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1、论中学数学在实际生活中的运用-大学生论文【标题】 论中学数学在实际生活中的运用 【作者】张川林 【关键词】数学的应用 生活化 时代性 模型 【指导老师】杨天标 【专业】数学与应用数学 【正文】 1(引言 记得我刚大学实习第一轮教的学生中，有一位学习成绩很好的学生有一天满怀疑惑，但却很认真的问了我一个问题:“老师，我觉得学数学除了考试和做题，没什么用呀,”这个问题恐怕是绝大多数学生曾经疑惑过的问题。作为实习生的我，那个问题给了我很大的触动，我开始思考一个问题:学生学习数学用来做什么, 2(正文 我们冷静下来思考，中学数学教育究竟应该关注什么,“数学是思维的体操”，这句名言长期以来成为数学教育者维
2、护数学尊严的挡箭牌，成为教师对学生的有效的麻醉剂。但是，在学生颔首的同时还是有那么多的学生仍在质疑，学数学到底有什么用,他们对自己在数学上下那么多的精力感到惋惜，对自己在数学上的天赋的能力产生怀疑与反思。我们不能武断的归结于学生的不努力，我们的数学教育有没有问题。就目前的状况，中学数学教育仍旧可以用“纸上谈兵”这句成语简单概括之。课堂成为教师演练阵容的唯一战场，解题成为操起的刀戈，这种教育现象令人忧心忡忡。没有人去关心学生的内心状态，没有人去注意教师的真实感受，大多数教师与学生在少数数学专家权威的“大哉数学”的高声唱叹声中晕头转向，迷失了自我，逐渐丧失自我思考的能力。 1959年5月，华罗庚教
3、授在人民日报发表了大哉数学之为用一文，精彩地叙述数学在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之谜、日用之繁”等各方面的应用;进入九十年代，中国科学院数学物理学部在今日数学及其应用(王梓坤执笔)一文中，对数学及其应用进行了酣畅淋漓的论述。正如该文的第一句话:“本文的目的是双重的和互补的:一是论述数学在国富民强中的重要意义 ;二是通过近年来数学在我国的许多应用来证实这种意义的真实性，从而希望提高人们对数学的认识。”北京师范大学的严士健教授则认为:“无论学生是从大学进入社会，还是从中学进入社会，或者是从职业高中进入社会，一旦遇到实际问题，他能想到运用数学知识去解决和想不到用数学的
4、人其解决结果是完全不一样的。这并不在于他到底解决了多少应用问题，而是他有了这种感受和这点经验，其意义就大了。”对于我们的中学数学教育，我们应该创造更多的机会让学生去“用”数学，让他们看到发生在身边的数学应用。 数学大众化和应用化的思想和口号早于80年代初就已提出，并迅速得到联合国教科文组织以及世界各国的积极响应，20多年来，随着社会发展进入信息社会，数学在各个行业以及人们的日常生活中所起的作用越来越大。其一，人人需要数学。数学的语言已悄悄的越来越广泛的融入了人际交流，每个人都能感受到数据和处理方式的无所不在，小到买彩票，大到分析地区，国家的发展规划，都离不开数据分析支持。其二，人人需要的不仅仅
5、限于计算和证明的有用的数学。目前中学数学教育过分热衷于严密的演绎论证和解题技巧，而在实际生活中多用不上。而单纯的计算，现在用计算机能做的又快又好。一旦和实际问题挂钩，学生就不知所措。就拿和实际有些联系的应用题来说，学生中不少的一部分连 题中说了什么都看不懂，这不仅仅是涉及到语文方面的阅读理解能力的问题，还反映出学生学习“纯粹”数学带来的负面影响。没有“用”数学的意识，学生不知道将实际问题向数学问题模型转化，当然更谈不上去运用数学思想和方法去收集信息，提出问题，分析问题和解决问题了。如何去“用”数学，已逐渐成了数学教育关注的一个焦点，但这些决不是传统的几道应用题就能解决的。让数学走进生活，让生活
6、实际走进数学课堂，成为时代的呼唤。 中学数学应用问题活动课的内容应以中学数学教材的内容为基础，联系实际问题而确定。可概括为如下七种类型。 2.1(函数应用问题 函数是中学数学的重点内容，它应用的范围非常广泛。在日常生活和祉会实践中，普遍存在的求成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省、造价最低等应用性问题，常常可归结为求函数最大(小)值问题。通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和数学方法解决。如在近年高考的数学试题中，1993年的水池最低造价问题，1997年的汽车运输成本最小问题，1998年的质量分数最小问题， 2000年的西红柿种植收益最大问题，等等，都可通过引入
7、交量建立目标函数化归为函数的最大值、(小)值问题求解。 例:用水清洗一堆蔬菜上的残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用一个单位量的水可清除蔬菜上残留农药的 ，用水越多，洗掉的农药也越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设用 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 。 (1)试规定 的值，并解释其实际意义; (2)是根据假定写出函数 应该满足的条件和具有的性质; (3)设 。现在a(a0)单位量的水，可以清清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两 次。哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量之比较少,请说明理由。 解:(1) 表示没有用水清洗时，蔬菜上的农
8、药量没有变化。 (2)函数f(x)应该满足的条件和具备的性质是: ， 在 上， 的单调递减，并且有 。 (3)清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用 单位量的水清洗1次后，残留的农量为 ; 又如果用 单位量的水清洗1次，残留的农药量为 ， 此后再用 单位量的水清洗1次后，残留的农药量为 由于 因此， 的符号由 决定，即 当 时， 此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少; 当 时， = 此时，两种清洗方式效果相同; 当 时， 此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少。 例:在一张半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度I和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角
9、的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即:I=k ，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮, 解:本题即为题目中提供解决问题的经验公式的一类应用题，如图所示，问题的本质是求照度I取最大值时，高度h 应取何值，从题设公式 中，可以看出影响I的大小变化的是两个变量 与 r ，如何用h表示 与r，或者设法消去 与 r 中的一个，总之使照度 I 成为一元函数，再求出函数取得最大值的条件即成为解题的关键。 r= I= ( ) 为便于求I的最大值，可先求 的最大值， = = ( )( )( ) = (常数) 当且仅当 ，即tg = 时，上式取
10、等号，亦即 取得最大值，同时I取得最大值， 此时h=R tg = R 当把灯挂在桌面正中央离桌面 R处时，桌子边缘亮度最大。 2.2(不等式应用问题 实际应用的投资决策、环境保护、生产规划、统筹安排、交通运输、最优化等问题及有关最(小)值的实际问题，常常需要建立不等式，运 用不等式性质，以及算术平均数与几何平均数定理求解。如在近年高考的数学试题中，1995年的政府补贴问题，1996年的平均增长率问题 ，2001年的纸张面积最小问题等，都可运用不等式有关知识求解。 例:甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度 n行走;乙有一半路程以速度m行走，另一半路
11、程以速度n行走。如果m n，问甲，乙两人谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 ， 。要回答题目中的问题，只要比较 ， 的大小就可以了。 解:设从出发地至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 ， 。依题意有 m+ n=s， + = = - = - = =- 其中s，m，n都是正数，并且m n。于是 - 0，即 从而可知甲比乙首先到达指定地点。 2.3(数列应用问题 社会现实生活中人口增长问题、人寿保险问题，经济活动中存款利息、分期付款、期货贸易和生活 动中的资产折旧、增长率等与时间有关的 实际问题，常常可归结为与
12、数列有关的问题，需要运用等差数列与等比数列的性质等知识求解。 例:储蓄与人们的日常生活密切相关，它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义。 计算储蓄所得利息的基本公式是 利息=本金 存期 利率。 根据国家的规定，个人取得的储蓄存款利息应依法纳税，计算公式为 应纳税额=利息全额 税率， 其中的税率为20%。有一种储蓄叫活期储蓄，这是指存期不定、可以随时存取的一种储蓄。计算利息时， 每年按360天，每月按30天计算存期。如果遇到利率调整，常常分段进行计算利息。例如，某人从一月 起，每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金及利息。以知月利率是0.165%，那么实际取 出多少钱,
13、 为回答这一问题，先来研究这类问题的一般计算公式。设每期期初存入金额A，连存n次，每期的 利率为p，那么到第n期期末时，本金为nA，且各期存款的利息如下: 第1期存款利息:Apn, 第2期存款利息:Ap(n-1), 第(n-1)期存款利息:Ap 2, 第n期存款利息:Ap 1. 于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和: =Ap+Ap 2+Ap(n-1)+Apn =Ap(1+2+n) = n(n+1)Ap 应纳税 n(n+1)Ap 20%= n(n+1)Ap 实际取出 nA+ n(n+1)Ap- n(n+1)Ap =An+ n(n+1)p 用这个公式求解上面的问题时，A=100,n=12,p
14、=0.165%,实际取出 100(12+ 12 13 0.165%)=1210.30(元)。 2.4(排列组合应用问题 现实生活中，存在着许多与人和事物的排列顺序、组合的种类有关的应用问题。由于排列组合的内容抽象，思维方法独特，在分析和解决问题 时。要对所给的条件进行合理分类，建立适当的排列组合模型，才能顺利解决这类应用题。 例:古时候有一歌谣:一个和尚没水喝，两个和尚挑水喝，三个和尚没水喝，渴死了。我们分析三个和尚没水喝的原因(我们暂且放下道德方面的原因)，三个和尚没水喝是因为他们谁都不愿意为喝水多出份力，不愿意自己吃亏，最后渴死了。其实我们仔细分析他们完全可以完美解决这个问题，他们完全不必
15、被渴死。他们只要交替抬四次水就可以自己完全不吃亏的喝到水了。 我们仔细分析和观察会发现生活中关于关于平均分配劳动力的问题与组合数有关。 例:总共有五个人，一个问题一次需要两人来做，则他们需要做几次才能达到公平, 解:通过分析他们需要做 = =10 次。 对于一般的问题:我们假设有n个人，需要m个人一起完成一样工作，则需要 = = 次才能平均分配劳动力。 此类问题为我们揭示了一条规律:一列组合中每个对象出现的次数是一样的。 例:有12人一起做一件事情，这件事情需要5人来做，问他们需要做几次才能做到大家公平出力, 解:因为 = =792 所以他们需要做792次才能做到公平出力。 例:某信号兵用红、
16、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号, 解:如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素里每次取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号。 于是，用1面旗表示的信号有 种，用2面旗表示的信号有 种，用3面旗表示的信号有 种。根据分类计数原理，所求的信号种数是 + + =3+3 2+3 2 1=15 答:一共可以表示15种不同的信号。 2.5(三角应用问题 现实生活中，诸如测量、建筑、航行等与三角函数知识有关的实际问题，可建立相应的三角函数关系式进行求解。类似的问题有;某人手上有测角器及皮尺各一个，(
17、1)如何测量前面一座高大建筑物的高度,(2)当他站在建筑物的楼顶时，如何测量建筑物的高度,(3)某人站在山脚时，如何测量大山的高度,这些都可用相应的三角知识求解。 例:有一支部队驻扎在一条河边，这支部队明天准备过河，在河的对岸有两座山，他们的长官想知道对岸两座山之间有多远。士兵们不能过河去，在他们手中有一个测角仪，他们已经知道了河边两个观测点A、B的距离是5000米,他们测出了对岸C山、D山分别和A、B两观测点之间的一些角度，如图: 已知: CAB= , , , 。那么C山和D山之间的距离是多少米, 解:因为 ， ，AB=5000米 所以，可求得:AD=5000 米 又因为 CAB= ， ，A
18、B=5000米 由正弦定理得: = 求得:AC=5000米 又由余弦定理: = + -2bc cos A 得 = + -2 解得:CD=5000米 所以，C山和D山之间的距离为5000米。 2.6(平面、立体几何应用问题 现实生活中，诸如材料加工涉及几何图形的几何特征的应用题，求面积或体积的最大(小)值等问题，均可用图形的几何性质和几何公式，并 结合函数或不等式知识求解。 例:我国首都靠近北纬 纬线。求北纬 纬线的长度约等于多少千米(地球的半径约为6370千米)。 解:如图: A是北纬 纬线上的一点，AK是它的半径，所以OK垂直AK。设c是北纬 纬 线的长，因为 ，所以 ，由计算器得 (千米)
19、 答:北纬 纬线长约等于 千米。 2.7(集合、简易逻辑应用问题 集合和简易逻辑的知识在生活中的应用较少，但在生活中还是能用到它们，只要我们认真观察，仔细思考我们相信数学的智慧火花会在生活中遍地开放。 例:学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛, 分析:设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A B就是两 次运动会都参赛的学生的集合。card(A),card(B),card(A B)是已知的，于是可以根据上面的公式求出card(A B)。 解
20、:设A=田径运动会参赛的学生 B=球类运动会参赛的学生 那么， A B=两次运动会都参赛的学生 A B=所有参赛的学生 card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B) =8+12-3=17 答:两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。 例:现有张三、李四、王五三人，张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说李四和张三都在说谎。请问:张三、李四、王五谁在说谎,谁说的是真话, 解:设张三为A、李四为B、王五为C，说真话为1，说谎话为0。 (1)A=1，即张三说真话，由于张三说:“李四在说谎”，可推知B=0，而李四说:“王五在说谎”，但B=0，李四说假话，则王五说的真话C=1
21、,由于王五说:“张三和李四都在说谎”，可知A=0，B=0与A=1 矛盾。则A=1时问题无解。 (2)张三说假话，即A=0，由于张三说:“李四在说谎”，可知李四说真话，即B=1，李四说:“王五在说谎”，知C=0，由于王五说:“张三和李四都在说谎”，而C=0,可得A=1,B=1或A=0,B=1或A=1,B=0。只要这三种情况有一种成立，都可以说明王五说的张三、李四全都说谎是假的，因此在这三种情况中至少有一个人说的是真话。由这三种情况可以挑选出A=0,B=1,C=0符合要求。 结论:张三、王五说假话，李四说真话。 生活离不开数学，数学来源于生活，数学与生活是永远无法剥离的。正如普通高中数学课程标准(
22、实验)中所说的，数学是“自然科学”，是“自然科学的语言和工具”，是“自然科学的基础”，是“人类文化的重要组成部分”，可见，数学要融合到生活的方方面面，并会成为一种具有多维结构的人类活动。因此，教学时，要努力让数学走入生活，使数学生活化。我们在生活中可以看到数学知识的应用是广泛的，大至宏观的天体运动，小至微观的质子、中子的研究，都离不开数学知识，甚至某些学科的生命力也取决于对数学知识的应用程度。马克思曾指出:“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步。”不过从知识的掌握到知识的应用不是一件简单的自然而然就能实现的事情，没有充分的、有意识的培养，学生的应用意识是不会形成的。我们综观
23、数学教育史不难发现，数学教育总是具有很强职业成分，但是随着中学和大学的学院化，数学和现实的联系被忽视了，所以如何教育学生“应用”和运用“现实生活”例子为数学教学服务还需要我们进行研究。应用在数学教学中可以有许多解释:有些人为的，非现实生活的例子，也可能有重要的教育价值，能养成学生应用数学的技能。还有一类传统的非常“现实”的例子，是直接从职业中拿出来的，如储蓄、税收等。不过有人认为这些例子只是社会的一些特殊需要，不足取。就算排除了这类实例，还会有多种形式体现“应用”。比如，守门员如何占位才能缩小对手的射门角度,这些问题把数学与实际情境联系在一起，对学生有吸引力，可是有的人又认为这不是真用数学解决问题，因为没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置。这些例子正印正了卡尔松说的“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的，在过去是现实的，现在不一定再是现实的了”。可见要使学生学会数学的“应用”性是既复杂，又有待长期解决的问题。希望我和大家一起为这方面努力。