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1、2021/6/7,1,第二节 二重积分的计算法,一、直角坐标系下的计算法二、极坐标系下的计算法,2021/6/7,2,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,基本思路：化为定积分,2021/6/7,3,一、 直角坐标系下的计算法.,1. X型积分区域D:,1(x)y2(x) , a xb,特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,2021/6/7,4,A( x),2021/6/7,5,后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线,先交的为下限,后交的为上限。,D是X型区域，二重积分化为先对y， 后对x的二次积分。,关键：确定各积分变量的积分限。,2021/6/7
2、,6,例1,其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.,解: D为X型区域,2021/6/7,7,2. Y型积分区域D：,1(y)x2(y) , c yd,2021/6/7,8,后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线,先交的为下限,后交的为上限。,D是Y 型区域，二重积分化为先对x， 后对y的二次积分。,关键：确定各积分变量的积分限。,2021/6/7,9,D也为Y型区域,例1,其中D为y2 =x 和y =x2 所围的闭区域.,2021/6/7,10,例2,其中D为由 x=0 和 y=0 及 y = 22x所围成闭域.,解: D为X型区域,2021/6/7,11,D也为Y型区域,20
3、21/6/7,12,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,3. 若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,2021/6/7,13,例3 计算,其中D由y =2, y=x及xy=1所围闭区域,2,1,解: D为Y型区域,2021/6/7,14,若先对y再对x积分,D也为X型区域,2021/6/7,15,例4 改换二次积分,的积分次序.,解： D：0y x, 0 x 1,2021/6/7,16,例5 改换二次积分,的积分次序.,解：,x2+(y1)2=1,2021/6/7,17,解,区域D既是X型，又是Y型的,但siny2的原函数不是初等函数,原积分不能直接得到,先交换交换顺序,例6,2021/6/7,18,解,区域D既是X型，又是Y型的,例7,2021/6/7,19,求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的体积。,R,D1,解,如图设两个圆柱的方程为,例8,部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！,