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1、甘肃省兰州一中2013年高考数学冲刺模拟试题（一）理（含解析）甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一) 数学(理) 本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分. 请将答案填在答题卡上. 第?卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. xx(2),U,R1.设全集,，则图中阴影部分表示的集合 |21,|ln(1)xBxyx,A,A. B(|1xx,|12xx, C( D(|01xx,|1xx, 【答案】B 【解析】易知:阴影部分表示集合，因为ACB,Uxx,2，0，因为21220,02,=|02,得所以
2、所以xxxAxx，,101,=|1,=|1,xxBxxCBxx得所以所以，所以,U=ACB,|12xx,U。 xy，(1)，ixyR,2.已知，为虚数单位，且，则的值为 xiyi,，1i,2i2i2,4A. B. C. D. 【答案】D x,1,2xy，,，,12ii(1)，i【解析】因为，所以。xiyi,，1,1,1即xy,，, ，所以,y1,3.如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S值为 1,3,A( B( 21C(2 D( 3【答案】C ii,0,4满足【解析】开始，进入循环， S,11i,4iiS,，,11,第一次循环:，满足，再次循环; S，131 S,11i,4第二次循环:，满足
3、，再次循环; iiS,，,12,S，12S,1i,4第三次循环:，满足，再次循环; iiS,，,13,3S，1S,1i,4第四次循环:，不满足，结束循环，此时输出的S值为2。 iiS,，,14,2S，1,4.设函数的最小正周期为，且,fxxx()sin()cos()(0,),，,2则 fxfx()(),3,A. 在单调递增 B. 在单调递增 (0,)(,)yfx,()yfx,()442,3,C. 在单调递减 D. 在单调递减 (0,)(,)yfx,()yfx,()442【答案】D ,【解析】,，最小正周期为fxxxx()sin()cos()2sin,，,，,4,，因为2,所以所以，又因为 ,=
4、2ff()(),fxfx()(),，所以，所以88,sincos,=,所以2sin2=2sin2-，n，所以,48484,即, fxxx()2sin2=2cos2,，,44,，因此选D。5.一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过km的位置都会受其影响，且是区间5, 10内的一个随rr机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是 2,122,22,1 A( B( C( D(1, 22【答案】D r,52【解析】以原点为圆心，r为半径作圆，易知当时，轮船会遭受台风影响，所以10521052,。 P,221055,PABCD
5、,6.已知四棱锥的三视图如右图所示，则四棱锥33PABCD,的四个侧面中的最大面积是 68A( B( 42正视图侧视图253C( D. 222 2 俯视图图1【答案】A 1【解析】四棱锥如图所示:，PMS,，,3,4525,PDC211，所以四棱锥的四个侧面中SSS,，,，,PABCD,233,436,PBCPADPAB22的最大面积是6. 227.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值ykx,20xyb，,kb,(2)1xy,，,分别为 1111kb,4kb,4kb,4kb,4A. B. C. D. 2222 【答案】A 22【解析】因为直线ykx,20xyb，,与圆的两个交点关于直线对称
6、，所(2)1xy,，,ykx,20xyb，,20xyb，,以直线与直线垂直，且直线过圆心，所以1,k,1,4即kb,。 2,2,2200，,b,2nn,1aan,0,1,2,？8.已知等比数列满足，且，则当时， aan,2(3)nn,525nlogloglogaaa，,？ 2123221n,222nn(21),nA( B( C( D(1)n，(1)n, 【答案】C logloglogaaa，,？【解析】 2123221n,n22logloglogaaaaaaaan,。 ，,21321213212525nnn,ABCD,PAB9.如图，所在的平面 和四边形所在的平面,PAB 3 D, C ,AD
7、BC,AB,6互相垂直，且 ， ，,若BC,8AD,4,，则点在平面内的轨迹是 Ptan2tan10，,ADPBCPA(圆的一部分 B(椭圆的一部分 C(双曲线的一部分 D(抛物线的一部分 【答案】B PAPBPAPBAB，,406【解析】由题意可得，,210，即，又因P、A、B三点不ADBC共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，故选 B( 22,xy10.椭圆P，,1上有两个动点、，则?的最小值为 QE(3,0)EPEQ,EPQP EPQP ,36933,1263,A. 6 B. C. 9 D. 【答案】A 22mn，则，,1【解析】设P点坐标为(,)mn369，所以3222,6
8、6mPEmnmm,，,，30618PE，因为，所以的最小值为，4,226,EPEPEQEPEPEQEP 。所以?，所以?的最EPQP EPQP EPQP ,EPQP ,，小值为6. 11.若曲线f(x，y)= 0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)= 0222的“自公切线”.下列方程:?;?，?;xy,1yxx,|yxx,，3sin4cos2?|14xy，,对应的曲线中存在“自公切线”的有 A(? B(? C(? D(? 【答案】B 2【解析】函数的图象如下左图显然满足要求; yxx,|函数的一条自公切线为y=5; yxx,，3sin4cos22xy,1为等轴双曲线，不存在
9、自公切线; 2|14xy，,而对于方程其表示的图形为图中实线部分，不满足要求。 ，4 12.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种? A(150 B(114 C(100 D(72 【答案】C 【解析】先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或者3，221311CCCCCC5315211，1，所以共有种分组方法。因为甲不能去北大，所以有甲的那，,2522组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共254=100，有种。 第?卷(非选择
10、题 共90分) 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.某产品的广告费用与销售额y的统计数据如下表: x广告费用(万元) 3 4 5 6 x销售额y(万元) 25 30 40 45 , ,根据上表可得回归方程中的为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 ybxa,，b(万元). 【答案】73.5 345625304045，,4.5,35xy,4.5,35【解析】易知:，因为=7，把点，b44, ,a,3.5代入回归方程。 yx,，73.5y,73.5ybxa,，得，所以，当x=10时，,1614.设,则二项式的展开式中的常数项等于 . axdx,axsin(),0x【答
11、案】-160 r6,r,1,rrrrr63,axdxx,sincos2【解析】CxCx212,，由，66,00x,，333,12160C303,rr得，所以，所以展开式中的常数项等于-160. ，65 yx,xy，,24,15.已知实数、满足则的最小值为 . yxr,y,2,222,(1)(1)(0)xyrr，,【答案】 2yx,xy，,24,y,2,【解析】做出约束条件表示的可行域，如图中的三角形，三角形内(包括边)到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y=x 的距离，所以的最小r值为。 22a16.设数列的各项均为正数，前项和为S，对于任意的nN,，成等差naSa,nn，n
12、nnn(ln)xbxe,1,数列，设数列T的前项和为，且，若对任意的实数(是自然neb,，,nnn2anTr,()rN,对数的底)和任意正整数，总有(则的最小值为 . nrn，【答案】2 . 2nN,【解析】根据题意，对于任意，总有成等差数列，则对于n?N*，总有aSa,，nnn222Saa,，?;所以(n?2)? 2Saa,，nnnnnn,111222,+=+-aaaaaaaaaaa,，,即? -?得; ，nnnnnnnnnnn,11111aaa，aa-=1因为均为正数，所以(n?2)，所以数列是公差为1的等差数列， ,nnn,1nn,16 2又n=1时，解得，所以。 a=1a=n2Saa,
13、，1n111n(ln)1x对任意的实数，有0,lnx,1，对于任意正整数n，总有，所以 xe,1,b,，,n22ann111111111111 T,，,，,，,，,，,+1+11+22n222nnnnnn，,，,12122312231，又对任意的实数(是自然对数的底)和任意正整数，总有xe,1,Tr,()rN,en，,n，所的最小值为2. r以三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且( 32sin0acA,(?)求角C的大小; c,2(?)若，求a，b的最大值. 18.(本小题满分12分) 在
14、一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回的随机抽(O取两张卡片，记第一次抽取卡片的标号为，第二次抽取卡片的标号为y.设为坐标原点，x,2P点的坐标为记. (2,),xxy,|OP(?)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率; ,(?)求随机变量的分布列和数学期望. ,19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P,ABCD中，PA?底面ABCD，?DAB为直角，AB/CD，AD,CD,2AB，E、F分别为PC、CD的中点. (?)求证:CD?平面BEF; (?)设PA,k?AB，且二面角E,BD,C大于30?，求k的取值范围. PEDCFAB 7 20.
15、(本小题满分12分) 22xyl椭圆的左、右焦点分别为、, 过的直线与椭圆交于A、，,1(0)abFFF21122abB两点. 222xyc，,(?)如果点A在圆(为椭圆的半焦距)上,且,求椭圆的离心率; cFAc,1(?)若函数的图象，无论为何值时恒过定点， yxmm,，,2log(01)且m(,)bam, 求的取值范围. FAFB,2221.(本小题满分12分) 12a,0已知函数，(其中)( fxax()ln,fxx(),212(?)求函数的极值; fxfxfx()()(),121(?)若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取gxfxfxax()()()(1),，,(,)e12e值范围;
16、 31x,0(?)求证:当时，(说明:e是自然对数的底数，e=2.71828). x，,ln02xxe48 E C22(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲 如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，F过C作AB的垂线交AB于D， B交AE于F( A D O2(?)求证:; CE,AE,AF，CAB(?)若AE是的角平分线，求CD的长( 23(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程 ,2,3sin,x,在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数，xOy,C,1,3cos,2,y,R)(在极坐标系(以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴)中，曲线的极坐OxC2,标方程为( c
17、os(,),a,4(?)把曲线和的方程化为直角坐标方程; CC123(?)若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程( CCC122224(本小题满分10分)选修45:不等式选讲 f(x),|x，a|已知函数( a,1f(x),|x，1|，1(1)当时，求不等式的解集; f(x)，f(,x),2a(2)若不等式存在实数解，求实数的取值范围( 甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一) 数学(理)参考答案及评分标准 一( 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C D D A A C B A B C 二( 填空题 9 13 73.5 ; 14 -160 ;
18、 15 ; 16 2 . 2三. 解答题 32sin0acA,17. 解:(?)由及正弦定理， sin0A,3sin2sinsin0ACA,得()， 3,?，?ABC是锐角三角形， ? 6分 sinC,C,23,22c,2(?)?，由余弦定理， C,abab，,2cos43322即abab，,4 8分 ab，222?，即， ()16ab，,()4343()abab，,，,，,2ab，,4ab,2ab，?，当且仅当取“=”，故的最大值是4(12分 18. 10 19. 解:以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0，0，0)，P(0，
19、0，k)，B(1，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2,0)， kE(1，1，)，F(1，2，0)，2分 2k(1)?CD,BE,CD,0BF,CD,0(0，1，)，(0，2，0)，(-2，0，0)，?， BE,BF,2?CD?BE，CD?BF，?CD?面BEF 6分 (2)设面BCD的法向量为，则(0，0，1)，设面BDE的法向量为(x，y，z), nn,n,112k?BD,(-1，2，0)，BE,(0，1，)， 2,x，2y,0,2,k,?，?(2，1，)， 8分 n,2y，z,0k,2,23k?二面角E-BD-C大于30?，?cos， 10分 ,nn,21245，2k4421522()
20、,3(5，)15k,4k,?，即，? 12分 2kk15222x，y,c上,？,AFF为一直角三角形1220. 解:(1)?点A在圆， 22？|FA|,c,|FF|,2c？|FA|,|FF|,|AF|,3c1122121 由椭圆的定义知:|AF1|+|AF2|=2a， c2？c，3c,2a？e,3,1 5分 a1，3(2)?函数yx,，2log(1,2)的图象恒过点 m11 ? abc,2,1,1,点F(,1，0)，F(1，0)， 1222? ， AB,x轴,则A(,1,),B(,1,)22,2217? 7分 FAFBFAFB,(2,),(2,),422222222?若AB与x轴不垂直，设直线
21、AB的斜率为k，则AB的方程为y=k(x+1) y,k(x，1),2222由(*) 消去y得(1，2k)x，4kx，2(k,1),0,22x，2y,2,0,2 方程(*)有两个不同的实根. ？,8k，8,0,？设点A(x，y)，B(x，y)，则x，x是方程(*)的两个根 112212224k2(k,1)x，x,xx, 1212221，2k1，2kFA,(x,1,y),FB,(x,1,y),211222222 FA,FB,(x,1)(x,1)，yy,(1，k)xx，(k,1)(x，x)，1，k22121212122222(k,1)4k7k,179222,(1，k)，(k,1)(,)，1，k, 2
22、22221，2k1，2k1，2k2(1，2k)1992？1，2k,1,？0,1,0,2221，2k2(1，2k) 11分 797,1,FA,FB,222222(1，2k)71,FA,FB,由?知 12分 2221221. 解: (?)， fxfxfxaxx()()()ln,12211x,0a,0?(，)， ,fxaxxaxaxx()ln(2ln1),，,，2211,22,x,e0e,xfx()0,fx()0,由，得，由，得， 11,22fx()(0,e)(e,)，,故函数在上单调递减，在上单调递增， 1,a2f(e),fx()所以函数的极小值为，无极大值( ? 3分 4e12(?)函数， gx
23、xaxax()ln(1),，,212 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。2axaxa，,(1)()(1)xax，,则， ,gxxa()(1),，,xxx,令a,0x,1，?，解得，或(舍去)， gx()0,xa,01,x,当时，在上单调递减; gx()0,gx()(0,1)x,1,当时，在上单调递增( gx()0,gx()(1,)，,4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。1函数在区间内有两个零点， gx()(,e)eB、当a0时11a,2e1,1,，,a0,a,22,g()0,2ee2e2e，,e,11,g(1)0,只需即
24、? ，,a10,a,22,g(e)0,22,e2ee,，,(1)e0,aa,a,2,2e2,(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.2e11,故实数a的取值范围是( ? 7分 (,)22e2e2，2x3122(?)问题等价于(由(?)知的最小值为( fxxx()ln,xxln,xe42e2x3xx(2),设，得在上单调递增，在上单调递减( hx()(0,2)(2,)，,hx(),hx(),xxe4e圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.43?， hxh()(2),max2e423e2e16(3e8)(e2),，143314?=， ,0,()222242ee2ee44e4e2x331fxhx()(),2x,0minmax?，?，故当时，( ? 12分 x，,xxln,ln0x2xxe44e22.解: 3、思想教育，转化观念端正学习态度。5、多一份关心、帮助，努力发现他们的闪光点，多鼓励、表扬他们，使其体验成功、努力学习。23(解: 13 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。176.186.24期末总复习24(解: 7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。14