，22(1)()4()，,k =( 222343434，kkk22,xy12，,1,2x,由消去y，并整理得: ， 43,234，k,ykx,248(1)，k2223(1)，k|AB234，k1|4，,kxx|AB|=，?为定值 ,4342234，k12(1)k，|MN234，k15分 13222(
25、本小题满分14分)已知函数，设曲线在与轴()y,f(x)fx,x，bx，cx，dx3,交点处的切线为，为的导函数，满足( fx()fx()f(2,x),f(x)y,4x,12(1)求; fx(),(2)设，求函数在上的最大值; gx()0,mgxxfx()(),m,0,(3)设，若对一切，不等式恒成立，求hxfx()ln(),hxthx(1)(22)，,，x,0,1实数的取值范围( t2,fxxbxc()2,，解:(1)， ， f(2,x),f(x),函数的图像关于直线对称，则？yfx,()x,1(2分 b,1,直线与轴的交点为，且， (3,0)？f(3)0,f(3)4,y,4x,12x即，且
26、，解得，( 9930，,bcd964，,bcc,1d,3则132( 5分 fxxxx()3,，,322,fxxxx()21(1),，,(2)，2,xxx,1,2gxxxxx()(1)1,7分 ,2xxx,1.,y12,12x,其图像如图所示(当时，根据图像得: xx,224121(?)当gx()时，最大值为; mm,0,m212，112，,1121xO2 ,m(?)当时，gx()最大值为; 22412，2m,(?)当时，gx()最大值为( 10分 mm,22(3)方法一:，hxxx()ln(1)2ln1,hxtxt(1)2ln，,， hxx(22)2ln21，,，当时， x,0,12121xx
27、，,，不等式恒成立等价于且恒成立， xt,？2ln2ln21xtx,，xtx,，21由恒成立，得恒成立， xtx,，21,，xtx131当时，12？x,0,1311,4x，,x12,1,11t分 当时，由xt,恒成立，得，因此，实数的取值范围是又tx,0,1t,0,1(14分 ,10tAB方法二:(数形结合法)作出函数的图像，其图像为线段(如图)， y,2x，1,x,0,1yA的图像过点时，或， ？y,x,tt,1t,14B32？要使不等式对恒成立， x,0,1xtx,，21A1必须， 12分 ,11t,2,12143xOxt,又当函数有意义时， h(x，1,t) B、当a0时2、在教师的组织
28、和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。xt,？当时，由恒成立，得， x,0,1t,0,1面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合因此，实数t的取值范围是( 14分 ,10t2hxx()ln(1),方法三:， 的定义域是， hx()1xx,弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。tx,？要使hxt(1)，,恒有意义，必须恒成立，
29、 3.余弦：弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.x,0,1，？,t0,1，即或( ? 12分 t,0t,11.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(、b、c是常数,0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。22()(21)xtx,，由hxthx(1)(22)，,，得， 223(42)10xtxt，,x,0,1即对恒成立， 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.2，t22,()3(42)1xxtxt,，,()x令，的对称轴为， x,3dr 直线L和O相离.2，t2，t2，t,01,0,1,则有或或 333,22,(0)0,(1)0,，,，,(42)43(1)0tt,解得( ? ,11t8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。综合?、?，实数的取值范围是( 14分 t,10t