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1、海淀区高三年级第二学期期末练习数学试题文科定稿及答案详尽海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （文科） 2010.5 选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1已知集合Mxx,21Pxx,22，则, MP,Axx,22xx,22xx,22xx,22 B C D ,22xy2双曲线的焦距为 ,1169A.10 B. C. D. 5 7273. 已知a=x，b=，若，则的值为 (1,0)(,1)xab,3A. B. C. D. 22231,34已知直线，则之间的距离为 lxylxy:10,:10，,，,ll,1212A.1 B. C. D
2、. 232,5函数图象的对称轴方程可以为 fxx()sin(2),，35,Ax B C D ,xxx1236126函数在定义域内零点的个数为 fxxx()|2|ln,A0 B1 C2 D3 7在正四面体中，棱长为4，是BC的中点，在线段上运动（不与、重合）， MPAMPAMABCD,过点作直线平面，与平面交于点Q，给出下列命题： P,ABCBCDll?面 ?Q点一定在直线DM上 ? AMDBC,V,42C,AMD其中正确的是 A? B? C? D? 8已知直线xy,，,20：，定点(0，1)，是直线上的动点，若经y,1FPl过点,的圆与相切，则这个圆面积的最小值为 FPl,A , B C D
3、3,4,22在点（1，1）处的切线的斜率为 . yx,二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 10某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示9曲线（如右图）.,，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则 .（填“”、“”ssss2211或“”） 111若某程序的框图如图，若输入的x的值为，则执行该程序后，输出的值为 . y2第10题图 第11图 12已知函数f(x),1，tanx，若f(a),3，则f(,a)= . n*13已知数列aaa,2n,满足a,1，（N），则aa，的值为 . ,nnn，11910*1
4、4给定集合An,1,2,3,.,，.若是AA,的映射，且满足： fnN,nnn（1）任取ijA,若，则； fifj()(),ij,n（2）任取mmA,若，则有. ,(1),(2),.,()fffmm,2n则称映射AA,为的一个“优映射”. fnn例如：用表1表示的映射AA,：是一个“优映射”. f33表1 表2 i i1 2 3 1 2 3 4 fi() fi()2 3 1 3 （1）已知AA,：是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； f44（2）若AA,：是“优映射”， 且，则ff(1000)(1007)，的最大值为_ . ff(1004)1,20102010三、
5、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15（本小题满分13分） 在?内，分别为角所对的边，成等差数列，且 . abc,ABC,abc,ABCac,2(I)求的值； cosA315(II)若，求的值. S,b,ABC416（本小题满分13分） 某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株. 现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位:cm)的抽查结果如下表： 树干周长(单位:cm) 30,4040,5050,6060,70 ，,x 株数 4 18 6 （I）求x的值 ; （II）若已知树
6、干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害,现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为2株的概率. 17（本小题满分14分） 在斜三棱柱ABCABC,中，侧面ACCA,平面，ABC11111. ，,ACB90（I）求证：BCAA,； 1（II）若M,N是棱上的两个三等分点， 求证：AN/平 面ABM. 1118（本小题满分13分） 若数列*aaaapSrnpr,，,1,(N),Rn满足，S为数列的前项和. ,n11nnn，n(?) 当aaa,pr,2,0时，求的值； 234（?）是否存在实数a，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说
7、明理pr,pr,n由. 19（本小题满分14分） 已知函数xfxaxe()(1),， a,R（I）当时，求函数fx()的极值； a,1（II）若函数afx()在区间(0,1)上是单调增函数，求实数的取值范围. 22xy22，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆ab，Cab:1(0)，,O22ab20（本小题满分13分） C的一个焦点为F(2,0)，其短轴上的一个端点到的距离为. 3给定椭圆（I）求椭圆的方程和其“准圆”方程； (II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且ll,ll,1212分别交其“准圆”于点M，N . ll,12（1）
8、当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程； ll,y12（2）求证：|MN|为定值. 20105 一、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B D C A B 9.2 10., 11.2 12. 13.48 ,114. ； 2011. (6,80) 15. （本小题满分13分） 解：（I）因为abc,成等差数列，所以 ， 2分 a，c,2b3 又b,c，可得 ， 4分 ac,229222ccc，,4222bca，,14 ， 6分 cosA,324bc22，c2所以115（II）由（I），所以 ， 8分 A,(0,)cosA,sinA,441315因为 S， ， S,bcsi
9、nA,ABC,ABC42113153152 所以 SbcAc,，,sin ， 11分 ,ABC222442 得 ，即，. 13分 c,4c,2b,316. （本小题满分13分） 解：（I）因为用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株， 400 所以应该抽取银杏树株 3分 100，,401000所以有，所以 5分 4，18，x，6,40x,12（II）记这4株树为树,树,树,树树，且不妨设为患虫害的树， 12344记恰好在排查到第二株时发现患虫害树为事件A，则A是指第二次排查到的是树 4 7分 因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件空间为： ,(树,树),(树,树)
10、,(树,树),(树,树),(树,树),(树,树) 121314212324 (树,树),(树,树),(树,树),(树,树),(树,树),(树,树) 313234414243共计12个基本事件 10分 因此事件中包含的基本事件有3个 12分 31所以恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率 13分 P(A),1241答：x值为12；恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率为. 417. （本小题满分14分） ,证明：(?) 因为，ACB,90 ，所以， 1分 AC,CB又侧面ACCA,ACCA:平面，且平面平面=AC， 3分 ABCABC1111ACCA平面，所以平面， 5分 BC,ABCBC,11又A
11、A,ACCABC,AA平面 ，所以 . 7分 1111（II）连接ABAB,交于O点，连接MO, 9分 11中，O,M分别为，BN的中点, 所以OM / 11分 ,ABNABAN111又,平面，平面 , 13分 ABMAN,ABMOM111在所以 / 平面 . 14分 ANABM1118. （本小题满分13分） 解：（I）因为a,pS，ra,1， n，1n1当a,2S时， 1分 p,2,r,0，n1n所以a,2a,2, 2分 21aSaa,，,，,22()2(12)6 , 4分 3212aSaaa,，,，,22()2(126)18. 6分 43123（II）因为a,pS，r， n，1n所以a,
12、pS，r（）， 7分 n,2nn,1所以a,a,(pS，r),(pS，r),pa ， n，1nnn,1n即a,(p，1)a，其中 ， 9分 n,2n，1n所以若数列a为等比数列，则公比q,p，1,0，所以p,1， 11分 ,n又a,p，raq,a(p，1),p，1=，故 . 13分 r,1211所以当apr,1,1时，数列为等比数列. ,n19. （本小题满分14分） x解：（I）因为f(x),(ax，a,1)e ， 2分 x所以当f(x),xe时， ， 3分 a,1令f(x),0，则， 4分 x,0所以f(x),f(x)的变化情况如下表： x (,0)(0,，,) 0 , f(x) 0 +
13、极小f(x) 值 时，取得极小值. 6分 f(x)f(0),1x,05分 x(II) 因为f(x),(ax，a,1)e，函数在区间上是单调增函数, (0,1)fx()所以所以x,对恒成立. 8分 f(x),0(0,1)x又x,，所以只要对恒成立, 10分 (0,1)e,0ax，a,1,0解法一：设x,，则要使对恒成立， g(x),ax，a,1(0,1)ax，a,1,0g(0),0,只要成立， 12分 ,g(1),0,a,1,0,即，解得 . 14分 a,1,2a,1,0,解法二：要使x,对(0,1)恒成立， ax，a,1,01因为x,，所以对恒成立 ， 10分 (0,1)a,x,0x，11因为
14、函数在(0,1)上单调递减， 12分 g(x),x，11所以只要 . 14分 a,g(0),10，120. （本小题满分13分） 解：（I）因为c,2,a,3，所以 2分 b,1第三章 圆2x2所以椭圆的方程为，,y1， 3三三角函数的计算22准圆的方程为x，y,4 . 4分 4、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。22（II）（1）因为准圆x，y,4与轴正半轴的交点为P（0，2）, 5分 y设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y,kx，2, ykx,，2,222所以(1，3k)x，12kx，9,0，消去y ，得到 , 6分 ,x2，,y1,3,因为椭圆与y,kx，2
15、只有一个公共点, 22所以,，,14449(13)0kk , 7分 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一解得. 8分 k,1圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.方程为. 9分 ll,y,x，2,y,x，212（2）?当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， lll,121所以|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。因为x,3x,3l与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 1当(3,1),(3,1)x,3l方程为时，此时l与准圆交于点， 11此时经过点(3,1)(3,1)(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或)，即l为(或
16、)，显然直线垂直； y,1y,1y,1y,1ll,122同理可证 x,3l方程为时，直线垂直. 10分 ll,12122? 当P(x,y)都有斜率时，设点，其中， ll,x，y,4120000设经过点y,t(x,x)，yP(x,y)与椭圆只有一个公共点的直线为, 0000ytxytx,，,(),00,222则x，3(tx，(y,tx),3,0，消去得到， y,200x，,y1,3,222即(1，3t)x，6t(y,tx)x，3(y,tx),3,0, 0000第一章 直角三角形边的关系222,6t(y,tx),4,(1，3t)3(y,tx),3,0， 0000222经过化简得到:, (3,x)t
17、，2xyt，1,y,000004、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。22222因为，所以有, x，y,4(3,x)t，2xyt，(x,3),0000000设t,tll,的斜率分别为,因为ll,与椭圆都只有一个公共点， 121212等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。222所以t,t满足上述方程, (3,x)t，2xyt，(x,3),0120000所以t,t,1ll,，即垂直. 12分 1212综合?知：因为P(x,y)ll,ll,经过点，又分别交其准圆于点M，N，且垂直， 12120010.三角函数的应用22所以线段MN为准圆x，y,4的直径，所以|. 13分