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1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 圆锥曲线与方程测试题 一选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1（5分）椭圆的焦点坐标为（5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A+=1B+=1C+=1D+=12（5分）（2012泸州二模）方程所表示的曲线是（）A直线B椭圆C双曲线D圆3（5分）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（）ABCD4（5分）（2011昌平区二模）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是（）A两个点B直
2、线C圆D椭圆5（5分）（2008奉贤区二模）给出下列3个命题：在平面内，若动点M到F1（1，0）、F2（1，0）两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆；在平面内，已知F1（5，0），F2（5，0），若动点M满足条件：|MF1|MF2|=8，则动点M的轨迹方程是；在平面内，若动点M到点P（1，0）和到直线xy2=0的距离相等，则动点M的轨迹是抛物线上述三个命题中，正确的有（）A0个B1个C2个D3个6（5分）（2012淮北一模）已知圆的方程为x2+y2=4，若抛物线过点A（1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（）ABCD7（5分）（2014
3、福建）设P，Q分别为圆x2+（y6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A5B+C7+D68（5分）（2014江门一模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1上的动点，并且A1F平面AED1，则动点F的轨迹是（）A圆B椭圆C抛物线D线段9（5分）（2014邯郸二模）过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，则直线AB的倾斜角为（）ABCD10（5分）（2012山东）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，与双曲线x2y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）
4、A+=1B+=1C+=1D+=1二填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11（5分）（2014安徽模拟）椭圆+=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数m的值是_12（5分）（2013重庆模拟）已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线=1的离心率为_13（5分）已知下列命题命题：椭圆中，若a，b，c成等比数列，则其离心率；双曲线x2y2=a2（a0）的离心率且两条渐近线互相垂直；在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；若实数x，y1，1，则满足x2+y21的概率为其中正确命题的序号是_14（5分）（2014马鞍山三模）对于圆锥曲线，给出以下结论：设A、B为两
5、个定点，k为非零常数，|=k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为圆；方程4x212x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线=1与椭圆+=1有相同的焦点椭圆C：+y2=1上满足=0的点M有4个（其中F1，F2为椭圆C的焦点）其中正确结论的序号为_（写出所有正确结论的序号）15（5分）（2012茂名二模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，双曲线的离心率的值为2，则该椭圆的离心率的值为_
6、三解答题（共6小题）16（2015洛阳一模）已知F1，F2是椭圆C+=1的左，右焦点，以线段 F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y2=0对称（l）求圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标17（2015兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）求抛物线方程；求ABS面积的最大值18（2014天津一模）已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为8（1）求椭圆的方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，
7、BD均过坐标原点O，若kACkBD=求的范围；求四边形ABCD的面积19（2015杨浦区一模）如图，曲线由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（6，0），求曲线的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求CDF1面积的最大值20（2014福建）已知双曲线E：=1（a0，b0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=2x（1）求双曲线E的离
8、心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由21（2013江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由圆锥曲线与方程测试题 参考答案与试题解析一选择题（共10小题，满分5
9、0分，每小题5分）1（5分）椭圆的焦点坐标为（5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A+=1B+=1C+=1D+=1考点：圆锥曲线的实际背景及作用菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据椭圆的焦点坐标为（5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，可得椭圆的焦点在x轴上，c=5，a=13，从而可求b，即可求出椭圆的方程解答：解：椭圆的焦点坐标为（5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，椭圆的焦点在x轴上，c=5，a=13，b=12，椭圆的方程为+=1故选：A点评：本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确
10、运用椭圆的定义是关键2（5分）（2012泸州二模）方程所表示的曲线是（）A直线B椭圆C双曲线D圆考点：椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：计算题分析：因为k是小于9的实数，得到两个分母25k、9k都是正数，对照圆锥曲线标准方程的形式，可得所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，得到正确答案解答：解：k99k0且25k0且25k9k所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆故选B点评：本题给出一个含有字母参数的二次曲线，通过判断所对应的曲线类型，考查了椭圆的标准方程的知识点，属于基础题3（5分）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（）ABCD考点：圆锥曲线的实际背景及作用；抛物线的简单性质菁优网
11、版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线得准线方程为y=，因此双曲线的一个焦点和c，再利用离心率计算公式即可得出解答：解：由抛物线得准线方程为y=，因此双曲线的一个焦点为，c=双曲线化为，a=1，双曲线的离心率=故选C点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，属于基础题4（5分）（2011昌平区二模）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是（）A两个点B直线C圆D椭圆考点：椭圆的定义菁优网版权所有专题：计算题分析：过P作PEAD垂足为E，过E作ENA1D1，连接PN，则
12、可得PNA1D1可得，由NE=2，可得PE=1，由PM=2可得点P的轨迹是以M为圆心以2 为半径的圆，由PE=1 可得点P的轨迹是与AD平行且距AD的距离为1的直线，两者的公共部分即为所求解答：解：过P作PEAD垂足为E，过E作ENA1D1，连接PN，则可得PNA1D1从而可得所以RtPNE中，NE=2，所以PE=1由PM=2可得点P的轨迹是以M为圆心以2 为半径的圆，由PE=1 可得点P的轨迹是与AD平行且距AD的距离为1的直线从而可得满足条件的点P的轨迹是直线与圆心公共部分即两个交点故选：A点评：本题以正方体的性质的应用为考查切入点，主要考查了正方体中线线垂足的相互转化，点的轨迹的求解等知
13、识的综合应用，属于知识的简单综合5（5分）（2008奉贤区二模）给出下列3个命题：在平面内，若动点M到F1（1，0）、F2（1，0）两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆；在平面内，已知F1（5，0），F2（5，0），若动点M满足条件：|MF1|MF2|=8，则动点M的轨迹方程是；在平面内，若动点M到点P（1，0）和到直线xy2=0的距离相等，则动点M的轨迹是抛物线上述三个命题中，正确的有（）A0个B1个C2个D3个考点：椭圆的定义；抛物线的定义；双曲线的定义菁优网版权所有专题：综合题分析：对选项一一进行分析：对于在平面内，若动点M到F1（1，0）、F2（1，0）两点的
14、距离之和等于2，而2正好等于两定点F1（1，0）、F2（1，0）的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段；在平面内，已知F1（5，0），F2（5，0），若动点M满足条件：|MF1|MF2|=8，则动点M的轨迹是双曲线的一支，；对于在平面内，若动点M到点P（1，0）和到直线xy2=0的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线解答：解：对于在平面内，若动点M到F1（1，0）、F2（1，0）两点的距离之和等于2，而2正好等于两定点F1（1，0）、F2（1，0）的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段故错；在平面内，已知F1（5，0），F2（5，0），若动点M满足条件：|M
15、F1|MF2|=8，则动点M的轨迹是双曲线的一支，其方程是（x0）故错；对于在平面内，若动点M到点P（1，0）和到直线xy2=0的距离相等，根据抛物线的定义知，动点M的轨迹是抛物线正确上述三个命题中，正确的有，故选B点评：本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等基础知识，属于基础题6（5分）（2012淮北一模）已知圆的方程为x2+y2=4，若抛物线过点A（1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（）ABCD考点：椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得
16、点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后求得x和y的关系式解答：解：设切点为（a，b），a2+b2=4，则切线为：ax+by4=0设焦点（x，y），由抛物线定义可得：（x1）2+y2= ，（x+1）2+y2 = ，消去a得：故抛物线的焦点轨迹方程为（y0）（依题意焦点不能与A，B共线y0）故抛物线的焦点轨迹方程为故选C点评：本题主要考查了椭圆的标准方程考查了学生数形结合的思想及综合分析问题的能力7（5分）（2014福建）设P，Q分别为圆x2+（y6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A5B+C7+D6考点：椭圆的简单性质；圆的标准方
17、程菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则圆x2+（y6）2=2的圆心为（0，6），半径为，椭圆上的点与圆心的距离为=5，P，Q两点间的最大距离是5+=6故选：D点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题8（5分）（2014江门一模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1上的动点，并且A1F平面AED1，则动点F的轨迹是（）A圆B椭圆C抛物线D线段考点：抛物线的定义菁优网版权所有专题：计算题；空间
18、位置关系与距离分析：取棱BB1的中点N，棱B1C1的中点，证明平面A1NM平面AED1，F是侧面B1BCC1上的动点，可得F是线段MN上的点时，A1F平面AED1，即可得出结论解答：解：取棱BB1的中点N，棱B1C1的中点，则MNBC1，BC1AD1，MNAD1，MN平面AED1，AD1平面AED1，MN平面AED1，同理，A1N平面AED1，MNA1N=N，平面A1NM平面AED1，F是侧面B1BCC1上的动点，F是线段MN上的点时，A1F平面AED1，故选：D点评：本题考查轨迹问题，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9（5分）（2014邯郸二模）过抛物线y2=4x焦点的直
19、线交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，则直线AB的倾斜角为（）ABCD考点：抛物线的标准方程菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：分=90时，易知不成立，当90时，设直线方程为：y=tan（x1），与抛物线方程联立，再由韦达定理和抛物线过焦点的弦长公式求得其倾斜角解答：解：当=90时，|AB|=4不成立当90时，设直线方程为：y=tan（x1）与抛物线方程联立得：（tan）2x2（2（tan）2+4）x+（tan）2=0由韦达定理得：x1+x2=|AB|=x1+x2+p=+2=8tan=1=故选：B点评：本题主要考查直线与抛物线的位置及弦长公式，特别是抛物线过焦点的弦，
20、要灵活地选择公式，提高解题效率10（5分）（2012山东）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，与双曲线x2y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A+=1B+=1C+=1D+=1考点：圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：综合题分析：由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为y=x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+=1利用，即可求得椭圆方程解答：解：由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为y=x以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，（2，2）在椭圆C：+=1（
21、ab0）上a2=4b2a2=20，b2=5椭圆方程为：+=1故选D点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键二填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11（5分）（2014安徽模拟）椭圆+=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数m的值是1考点：圆锥曲线的共同特征菁优网版权所有分析：先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得解答：解：椭圆 得c1=，焦点坐标为（ ，0）（，0），双曲线：的焦点必在x轴上，则半焦距c2=则实数m=1故答案为：1点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、双曲线的标准方程，
22、以及椭圆、双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键12（5分）（2013重庆模拟）已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线=1的离心率为5考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质菁优网版权所有专题：综合题分析：根据实数m是2，8的等比中项，确定实数m的值，再利用离心率的公式，即可求得结论解答：解：由题意，实数m是2，8的等比中项，m2=28m=4m=4时，方程为，表示椭圆，离心率为；m=4时，方程为，表示双曲线，离心率为综上所述，圆锥曲线=1的离心率为或故答案为：或点评：本题考查等比数列，考查圆锥曲线的离心率，解题的关键是正确运用离心率公式13（5分）已知下列命题命题：椭
23、圆中，若a，b，c成等比数列，则其离心率；双曲线x2y2=a2（a0）的离心率且两条渐近线互相垂直；在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；若实数x，y1，1，则满足x2+y21的概率为其中正确命题的序号是考点：圆锥曲线的共同特征菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：根据a，b，c成等比数列得出a，b，c的关系，进而可求得c关于a的表达式，进而根据 求得e由双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为1进而求得a和b的关系，进而根据c=求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得找出正方体中的四面体的各种图形，例如侧棱垂直底
24、面直角三角形的四面体即可判断的正误；用几何概型判断即可解答：解：已知a，b，c成等比数列，ac=b2，椭圆的离心率 ，故正确；双曲线x2y2=a2（a0），则双曲线的渐近线方程为y=x两条渐近线互相垂直，a2=b2，c=ae=，故正确；如四面体B1ABD；故正确；概率应为1，故错故答案是点评：本题主要考查了椭圆的基本性质，考查了双曲线的简单性质解答关键是学生转化和化归思想和对圆锥曲线的基础知识的把握程度14（5分）（2014马鞍山三模）对于圆锥曲线，给出以下结论：设A、B为两个定点，k为非零常数，|=k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动
25、点P的轨迹为圆；方程4x212x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线=1与椭圆+=1有相同的焦点椭圆C：+y2=1上满足=0的点M有4个（其中F1，F2为椭圆C的焦点）其中正确结论的序号为（写出所有正确结论的序号）考点：圆锥曲线的共同特征菁优网版权所有专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：不正确若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；设出定圆的方程，利用代入法分析可知AB中点P的轨迹为圆（除去A点）；求出方程的两根即可得到答案；双曲线=1与椭圆+=1有相同的焦点（5，0）；椭圆C：+y2=1上满足=0的点M有2个（0，1）解答：解：不正确若动点P
26、的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线；对于，设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由=（+），可知P为AB的中点，则B（2xm，2yn），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确；因为4x212x+5=0的两根是1.25，0.5，椭圆的离心率范围是（0，1），双曲线的离心率范围是（1，+），所以正确；双曲线=1与椭圆+=1有相同的焦点（5，0），正确；椭圆C：+y2
27、=1上满足=0的点M有2个（0，1）（其中F1，F2为椭圆C的焦点），不正确故答案为：点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题15（5分）（2012茂名二模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，双曲线的离心率的值为2，则该椭圆的离心率的值为考点：圆锥曲线的共同特征菁优网版权所有专题：综合题分析：利用离心率的定义，及双曲线的离心率的值为2，|PF1|=10，|F1F2|=|PF2|，可求得|PF2|=，再利用
28、椭圆的离心率e2=，可得结论解答：解：由题意知双曲线的离心率e1=2，又|PF1|=10，|F1F2|=|PF2|，|PF2|=椭圆的离心率e2=故答案为：点评：本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题三解答题（共6小题）16（2015洛阳一模）已知F1，F2是椭圆C+=1的左，右焦点，以线段 F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y2=0对称（l）求圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：直线与圆分析：（1）关键是求出以线段 F1F2为直径的
29、圆的圆心关于直线x+y2=0对称的点即圆C的圆心，半径是=1；（2）切线、圆半径、点P与圆心的连线，他们构成的直角三角形，切线最小及点P到圆心的距离最小解答：解：（1）由题意知，F1（1，），F2（1，0），线段F1F2的中点坐标为原点设点0关于直线x+y2=0对称的点C坐标为（x0，y0），则，解得，即C（2，2），半径为=1，所以圆C的方程为：（x2）2+（y2）2=1；（2）切线长：，当|PC|最小时，切线长取得最小值，当PC垂直于x轴，及点P位于（2，0）处时，|PC|min=2，此时切线长取最小值点评：本题主要考查圆的对称问题，圆的切线问题17（2015兴国县一模）已知抛物线y2=2
30、px（p0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）求抛物线方程；求ABS面积的最大值考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；分类讨论，求出ABS面积的表达式，即可求得其最大值解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，又得，所以依题意，p=4抛物线方程为y2
31、=8x（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，抛物线方程为y2=8x当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：=（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，ABS面积为，ABS面积的最大值为点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题18（2014天津一模）已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为8（1）求椭圆的方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若kACkBD=求的范围；求四边形ABCD的面积考点：椭圆的简单性质菁优网版
32、权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用离心率计算公式、菱形的面积计算公式、a2=b2+c2即可得出；（2）（i）设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出；（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形及其四边形的面积公式即可得出解答：解：（1）由已知可得：，于是c=2，b=2，a2=8，椭圆的方程为（2）当直线AB的斜率不存在时，=2，的最大值为2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，=16k2m24（1
33、+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，=y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，4k2+2=m2，=x1x2+y1y2=，因此，综上可得：设原点到直线AB的距离为d，则则SAOB=，又4k2m2=2，SAOB=2S四边形ABCD=4SAOB=点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率的计算公式、数量积运算、弦长公式和点到直线的距离公式及三角形四边形的面积公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题19（2015杨浦区一模）如图，曲线由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C
34、1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（6，0），求曲线的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求CDF1面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由F2（2，0），F3（6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x22mx+（
35、m2a2）=0，利用0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0）与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出解答：（1）解：F2（2，0），F3（6，0），解得，则曲线的方程为和（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x22mx+（m2a2）=0，=4m28（m2a2）0，解得又由数形结合知设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，=，即点M在直线y
36、=上（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0），化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，=（48n）2464（5+4n2）0，化为n21设C（x3，y3），D（x4，y4），|y3y4|=，=，令t=0，n2=t2+1，=，当且仅当t=，即n=时等号成立n=时，=点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（2014福建）已知双曲线E：=1（a0，b0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=2x（1）
37、求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为=1，设直线l与x轴相交于点C，分lx轴与直线l不与x轴垂直讨论，当lx轴时，易求双曲线E的方程为=1当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程
38、联立，利用由SOAB=|OC|y1y2|=8可证得：双曲线E的方程为=1，从而可得答案解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=2x，所以=2所以=2故c=a，从而双曲线E的离心率e=（2）由（1）知，双曲线E的方程为=1设直线l与x轴相交于点C，当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|AB|=8，因此a4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为=1以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为=1也满足条件设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k2或k2；则C（，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），
39、由得y1=，同理得y2=，由SOAB=|OC|y1y2|得：|=8，即m2=4|4k2|=4（k24）因为4k20，所以=4k2m2+4（4k2）（m2+16）=16（4k2m216），又因为m2=4（k24），所以=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为=1点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想21（2013江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C
40、的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，
41、y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x01），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得 由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x1）代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=， 在方程中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，=k注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有=k所以k1+k2=+=+（+）=2k 代入得k1+k2=2k=2k1又k3=k，所以k1+k2=2k3故存在常数=2符合题