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1、湖南省长沙市长郡中学2008届高三第三次月考数学试题理科湖南省长沙市长郡中学2008届高三第三次月考 数学试卷(理) 时量:120分钟 满分: 150分 2007.11.4下午 一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 22x，y，1,0与圆(x,1)，y,21(直线的位置关系是 A(相切B(相交 C(相离 D(不能确定 yx,log322. 函数的定义域是 ，1222，,，2,，,1,，,A、 B、 C、, D、, 11,，,3,33，,，3(函数为奇函数的充要条件是 f(x),xsinx，a，b22A( B( C( D(a，b
2、,0 ab,0a，b,0a,b22xy4(与双曲线有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为 ,1916543，12 C. A.B.D.432f(x),ax，bx，c(a,0)作x,h(t)5(对于函数的代换，则总不改变函数的值域f(x)的代换是 th(t),3h(t),logt A( B( C( D( h(t),|t|h(t),cost26(车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分. 上班高峰期某十字路t口的车流量由函数Ft,，504sin(其中)给出，的单位是辆/分，020,tFtt，2的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 A 0,5 B 5,10 C 1
3、0,15 D 15,20 7(定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在-3，-2上是减函数，是锐角三角的两个内角，则f(sin)与f(cos)的大小关系为 ，A. fsin,fcos,B. fsin,fcos, ，C. fsin,fcos,D. 不确定 A 8(如图所示,?ABC中，BC边上的两点D 、E分别 ,与A连线(假设，ACB,，ADC,，三角形 4B C D E ABC、ABD、ABE的外接圆直径分别为d,e,f， 则下列结论正确的是 A( B( C( D( d,f,ee,f,dd,e,fe,d,fb9(已知三个正实数a、b、c满足a,b，c,2a,b,a，c,2
4、b,则的取值范围为 a212233,A. 0,B. ,C. ,D. ,2 ,333322,mnaa,1,q,210. 已知数列为等比数列，又第项至第项的和为112， (m,n)n1则的值为 m，nA. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. ,1y,f(x)11(若函数的反函数的图象与y轴交于点P(0，2)，则方程y,f(x)f(x),0的根是 . a,aa,an,1nnn，1,naa,2,a,112. 如果数列满足，且(?2)，则此数列的第n12aaaann,1nn，110项为 l:4x，y，6,0
5、和l:3x,5y,6,013.一直线被两直线截得的线段MN的中点P恰好l12是坐标原点，则直线的方程为 l(3cos2x,cosx),函数f(x),x,0,则f(x)14(设(1,2sinx),a=b=a?b ，最大值为 ，相应的x的取值为 。 AB,AC,AB,AC,4,15(在三角形ABC中，M为BC边的中点。则中线AM的长为 ; ?ABC的面积的最大值为 。 三.解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) ,f(x),3,cos(x，),0，0,若y,f(x)的图象的已知函数相邻两对,2,7M(1,)称轴之间的距离为2，且过点
6、 2(?)求表达式; f(x)d,(m,n)(?)将函数的图象按向量平移，使平移后的图象关于原点成中心对称，求y,f(x)d长度最小的向量。 17. (本小题满分12分) 112，数列b的首项b=1，且b-b=(n?2)， 已知数列的前n项和S,(n,n，2)n1nn-1nn,122(?)求数列a和b的通项; nn(?)求证:存在自然数n，对一切不小于n的自然数n，恒有a,5b . 00nn18.(本小题满分12分) 某观测站C在城A的南20?西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40?东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间
7、距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城, 19. (本小题满分12分) 某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元.每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管). (?)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于关于x的函数关系式; (?)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值; (?)若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问按此优惠条件，
8、该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值. 20. (本小题满分13分) |PF|2 如图，直线与半径为1的圆F相切于C。动点P到直线的距离为d，已知，,d223且?d?。 M32(?)建立适当的直角坐标系，求点P l运动形成的轨迹方程; ,P(?)若点G满足，点M满足 GF,2FCGCF,且线段MG的垂直平分线经过P， MP,3PF求?PGF的面积。 21. (本小题满分13分) ,3f(x),mx,x已知在函数的图象上以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为 .4(?)求m、n的值; f(x),k,1992对于x,1,3 (?)是否存在最小的正整数k，使得不
9、等式恒成立,如果存在，请求出最小的正整数k;如果不存在，请说明理由; 1 (?)求证: |f(sinx)，f(cosx)|,2f(t，),(x,R,t,0)2t长郡中学2008届高三第三次月考 数学(理)参考答案 时量:120分钟 满分: 150分 一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 22x，y，1,0与圆(x,1)，y,21(直线的位置关系是(A) A(相切 B(相交 C(相离 D(不能确定 yx,log322. 函数的定义域是 (D) ，1222，,，2,，,1,，,A、 B、 C、, D、, 11,，,3,33，,，3
10、(函数为奇函数的充要条件是(D) f(x),xsinx，a，b22a，b,0A( B( C( D( ab,0a，b,0a,b22xy4(与双曲线有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为(A) ,1916543，12 C. A.B.D.432f(x),ax，bx，c(a,0)作x,h(t)的代换，则总不改变函数的值域5(对于函数f(x)的代换是 (D) th(t),3h(t),logt A( B( C( D( h(t),|t|h(t),cost26(车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分. 上班高峰期某十字路t口的车流量由函数(其中)给出，的单位是辆/分，Ft,，50
11、4sin020,tFtt，2的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的(C) A B C D 0,55,1010,1515,207(定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在-3，-2上是减函数，是锐角三角的两个内角，则f(sin)与f(cos)的大小关系为(B) ，A. fsin,fcos,B. fsin,fcos, ，C. fsin,fcos, D. 不确定 A 8(如图所示,?ABC中，BC边上的两点D 、E分别 ,与A连线(假设，三角形 ，ACB,，ADC,4ABC，ABD，ABE的外接圆直径分别为d,e,f， B C D E 则下列结论正确的是(D) A(d,f
12、,ee,f,dd,e,fe,d,f B( C( D( b9(已知三个正实数a、b、c满足a,b，c,2a,b,a，c,2b,则的取值范围为(C) a212233,A. 0,B. ,C. ,D. ,2 ,333322,mnaa,1,q,210. 已知数列为等比数列，又第项至第项的和为112(m,n)， n1则的值为 (B) m，nA. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. ,1y,f(x)y,f(x)f(x),011(若函数的反函数的图象与y轴交于点P(0，2)，则方程的根是 2 . a,aa,an,
13、1nnn，1,naa,2,a,1满足，且(?2)，则此数列的第1012. 如果数列n12aaaann,1nn，11项为 513.一直线被两直线l:4x，y，6,0和l:3x,5y,6,0截得的线段MN的中点P恰好l12是坐标原点，则直线的方程为 x，6y,0l(3cos2x,cosx),函数f(x),x,0,则f(x)14(设a=b=a?b ，最大值(1,2sinx),为 2 ，相应的x的取值为 x, 。 12AB,AC,AB,AC,4,2215(在三角形ABC中，M为BC边的中点。则中线AM的长为 ; 42?ABC的面积的最大值为 。 三.解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说
14、明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) ,f(x),3,cos(x，),0，0,若y,f(x)的图象的已知函数相邻两对,2,7M(1,)称轴之间的距离为2，且过点 2(?)求表达式; f(x)d,(m,n)(?)将函数的图象按向量平移，使平移后的图象关于原点成中心对称，求y,f(x)d长度最小的向量。 ,2解:(?)由题设知 T,2，2 ,?, 2分 ,2,177sin,又f(1),即,3,cos(，1，,) ?, 2222,?0, ?, ?f(x),3,cos(x，) 6分 ,2626y,f(x)(?)将函数图象按平移后图象表达式为 d,(m,n)m, 10分 g(x),cos
15、(x，,)，3，n262因图象关于原点成中心对称， g(x)n，3,0n,3,? ？m1,k， k,Zm,2(k，),6263,1222|d|,m，n,9，4(k，) 3?k,Z ？当k,0时取最小值 |d|22? 12分 m, ？d,(,3)3317. (本小题满分12分) 112已知数列的前n项和，数列b的首项b=1，且b-b=(n?2)， S,(n,n，2)n1nn-1nn,122(?)求数列a和b的通项; nn(?)求证:存在自然数n，对一切不小于n的自然数n，恒有a,5b . 00nn1n,1,a,解:(?) 3分 nn,1n,2,b,b，(b,b)，(b,b2)，？，(b,b)叠加
16、法: n1213nn,12n,1n,11111,12,，？，, 6分 2222,(?)n=1不满足7分 n,1，1,52, n?2时，n-1, 2,，5? n,11- n,12寻找使该不等式恒成立的不等式 5? 11-,11 n,12? 取n=11 12分 018.(本小题满分12分) 某观测站C在城A的南20?西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40?东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城, 解:根据题意得图 ， 其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米， ?CAB=
17、60?( 设?ACD = ，?CDB = ( 2分 在?CDB中，由余弦定理得: 2222222120311CD，BD,BC，,cos， ,2221207,CD,BD，5分 432sin1cos( ,7， sin,sin180:,，CAD,，CDA，,sin180:,60:,180:，, 4311353,sin,60:,sincos60:,cossin60:,，,，(9分 ,727214在?ACD中，由正弦定理得: CD21532153AD,sin,，,15( Asinsin60:141432此人还得走15千米到达A城(12分 19. (本小题满分12分) 某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤
18、原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元.每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管). (?)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于关于x的函数关系式; (?)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值; (?)若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问按此优惠条件，该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值. 解:(I)每次购买原材料后，当天用
19、掉的400公斤原材料不需要保管费，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x,1天. ?每次购买的原材料在x天内总的保管费用 2y,400，0.031，2，3，.，(x,1),6x,6x(元)4分 126x,6x，600，1.5，400x(?)由上问可知，购买依次原材料的总的费用为元， ?购买依次原材料平均每天支付的总费用 16002 y,(6x,6x，600)，1.5，400,，6x，594xx600600y,2,6x，594,714.当且仅当
20、,6x，即x,10时，?取等号. xx?该厂10天购买依次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元.8分 (?)按此优惠条件，则至少15天购买一次原材料，又由上问可知，按此优惠条件购2买一次原材料的总的费用为6x,6x，600，0.85，1.5，400x元，其中x?15. ?购买一次原材料平均每天支付的总费用 16002y,(6x,6x，600)，0.85，1.5，400,，6x，504(x,15)xx 600？y,，6.10分2x600当x?15时，上是增函数. y,0,即函数y,，6x，504在15,，,)x600?当x=15时，y取最小值，最小值为(元) ，6，15，504,6
21、3415?按此优惠条件，该厂15天购买依次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，最少为634元.12分 20. (本小题满分13分) |PF|2 如图，直线,与半径为1的圆F相切于C。动点P到直线,的距离为d，已知,，d223且?d?。 M32(?)建立适当的直角坐标系，求点P l运动形成的轨迹方程; ,P(?)若点G满足，点M满足 GF,2FCGCF,且线段MG的垂直平分线经过P， MP,3PF求?PGF的面积。 解 :(?)点P的轨迹 是以点F为焦点，,为相应准线的椭圆弧。 c,e,c2a,由 ? ,a22,e,2,2a又? ? ,c,1c2解?得a=，c=1 3分 以CF所在直线x轴，
22、以CF与圆F的另一个交点O为坐标原点，建立直角坐标系，设P(x，y) 2323? ?d?，即?2-x? 323214? ?x? 232x142故所求的点P的轨迹方程为(?x?) 6分 ，y,1232, (?)? GF,2FC,? |=2，G为椭圆的左焦点 GF,又? 线段MG的中垂线经过点P，且 MP,3PF,? |PG|,|MP|,3|PF|又点P在椭圆上 ,? |PG|,|PF|,2a,22,23? 10分 |PF|,|PG|,222,又? |GF|,20? ?PGF为Rt?，?PFG=90 122S213分 ,，,PGF22221. (本小题满分13分) ,3f(x),mx,x已知在函数
23、的图象上以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为 .4(?)求m、n的值; f(x),k,1992对于x,1,3 (?)是否存在最小的正整数k，使得不等式恒成立,如果存在，请求出最小的正整数k;如果不存在，请说明理由; 1|f(sinx)，f(cosx)|,2f(t，),(x,R,t,0) (?)求证: 2t2,f(x),3mx,1,解:(?)依题意， 2,tan,f(1),即1,3m,1,m,得 43213f(x),x,x,把N(1,n)代得,得n,f(1),? 3321m,n,?2分 33222,f(x),2(x，)(x,),0,则x, (?)令 22222,1,x,时,f(x),2x,1,0
24、,f(x)当在此区间为增函数 2222,x,时,f(x),2x,1,0,f(x)当在此区间为减函数 2222,x,3时,f(x),2x,1,0,f(x)当在此区间为增函数 22f(x)在x,处取得极大值5分 212222f(,1),f(,),f(),f(3),15又 323232x,1,3时,f(x),15,因此，当6分 3(3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)f(x),k,1992对于x,1,3恒成立,则k,15，1992,2007要使得不等式 f(x),k,1992对于x,1,3所以，存在最小的正整数k=2007，使得不等式恒成立。7分 2.正
25、弦：2233(?)(方法一)|f(sinx)，f(cosx)|,|(sinx,sinx)，(cosx,cosx)|, 33223322|(sin，cosx),(sinx，cosx)|,|(sinx，cosx)(sinx,sinxcosx，cosx),1|332113 ,|sinx，cosx|,|sinxcosx,|,|sinx，cosx| 333122,3,|2sin(x，)|,10分 343又? t,0最值：若a0，则当x=时，；若a0， 第三章 圆1f(x)在1,，,？t，,2,1，且函数上是增函数， 2t43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-23122332()2(2)2(2)2？ft，,f,12分 233t综上可得 1|f(sinx)，f(cosx),2f(t，)(x,R,t,0)13分 2t