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1、湖南省长沙市雅礼中学2014届高三上学期第二次月考试题（10月） 数学（理） Word版含答案（ 2014高考）雅礼中学2014届高三月考试卷(二) 数学(理科) 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. M,N,1.集合若,则 ,M,N,1MaNab,2,log,30,1,20,1,30,2,31,2,3A( B( C( D( ,1.【答案】D 因为,所以,即a,3,所以b,1,即,所以log1a,MN,2,1,3,1MN:,1,3,选D( MN:,2,1,3,22.命题“”的否定是 ，,xRxx,2022A( B( ,xRxx,
2、20，,xRxx,2022C( D( ,xRxx,20，,xRxx,20222.【答案】C特称命题的否定式全称命题,所以命题“”的否定是,，,xRxx,20,xRxx,20选 C( 3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆,则这个几何体的表面积是 2( ) 16,14,A( B( 12,8,C( D( 13.【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去半球的球.其中两4正视图 左视图 32个半圆的面积为.个球的表面积为,，,24432,所以这个几何体的表面积是，,42124俯视图 12416,，,选A( ,4.非零向量使得成立的一个充分非必要条件是 ab,|abab，,a
3、b,ab/ab，,20ab,A( B( C( D( |ab,ab，ab,4.【答案】B 要使 |abab，,则共线,且方向相反,且,所以选B(2aa,，21,21,a5.在各项均为正数的等比数列中,则 aaaaa，,23sn32637842,A(4 B(6 C(8 D( 22225.【答案】C 在等比数列中,所以 aaaaaaa,aaaaaaaaa，,，222,，,，,()(2121)(22)8aa,选C( 356.市内某公共汽车站6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 A(48 B(54 C(72 D(84 36.【答案】C 根据题
4、意,先把3名乘客进行全排列,有种排法,排好后,有4个空位,再将1个空位和A,63261272，,余下的2个连续的空位插入4个空位中,有种排法,则共有种候车方式,选 C( A,1247.已知,若恒成立, 则,的取值范围是 log(4)log(32)xyxy，,，,xy,1122,10,1010,，,10,，,A( B( C( D( ，,xy，,40xy，,40,7.【答案】C要使不等式成立,则有,即,设,则.zxy,yxz,320xy，,320xy，,xyxy，,，,432x,3,作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线,由图象可yxz,知当直线经过点B时,直线的截距最小,此时最z大,由yxz,
5、xy，,40y,7,解得,代入得zxy,x,3x,3,所以要使恒成立,则的zxy,，,3710xy,取值范10,，,10围是,即,选 C( ，,8.已知集合M=,若对于任意(x,y)|yf(x),(x,y)M,存在(x,y)M,使得1122xxyy，,0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列1212四个集合: 1?M=;?M=; (x,y)|ysinx,，1(x,y)|y,xx?M=(x,y)|ylogx,;?.其中是“垂直对点集”的序号是 Mxyye,(,)22A(? B(? C(? D(? 18. 【答案】D?是以轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90?,在同一支上,任意xy,y,x(
6、x,y)?M,不存在(x,y)?M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x,y)?M,在另一支上也不存在112211(x,y)?M,使得xx+yy=0成立,所以不满足“垂直对点集”的定221212义,不是“垂直对点Mxyyyx,，(,)sin1集”.?,如图在曲线上,两点构成的直角始存在,所以Mxyyyx,，(,)sin1是“垂直对点集”. Mxyyx,(,)log对于?,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M,N,(log2,0)(0,1),22满足“垂直对点集”的定义,所以正确. x对于?,如 图取点Mxyye,(,)2(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以
7、不是“垂直对点集”. ,故选 D( 二、填空题:本大题7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. a，3ia,b,R9.已知，其中，为虚数单位，则i,b,iia，b=_.4 x10(曲线在点(0,1)处的切线方程yxex,，21yx,，31为 . p,0.811.执行右边的程序框图6，若，则输出的, . n11:4 12812(在(的展开式中，的系数是 .(用数字作答) x,)xx12.解析:由展开式的第项为:r，1rrrrrrr2(8)163,TCxxCx,(1)(1) 图6 r，18855所以的系数为:C(1)56, x822xyA,B,1(0,0)ab13(双曲
8、线过其左焦点作轴的垂线交双曲线于两点，若双曲线右顶点xF122ab在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为 . AB13. (1，2) 22b解析:由题知:|AB|= a若使双曲线右顶点在以AB为直径 的圆内则应有:，AAB为钝角2,AAF ？,，,2142|AF|AF11？，,tan1AAF？,1 21|FA|FA1212222？,，baac？,ee20？,ee21或 又？e,1, ？,e2 . 故选A 214.研究问题:“已知关于x的不等式的解集为(1,2),解关于x的不等式 ax,bx，c,0111222y,”,有如下解法:由,令,则 cx,bx，a,0ax,bx，c,0,a,b()
9、，c(),0xxx112,所以不等式的解集为.类比上述解法,已知关于的不等 xcx,bx，a,0y,(,1)(，1)22kxbx,1kxb，式的解集为,则关于x的不等式的解 ，,0(2,1)(2,3),:，,0xaxc，ax,1cx,1集为_. 11114.【答案】 (,，,),(，1)232kxb，1【 解析】关于x的不等式的解集为,用替换x,不等式可化，,0(2,1)(2,3),:,xaxc，x1(),，b11kkxbx,1为,因为,所以或x,(2,1)(2,3):,x1，,，,0x211axcx,11()(),，,，ackxbx,111111xx,即不等式的解集为. ，,0(,，,),(
10、，1),x232ax,1cx,1233xOy15. 在直角坐标系中，动点， 分别在射线yxx,(0)和上运动，且?AByxx,3(0)3OABOAB的面积为(则点，的横坐标之积为_;?周长的最小值是_( 1AB315.，. 2(12)，2三、解答题:本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.(本小题满分12分) ,A,B,Ca,b,c,ABC在中,角的对边分别为,已知. A,bsin(,C),csin(,B),a444C,ABC(?)求和;(?)若,求的面积.高 考 资 源 网 Ba,2216.【答案】解:(?)由用正弦定理得 bcBasin()sin(),C4
11、4sinsin()sinsin()sin.BBA,CC4422222? BBBCCCsinsin(cossin)sin(cossin),，22222即 ? sincoscossin1,BBCC,sin()1.B,C333,? ? ?. BCBCBC0,，,244435A,又,?, 解得 6分 BCBC,.，,48845由(?),由正弦定理, (?)BC,88522sin，aBsin5得 8b,4sin.sin8Asin1154?,ABC的面积 SabC,，sin224sinsin22885 ,42sinsin42cossin888812分 ,22sin2.417. (本小题满分12分) ABC
12、D，DAB,，DBF,60:FAFC,如图，四边形与均为菱形， ，且( BDEFFC(?)求证:?平面; EADA,FC,B(?)求二面角的余弦值( ABCD17. (?)证明:因为四边形与均为菱形， BDEFBC所以/，/， ADDEBFFBC所以 平面/平面(3分 EADFC,FBC又平面， FC所以/ 平面( 5分 EAD，DBF,60:(?)解:因为四边形为菱形，且，所以?为等边三角形( BDEFDBFOFO,BDFO,ABCD因为为中点，所以，故平面( BDOA,OB,OFO,xyz由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系( 6分 ABCD，DAB,60:OB,1设(因为四边形为菱形
13、，则，所以， AB,2BD,2OAOF,3( 所以 ( O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),C(,3,0,0),F(0,0,3),所以 ，( CF,(3,0,3)CB,(3,1,0),n,CF0,n=()x,y,zBFC设平面的法向量为，则有 ,n,CB0.,3x，3z,0,x,1所以 取，得( 8分 n,(1,3,1),3x，y,0(,v,(0,1,0)AFC易知平面的法向量为( 10分 nv,15A,FC,B由二面角是锐角，得 ( cos,，,nvnv515A,FC,B所以二面角的余弦值为( 12分 518. (本小题满分12分) 现有长分别为、的钢管各根(每根钢管质地均
14、匀、粗细相同且附有不同的编号),从中3m31m2mn随机抽取根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的,),再将抽取的钢管相接焊成笔直的一19,n根. PA()(?)当时,记事件抽取的根钢管中恰有根长度相等,求; n,33A,2,(?)当时,若用表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),?求的分布列; n,22E()1,?令,求实数的取值范围. ,，1,121CCC933618.【答案】解:(?)事件为随机事件, 4分 APA(),3 C149(?)?可能的取值为 ,2,3,4,5,6211CCC11333, P(2)P(3)22 C12C49921111CCC，CC1133333, , P(4)P(
15、5),22C3C4992C13, P(6)2C129?的分布列为: ,2 3 4 5 6 8分 11111 P121244311111? 9分 ,，,E()2345641243412222, ？,，1？,，EE()()1,，41,12, 12分 ？E()1,？,，,4110419. (本小题满分13分) 某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆3k心处的支点都有一根直的钢管相连。经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为x，(12820)xx，元.假设
16、座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他2，k,25,，因素,记转盘的总造价为元. y(1)试写出关于的函数关系式,并写出定义域; yxk,50(2)当米时,试确定座位的个数,使得总造价最低? kk19【答案】解:(1)设转盘上共有x,即n,个座位，则， nnx22，3k(128x，20)xky,，2， 3分 ,x25x，kk,x0,x,Z定义域 5分 ,2x,，5(128，20)x2,(),，(2)yfxk ,25x，3225-125，64x，2,y,k0，令 9分 y,得x,225x162525, 当x,(0,)时，f(x),0,即f(x)在(0，)上单调递减;161
17、62525, 当x,(，25)时，f(x),0,即f(x)在(,25)上单调递增;16162550？f(x)的最小值在x,时取到，此时座位数为,32个。 13分 25161620. (本小题满分13分) 22xy3CCN在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率为,且椭圆上一点xOy，,1(1)ab,?e,22ab2Q(0,3)M(3,0)CA、B到点的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点. C(?)求椭圆的方程; AB,3(?)设为椭圆上一点,且满足OA，OB,tOP(O为坐标原点),当时,求实数的取值Pt范围. 222cab,322220.【答案】解:(?)? ? 1分 ab,4,e,22aa
18、422xy222则椭圆方程为即 ，,1,xyb，,44.224bb则 设Nxy(,),22222NQxybyy,，,，,(0)(3)44(3) 2222 ,，,，36493(1)412yybyb2NQ当时,有最大值为 4124,b，,y,12x222解得?,椭圆方程是，,y1 (5分) b,1,a,44(?)设AxyBxyPxyAB(,),(,),(,),方程为 ykx,(3),1122ykx,(3),2由 2,x，,y1,42222整理得. (14)243640，,，,kxkxk124222由,得. ,，2416(91)(14)0kkkk,k,52224364kk, (8分) xxxx，,.
19、1212221414，kk,OAOBxxyytxy，,，,(,)(,),? 12122124k则, xxx,，,()122ttk(14)，116,k ,yyykxxk,，,，,()()6.12122tttk(14)，222(24)144kk由点P在椭圆上,得 ，,4,222222tktk(14)(14)，222化简得? 36(14)ktk,，2ABkxx,，,13,又由 1222，即将,代入得 xx，xx(1)()43,，,kxxxx,12121212，242，244(364)kk,2 (1)3,，,k,222(14)14，kk，22,得 化简(81)(1613)0,kk,，,122则, 81
20、0,kk,(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）8112? ,k（5）二次函数的图象与yax2的图象的关系：85tan12369k2由?,得 t,9,221414，kk2,23,t32.,t联立?,解得?或 (13分) 34,t21. (本小题满分13分) 11*f(x),4，y,f(x)P(a,)已知的前n项和为，点在曲线上且数列aS(n,N)nnnn2axn，1，. a,1,a,01n(1)求数列的通项公式; an(2)试找整数，使. MM,S,M，1311121.解:(1),f(a),4，且a,0 nn2aan，1n说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条
21、直线来说，如果具备：11,，? 42aa，n1n函数的取值范围是全体实数；11,4(n,N*)? 22aan，n1三三角函数的计算11,1?数列是等差数列，首项公差d=4 22aann1,1，4(n,1)? 2an(5)直角三角形的内切圆半径12? a,n4n,3（1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一? a,0n(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）1,a,(n,N)?(6分) n4n,3224n，1,4n,3(2) n,2a,时，n224n,34n,3，4n，1224n,3,4n,7 8分 a,n224n,34n,3，4n,79,513,9125,121S,1，？，31222? 11分 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有125,56060,1，,1，,1，,5,故S,5.31212，3125，55,19,5121,117S,1，？，31222 11,1,1，,6.2M,5因此整数 13分