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1、虚数数学组卷专题训练虚数数学组卷专题训练 菁优网 虚数数学组卷专题训练 一(解答题(共22小题) 1(2011上海)已知复数z满足(z,2)(1+i)=1,i(i为虚数单位)，复数z的虚部为2，且zz是实数，求11212z( 222(2005上海)在复数范围内，求方程|z|+(z+)i=1,i(i为虚数单位)的解( 3(设虚数z满足|2z+15|=|+10|( (1)计算|z|的值; (2)是否存在实数a，使?R,若存在，求出a的值;若不存在，说明理由( 234(已知z=3+4i，求z,6z+的值( 225(当x取何值时，复数z=(x+x,2)i+(x+3x+2)i (1)是实数, (2)是
2、纯虚数, (3)对应的点在第四象限, 226(已知复数z=(2m+3m,2)+(m+m,2)i，(m?R)根据下列条件，求m值( (1)z是实数; (2)z是虚数; (3)z是纯虚数; (4)z=0( 27(已知z，z是实系数一元二次方程:x+px+q=0的两个虚根，且z，z满足方程:2z+iz=1,i，求 p，q的值( 1212128(已知复数z满足，又|z,1|+|z,3|=4，求复数z( 229(设复数z=lg(m,2m,2)+(m+3m+2)i( (?)若z是纯虚数，求实数m的值; (?)若z是实数，求实数m的值; (?)若z对应的点位于复平面的第二象限，求实数m的取值范围( 10(已
3、知复数z满足|z,2i|,3|+|z,2i|,3=0，求z在复平面上对应的点组成图形的面积( 11(已知复数z=1,i(复数z的共轭复数为; (1)若，求实数x，y的值; (2)若(a+i)z是纯虚数，求实数a的值( 212(已知复数2,i是实系数一元二次方程x+bx+c=0的一个根， (1)求b，c值;(2)若向量、，求实数和t使得( ?2010-2014 菁优网 菁优网 13(已知复数z=(m?R，i是虚数单位)是纯虚数( (1)求m的值; (2)若复数w，满足|w,z|=1，求|w|的最大值( 14(已知复数Z=1+i (1)求及|w|的值; (2)如果，求实数a，b( 15(设复数z
4、满足4z+2=3+i，=sin,icos，求z的值和|z,|的取值范围( 2(已知复数z=m(1+i),m(3+i),6i， 16(I)当实数m为何值时，z为纯虚数, (?)当实数m为何值时，z对应点在第三象限, 217(课本在介绍“i=,1的几何意义”中讲到:将复平面上的向量乘以i就是沿逆时针方向旋转90?，那么乘以,i就是沿顺时针方向旋转90?，做以下填空: ?已知复平面上的向量、分别对应复数3,i、,2+i，则向量对应的复数为 _ ; ?那么，以线段MN为一边作两个正方形MNQP和MNQ，P，则点P、Q对应的复数分别为 _ 、 _ ; ?点P、Q，对应的复数分别为 _ 、 _ ( 218
5、(设复数z=，若z+az+b=1+i，求实数a，b的值( 19(设 1)求|z|的值以及z的实部的取值范围; (11(2)若，求证:为纯虚数( 220(已知复数z=m(m,1)+(m+2m,3)i，当实数m取什么值时，复数z是: (1)零;(2)纯虚数;(3)z=2+5i;(4)表示复数z对应的点在第四象限( 2221(实数m分别取什么数值时,复数z=(m+5m+6)+(m,2m,15)i (1)与复数12+16i互为共轭复数; (2)对应的点在x轴上方( 2222(已知复数z=(m,2m,3)+(m,3m,4)i，求实数m的值使z为纯虚数( ?2010-2014 菁优网 菁优网 虚数数学组
6、卷专题训练 参考答案与试题解析 一(解答题(共22小题) 1(2011上海)已知复数z满足(z,2)(1+i)=1,i(i为虚数单位)，复数z的虚部为2，且zz是实数，求11212z( 2考点: 复数代数形式的混合运算( 专题: 计算题( 分析: 利用复数的除法运算法则求出z，设出复数z;利用复数的乘法运算法则求出zz;利用当虚部为0时复1212数为实数，求出z( 2解答: 解: ?z=2,i 1设z=a+2i(a?R) 2?zz=(2,i)(a+2i)=(2a+2)+(4,a)i 12?zz是实数 12?4,a=0解得a=4 所以z=4+2i 2点评: 本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查
7、复数为实数的充要条件是虚部为0( 22(2005上海)在复数范围内，求方程|z|+(z+)i=1,i(i为虚数单位)的解( 考点: 复数的基本概念( 专题: 计算题( 2分析: 设出复数z=x+yi(x、y?R)，代入|z|+(z+)i=1,i，利用复数相等，求出x，y的值即可( 2解答: 解:原方程化简为|z|+(z+)i=1,i， 22设z=x+yi(x、y?R)，代入上述方程得x+y+2xi=1,i， 22?x+y=1且2x=,1，解得x=,且y=?， ?原方程的解是z=,?i( 点评: 本题考查复数的基本概念，复数相等，考查计算能力，是基础题( 3(设虚数z满足|2z+15|=|+10
8、|( (1)计算|z|的值; (2)是否存在实数a，使?R,若存在，求出a的值;若不存在，说明理由( 考点: 复数求模( 专题: 计算题( 分析: (1)设z=a+bi(a，b?R且b?0)则代入条件|2z+15|=|+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值 ?2010-2014 菁优网 菁优网 (2)对于此种题型可假设存在实数a使?R根据复数的运算法则设(z=c+bi(c，b?R且b?0)可得=+()?R即=0再结合b?0和(1)的结论即可求解( 解答: 解:(1)设z=a+bi(a，b?R且b?0)则 ?|2z+15|=|+10| ?|(2a+15)+2b
9、i|=|(a+10),bi| ?= 22?a+b=75 ? ?|z|= (2)设z=c+bi(c，b?R且b?0)假设存在实数a使?R 则有=+()?R ?=0 ?b?0 ?a= 由(1)知=5 ?a=?5 点评: 本题主要考查了求解复数的模(解题的关键是要熟记复数模的概念:z=a+bi(a，b?R)则|z|=! 234(已知z=3+4i，求z,6z+的值( 考点: 复数代数形式的混合运算( 专题: 计算题( 222分析: 设z=a+bi，则 z=a,b+2abi=3+4i，解方程求出a、b的值，可得z的值，代入要求的式子化简求得结果 222解答: 解:设z=a+bi，a，b?R，则 z=a,
10、b+2abi=3+4i， 22?a,b=3，2ab=4( 解得 ，或，即 z=2+i，或 z=,2,i( 3又 z,6z+=( 3当z=2+i时，z,6z+=( 3当z=,2,i时，z,6z+=( 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题( ?2010-2014 菁优网 菁优网 22+x,2)i+(x+3x+2)i 5(当x取何值时，复数z=(x(1)是实数, (2)是纯虚数, (3)对应的点在第四象限, 考点: 复数的基本概念( 专题: 计算题( 22分析: (1)利用复数z=(x+x,2)+(x+3x+2)i是实数时，复数的虚部等于0，求出x值
11、( 22(2)利用复数z=(x+x,2)+(x+3x+2)i是纯虚数时，复数的虚部不等于0，且实部等于0，求出x值( 2222(3)利用复数z=(x+x,2)+(x+3x+2)i对应的点在第四象限时，x+x,2,0，且x+3x+2,0，求出x的取值范围( 22解答: 解:(1)复数z=(x+x,2)+(x+3x+2)i是实数时，复数的虚部等于0， 2即 x+3x+2=0，解得x=,1 或,2( 22(2)复数z=(x+x,2)+(x+3x+2)i是纯虚数时，复数的虚部不等于0，且实部等于0， 22?x+x,2=0，且 x+3x+2?0，解得 x=1( 22(3)复数z=(x+x,2)+(x+3
12、x+2)i对应的点在第四象限时， 22x+x,2,0，且x+3x+2,0，解得x?， 22故不存在实数x，使复数z=(x+x,2)+(x+3x+2)i对应的点在第四象限( 点评: 本题考查复数的实部、虚部的定义，复数与复平面内对应点之间的关系，以及第四象限内的点的坐标的特点( 226(已知复数z=(2m+3m,2)+(m+m,2)i，(m?R)根据下列条件，求m值( (1)z是实数; (2)z是虚数; (3)z是纯虚数; (4)z=0( 考点: 复数的基本概念;复数相等的充要条件( 专题: 计算题( 分析: (1)当复数的虚部等于零时，复数为实数，由此求得m的值( (2)当复数的虚部不等于零时
13、，复数为虚数，由此求得m的值( (3)当复数的实部等于零，且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由此求得m的值( (4)当复数的实部等于零，且虚部也等于零时，复数等于零，由此求得m的值( 2解答: 解:(1)当m+m,2=0，即m=,2或m=1时，z为实数; 2(2)当m+m,2?0，即m?,2且m?1时，z为虚数; (3)当 ，解得m=， 即 m=时，z为纯虚数( (4)令，解得 m=,2，即m=,2时，z=0( 点评: 本题主要考查复数的基本概念，两个复数相等的充要条件，属于基础题( 27(已知z，z是实系数一元二次方程:x+px+q=0的两个虚根，且z，z满足方程:2z+iz=1,i，求 p，
14、q的值( 121212考点: 复数的基本概念( ?2010-2014 菁优网 菁优网 专题: 计算题( 分析: 设z=a+bi，则z=a,bi，(a，b?R)，根据两个复数相等的充要条件求出z=1,i，z=1+i，再由根与系数的1212关系求得 p，q的值( 解答: 解:设z=a+bi，则z=a,bi，(a，b?R) 12由已知得:2(a+bi)+i(a,bi)=1,i，?(2a+b)+(a+2b)i=1,i， ?( ?z=1,i，z=1+i，由根与系数的关系，得p=,(z+z)=,2，q=zz=2( 121212点评: 本题考查复数的基本概念，两个复数相等的充要条件，属于基础题( 8(已知
15、复数z满足，又|z,1|+|z,3|=4，求复数z( 考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念;复数求模( 分析: 因为，所以，得到，进一步化得:，从而z?R(z?0)22或|z|=7(下面进行分类求解:(1)当z?R(z?0)时;(2)当|z|=7时，分别求得复数z即可( 解答: 解:因为，所以，则， 所以，即， 2所以或者，即z?R(z?0)或|z|=7( (1)当z?R(z?0)时，|z,1|+|z,3|=4，所以z=4或者z=0(舍去); 222(2)当|z|=7时，设z=x+yi(x，y?R)，则x+y=7?， 又|z,1|+|z,3|=4，由题意可知?， 根据?，可得，所以;
16、 综上所述，或者z=4( 点评: 本小题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的乘除运算、复数求模等基础知识，考查运算求解能力，考查与转化思想(属于基础题( 229(设复数z=lg(m,2m,2)+(m+3m+2)i( (?)若z是纯虚数，求实数m的值; (?)若z是实数，求实数m的值; (?)若z对应的点位于复平面的第二象限，求实数m的取值范围( 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数的基本概念( 专题: 计算题( 分析: (?)若z是纯虚数，通过虚部不为0，实部为0，即可求实数m的值; (?)若z是实数，复数的虚部为0，即可求实数m的值; (?)若z对应的点位于复平面的第二象限，虚部大于
17、0，实部小于0，即可求实数m的取值范围( 解答: 解:(?)?z是纯虚数，?( 2(?)?z是实数，?m+3m+2=0?m=,1或m=,2( (?)?z对应的点位于复平面的第二象限， ?2010-2014 菁优网 菁优网 ?或( 点评: 本题考查复数的基本概念，复数的分类，考查复数的代数表示以及几何意义，考查计算能力( 10(已知复数z满足|z,2i|,3|+|z,2i|,3=0，求z在复平面上对应的点组成图形的面积( 考点: 复数的代数表示法及其几何意义( 专题: 数系的扩充和复数( 分析: 由|z,2i|,3|+|z,2i|,3=0，变形为|z,2i|,3|=3,|z,2i|，可得|z,
18、2i|?3(上式表示复平面内点z到2i的距离小于等于3的圆面(再利用圆的面积计算公式即可得出( 解答: 解:|z,2i|,3|+|z,2i|,3=0， 变形为|z,2i|,3|=3,|z,2i|， ?|z,2i|是实数， ?|z,2i|?3( 上式表示复平面内点z到2i的距离小于等于3的圆面( 2因此此圆的面积为3=9( 故z在复平面上对应的点组成图形的面积为9( 点评: 本题考查了复数的几何意义、圆的复数形式及其面积计算公式，属于基础题( 11(已知复数z=1,i(复数z的共轭复数为; (1)若，求实数x，y的值; (2)若(a+i)z是纯虚数，求实数a的值( 考点: 复数的基本概念;复数的
19、代数表示法及其几何意义( 专题: 计算题( 分析: (1)把z=1,i代入，整理后利用复数相等的条件列式求解; (2)把z=1,i代入(a+i)z，整理后由实部等于0且虚部不等于0列式求a的值( 解答: 解:(1)?=1+i ?由，得:x(1+i)+1,i=y?(x+1)+(x,1)i=y 由复数相等定义; (2)因为(a+i)z=a+1+(1,a)i是纯虚数， 故( 点评: 本题考查了复数的基本概念，考查了复数相等的条件，是基础题( 212(已知复数2,i是实系数一元二次方程x+bx+c=0的一个根， (1)求b，c值;(2)若向量、，求实数和t使得( 考点: 复数的基本概念;相等向量与相反
20、向量( 专题: 计算题( 2分析: (1)、2,i的共轭复数2+i是实系数一元二次方程x+bx+c=0的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求b，c( (2)、根据共线向量知对应横纵坐标相等建立方程解之( 2解答: 解:(1)、因为2,i是实系数一元二次方程x+bx+c=0的一个根， ?2010-2014 菁优网 菁优网 2所以2+i也是实系数一元二次方程x+bx+c=0的一个根， 所以:b=,(2,i)+(2+i)=,4，c=(2,i)(2+i)=5( (2)、， 因为，即(,4，5)=(8，t)， 所以，解得:，t=,10( 点评: 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，共线向量等
21、知识点( 13(已知复数z=(m?R，i是虚数单位)是纯虚数( (1)求m的值; (2)若复数w，满足|w,z|=1，求|w|的最大值( 考点: 复数求模;复数的基本概念( 专题: 计算题( 2分析: (1)利用复数的运算法则把z化为(m,1)+(m+1)i，再利用纯虚数的定义即可得出m( 2222(2)利用复数模的计算公式即可得出a+(b,2)=1，进而由a=1,(b,2)?0求出b的取值范围，即可得出|w|的最大值( 解答: 解:(1)?复数z= = = 2=(m,1)+(m+1)i是纯虚数( ?，解得m=1( ?m的值是1( (2)由(1)可知:z=2i(设w=a+bi(a，b?R)(
22、22?|w,2i|=1，?，?a+(b,2)=1，(*) ?|w|=( 2由(*)可知:(b,2)?1，1?b?3.( ?|w|的最大值为3( 点评: 熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义、复数模的计算公式、圆的标准方程等是解题的关键( 14(已知复数Z=1+i (1)求及|w|的值; ?2010-2014 菁优网 菁优网 (2)如果，求实数a，b( 考点: 复数代数形式的混合运算;复数求模( 专题: 计算题( 分析: (1)利用Z=1+i将=化简为=,1,i，利用其求模公式即可; (2)将化简为a+2,(a+b)i，利用两复数相等的充要条件即可求得实数a，b( 解答: 解:(1)?Z=1+
23、i， ?=2i+3(1,i),4=,1,i4 ?|=6 (2)?=a+2,(a+b)i=1,i9 ?10 ?12 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算，关键在于掌握复数的概念与运算性质，掌握两复数相等的充要条件，属于基础题( 15(设复数z满足4z+2=3+i，=sin,icos，求z的值和|z,|的取值范围( 考点: 复数求模( 专题: 计算题( 分析: 设出复数z，利用复数相等的条件列出方程组，求出复数z，然后通过复数的模利用两角和与差的三角函数，通过正弦函数的值域，求出复数模的范围即可( 解答: 解:设z=a+bi，(a，b?R)，则=a,bi( 代入4z+2=3+i，得4(a+bi)
24、+2(a,bi)=3+i，即6a+2bi=3+i( ?z=+i( |z,|=|+i,(sin,icos)| = = = =( ?2010-2014 菁优网 菁优网 ?,1?sin(,)?1，?0?2,2sin(,)?4( ?0?|z,|?2( 点评: 本题考查复数的相等的条件的应用，复数的模以及两角和与差的三角函数，正弦函数的值域的应用，考查计算能力( 216(已知复数z=m(1+i),m(3+i),6i， (I)当实数m为何值时，z为纯虚数, (?)当实数m为何值时，z对应点在第三象限, 考点: 复数的基本概念( 专题: 计算题( 分析: (I)复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出m
25、的值即可( (?)对应的点在第三象限(就是实部和虚部都是小于0，求出m的范围即可( 222解答: 解:复数z=m(1+i),m(3+i),6i=(m,3m)+(m,m,6)i (?);解得m=0，复数是纯虚数( (?)若z所对应点在第三象限则 ，解得0,m,3( 点评: 本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的分类，常考题型，送分题( 217(课本在介绍“i=,1的几何意义”中讲到:将复平面上的向量乘以i就是沿逆时针方向旋转90?，那么乘以,i就是沿顺时针方向旋转90?，做以下填空: ?已知复平面上的向量、分别对应复数3,i、,2+i，则向量对应的复数为 ,5+2i ; ?那么，以线段MN为一
26、边作两个正方形MNQP和MNQ，P，则点P、Q对应的复数分别为 5+4i 、 6i ; ?点P、Q，对应的复数分别为 1,6i 、 ;,4,4i ( 考点: 复数的基本概念;复数的代数表示法及其几何意义( 专题: 计算题( 分析: 求出向量对应的复数，设点P(a，b)，Q(s，r)，?当 可以看成把 顺时针旋转90?得到的时， 对应的复数为(,5+2i)(,i)=2+5i，可得 a,3=2，b+1=5，解得a、b的值，即得点P对应的复数(根据 对应的复数和 对应的复数相等，求得Q对应的复数( ?当 可以看成把 逆时针旋转90?得到的时，同理可求( 解答: 解:向量对应的复数为 (,2+i),(
27、3,i)=,5+2i，设点P(a，b)，Q(s，r)， 则 可以看成把 逆时针旋转90?，或把 顺时针旋转90?得到的， ?当 可以看成把 顺时针旋转90?得到的时， 对应的复数为(,5+2i)(,i)=2+5i， ?a,3=2，b+1=5，?a=5，b=4，?P(5，4)( 由正方形的性质可得 对应的复数和 对应的复数相等，为2+5i，?s+2=2，r,1=5， ?2010-2014 菁优网 菁优网 ?s=0，r=6，?Q(0，6)，故点P，Q，对应的复数分别为:5+4i 和 6i( ?当 可以看成把 逆时针旋转90?得到的时， 对应的复数为(,5+2i)i=,2,5i， ?a,3=,2，
28、b+1=,5，?a=1，b=,6，?P(1，,6)( 由正方形的性质可得 对应的复数和 对应的复数相等，为,2,5i，?s+2=,2，r,1=,5， ?s=,4，r=,4，?Q(,4，,4)，故点P，Q，对应的复数分别为:1,6i 和,4,4i( 故答案:?,5+2i;?5+4i; 6i;?1,6i;,4,4i( 点评: 本题考查复数的基本概念，复数与复平面内对应点之间的关系，两个复数代数形式的乘法，体现了分类讨论的数学思想，求出 对应的复数，是解题的难点( 218(设复数z=，若z+az+b=1+i，求实数a，b的值( 考点: 复数代数形式的混合运算;复数的基本概念( 专题: 计算题( 2分
29、析: 先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 z+az+b=1+i，再根据复数相等的概念，列出关于a，b的方程组，并解即可( 解答: 解:z=1,i 22z+az+b=(1,i)+a(1,i)+b=a+b,(a+2)i=1+i ?解得 点评: 本题考查了复数代数形式的混合运算，复数相等的概念，属于基础题( 19(设 (1)求|z|的值以及z的实部的取值范围; 11(2)若，求证:为纯虚数( 考点: 复数代数形式的混合运算( 专题: 计算题( 分析: (1)设出复数，根据两个复数之间的关系，写出z的表示式，根据这是一个实数，得到这个复数，根据条2件中所给的取值范围，得到要求的a的取
30、值( (2)根据上一问设出的复数，表示出，进行复数除法的运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理变化，得到最简形式，得到这是一个纯虚数( 解答: 解:(1)设z=a+bi(a，b?R，且b?0)， 1则 ?z是实数，b?0， 222?有a+b=1，即|z|=1， 1?可得z=2a， 2由,1?z?1，得,1?2a?1， 2?2010-2014 菁优网 菁优网 解得， 即z的实部的取值范围是( 1(2) ?a?，b?0， ?为纯虚数( 点评: 本题考查复数的加减乘除运算，是一个综合题，解题时的运算量比较大，又用到复数的有关概念，注意解题时的格式( 220(已知复数z=m(m,1)+(m+2m
31、,3)i，当实数m取什么值时，复数z是: (1)零;(2)纯虚数;(3)z=2+5i;(4)表示复数z对应的点在第四象限( 考点: 复数的基本概念( 专题: 计算题( 分析: (1)实部与虚部同时为零，求解即可; (2)实部为0，虚部不为0，复数是纯虚数，求出m即可; (3)实部为2，虚部为5求解即可得到m的值，使得z=2+5i (4)表示复数z对应的点在第四象限(实部大于0，虚部小于哦，求出m的范围即可( 解答: 解: (1)由可得m=1;(3分) (2)由可得m=0;(6分) (3)由可得m=2;(10分) (4)由题意，解得即,3,m,0(14分) 点评: 本题是基础题，考查复数的基本运
32、算，复数的基本概念，不等式的解法(送分题( 2221(实数m分别取什么数值时,复数z=(m+5m+6)+(m,2m,15)i (1)与复数12+16i互为共轭复数; (2)对应的点在x轴上方( 考点: 复数的基本概念;复数的代数表示法及其几何意义( 专题: 计算题( 分析: (1)根据共轭复数的定义得，解之得即可( 2(2)根据复数z对应点在x轴上方可得m,2m,15,0，解出即可( ?2010-2014 菁优网 菁优网 解答: 解:(1)根据共轭复数的定义得，解之得m=1( 2(2)根据复数z对应点在x轴上方可得m,2m,15,0， 解之得m,3或m,5( 点评: 本题考查了共轭复数的意义
33、和几何意义，属于基础题( 2222(已知复数z=(m,2m,3)+(m,3m,4)i，求实数m的值使z为纯虚数( 考点: 复数的基本概念( 专题: 计算题;函数的性质及应用( 分析: 如果复数z的实数为0，而虚部不等于0时，复数z表示一个纯虚数(由此建立关于m的关系式，解出实数m的值，即可得到本题答案( 22解答: 解:?复数z=(m,2m,3)+(m,3m,4)i， ?当z的实数为0，而虚部不为0时，z表示一个纯虚数 因此，可得，解之得m=3(舍去,1) ?存在m=3，使得z为纯虚数( 点评: 本题给出含有字母参数m的复数，求m的值使复数为纯虚数(着重考查了复数的基本概念和二次方程的解法等知识，属于基础题( ?2010-2014 菁优网