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1、竞赛中的三角函数例题选讲 （教案）高中数学奥赛教程集1正，余弦函数的有界性 对任意角， 2奇偶性与图象的对称性 正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称 3单调性 y=sinx在上单调递增，在上单调递减：y=cosx在上单调递增，在上单调递减；y=tanx在上都是单调递增的；y=cotx在上都是单调递减的。 4周期性 y=sinx与y=cosx的最小正周期是2，y=tanx与y=cosxr 的最小正周期是。 例1 已知圆222x，y,k至少覆盖函数的一个最
2、大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。 222 解 因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆x，y,k也关222于原点对称，所以，图x，y,k只需覆盖的一个最值点即可。 令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即 综上可知，所求的K 为满足的一切实数。 例2 已知，且 求 cos(x+2y)的值。 解 原方程组可化为 因为所以令 ，则在上是单调递增的，于是由 得 f(x)=f(-2y) 得 x=-2y 即 x+2y=0 例3 求出（并予以证明）函数 解 首先，对任意，均有 这表明，是函数f(x)的一个周期 其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任
3、意，均有 在上式中，令x=0，则有 。 两边平方，可知 即 sin2T=0，这表明，矛盾。 综上可知，函数的最小正周期为。 例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得 sin(cosc)=c, cos(sind)=d 证，构造函数 f(x)=cos(sinx)-x f(x)在区间内是单调递减的，由于 f(0)=cos(sin0)-0=10. 故存在唯一的，使f(d)=0，即 cos(sind)=d 对上述两边取正弦，并令c=sind，有 sin(cos(sind)=sind sin(cosc)=c 显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且 例4 已知对任意实数x
4、，均有 求证： 证 首先，f(x)可以写成 ? 其中是常数，且， 在?式中，分别令和得 ? ? ?+?，得 又在?式中分别令，得 ? ? 由?+?，得 1求函数的单调递增区间 2已知是偶函数，求 3设，试比较的大小。 4证明：对所以实数x,y，均有 5已知为偶函数，且t满足不等式，求t的值。 6已知，且满足： （1）；（2）； （3）。 求f(x)的解析式 7证明：对任意正实数x,y以及实数均有不等式 8已知当时，不等式 恒成立，求的取值范围。 9设，求乘积的最大值和最小值。 1 2由偶函数的定义，有 上式对任意成立，故 所以 3首先，又 ， 即 4只需证明不能同时成立，若不然，则存在整数m,
5、n,k,使得 即 矛盾 5由题设，得 即 由于上式对任意x成立，故sint=1，结合，即-1t0时，有 此方程组与?联立后无解 （2）当且b0且有 此方程组与?联立后无解。 （4）当a0且，有 此方程组与?联立后无解， 4.二次函数的应用： 几何方面得上可知，。 3. 圆的对称性:7原不等式等价于 第二章 二次函数若，则 的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）若 故原不等式成立 8令，由条件可得所以在第I象限，原不等式可化第二章 二次函数74.94.15有趣的图形3 P36-41为 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.由于结合原不等式对任意x?0，1都成立，可知取最小值亦成立，即 1、认真研读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。176.186.24期末总复习9由条件知，于是 定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;