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1、行业资料高中数学任意角的三角函数经典例题1例1 下列说法中，正确的是 A(第一象限的角是锐角 B(锐角是第一象限的角 C(小于90?的角是锐角 D(0?到90?的角是第一象限的角 【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90?的角”和“0?到90?的角”(在角的概念推广以后，这些概念容易混淆(因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键( 【解】第一象限的角可表示为,|k?360?,90?，k?360?，k?Z,，锐角可表示为,|0?,90?,，小于90?的角为,|,90?,，0?到90?的角为,|0?,90?,(因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k
2、=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)( (90?,)分别是第几象限角, 【分析】 由sin?cos,0，所以在二、四象限;由sin?tan,0，所以在二、三象限(因此为第二象限的角，然后由角的 【解】(1)由题设可知是第二象限的角，即 90?，k?360?,180?，k?360?(k?Z)， 的角( (2)因为 180?，2k?360?,2,360?，2k?360?(k?Z)，所以2是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角( (3)解法一:因为 90?+k?360?,180?，k?360?(k?Z)， 所以 ,180?,k?360?,90?,k?360?(k?Z)(
3、故 ,90?,k?360?,90?,k?360?(k?Z)( 因此90?,是第四象限的角( 解法二:因为角的终边在第二象限，所以,的终边在第三象限(将,的终边按逆时针旋转90?，可知90?,的终边在第四象限内(【说明】?在确定形如，k?180?角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论;?确定象限时，k与,k是等效的( 例3 已知集合E=,|cos,sin，0?2,，F=,|tan,sin,，那么E?F是区间 【分析】 解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况(可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断(用代入特殊值排除错误答案的方法解答本
4、题也比较容易(由正、余弦函数的性质，【解法一】 【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT,MP，即tan,sin，由正弦线和余弦线可看出，当 应选(A)( 可排除(C)，(D)，得(A)( 【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法:因为第一、三象限均有AT,MP，即tan,sin，所以(B)，(C)，(D)均不成立(用排除法也有些别的方法，可自己练习( 例 4 (1)已知角终边上一点P(3k，,4k)(k,0)，求sin，cos，tan的值; 【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是 三两个象限，因此必须分两种情况讨论( 【解】(1)因
5、为x,3k，y=,4k， 例5 一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大( 【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式(本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方法求出半径r和已知周长l的关系( 【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为，则扇形弧长为l,2r(所以【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公 形的问题中，中心角用弧度表示较方便(本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值(本题也可将面积表示为的函数式，用判别式来解( 【分析】第(1)小题因在
6、第二象限，因此只有一组解;第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角的象限，因此有两组解;第(3)小题角可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论( 【解】 (3)因为sin=m(|m|,1)，所以可能在四个象限或的终边在x轴上(例7(1)已知 tan=m，求sin的值; 【分析】(1)已知tan的值求sin或cos，一般可将tan 母都是sin和cos的同次式，再转化为关于tan的式子求值，转化的方法是将分子、分母同除以cos(或cos2，这里cos?0)，即可根据已知条件求值( 【说明】 由tan的值求sin和cos的值，有一些书上利用公很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问
7、题由现有的关系式和方法均可解决( 函数的定义来证明( 由左边=右边，所以原式成立( 【证法三】(根据三角函数定义) 设P(x，y)是角终边上的任意一点，则 左边=左边，故等式成立( 例9 化简或求值: 【分析】 解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值( =,sin,cos(因为为第三象限角)( 例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表达式; 【分析】在(1)中理解函数符号的含义，并将f(sin x)化成f(cos(90?,x)是充分利用已知条件和诱导公式的关键(在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法( 【解】(1)f(sin x),f(cos(90?,x),cos9(90?,x) =cos(2360?，90?,9x),cos(90?,9x) =sin9x; ,1(