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1、贵州等5省2013届高考压轴卷（二） 数学理试题2013新课标高考压轴卷(二) 数学(理科)试题 参考公式: 柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。 1锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 Sh3如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件A恰好发生次的概nkpkknk,率:. PkCppkn()(1)(0,1,2,),nn第?卷(共60分) 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要求的。 ,1(已知全集.集合A,x|x,3，B,x|logx,0，则( ) ACB,UR,2U,A. B. x|x,0或1,x,3 C. D. 2(设xx13,xx,3xx13,2(是虚数单位)，则A(2 B( zi,12，ii，,zzC( D( 2,i22，i3. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形(则该儿何体的体积为( ) A(24 B(80 C(64 D(240 4(已知向量(若为实数， abc,(1,2),(1,0),(3,4),()bac，,则 ,3111
3、3A( B( C( D( ,11325l:x，(a,2)y,2,0,l:(a,2)x，ay,1,0l,l5.已知直线，则“”是“的( ) a,11212A(充分不必要条件 B.必要不充分条件 C(充要条件 D.既不充分也不必要条件 页 1第 xy,，,10,xy，,20,xy,a,(,2)xb,(1,)yz,ab,6(理).已知满足线性约束条件，若，则的最大值是xy，,410,( ) 5,57,1A. B. C. D. 27.已知函数?，?，则下列结论正确的是 y,sinx，cosxy,22sinxcosx,(A)两个函数的图象均关于点成中心对称 (,0),4,(B)?的纵坐标不变，横坐标扩大
4、为原来的2倍，再向右平移个单位即得? 4,(C)两个函数在区间上都是单调递增函数 (,),44(D)两个函数的最小正周期相同 8、春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表: 附: 做不到“光能做到0.00.0 , 0.10 k) P(K25 25 盘” “光盘” 2.703.85.0男 45 10 k 6 41 24 女 30 15 2n(adbc),2K,(ab)(cd)(ac)(bd)，参照附表，得到的正确结论是 (A)有90,以上的把握认为“该市居民能否做到光盘与性别有关” (B)在犯错误的概率不超过l,
5、的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别无关” (C)在犯错误的概率不超过l,的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别有关” (D)有90,以上的把握认为“该市居民能否做到光盘与性别无关” xy,xcox9(现有四个函数:?的图象(部分)如下，但顺序被y,x2y,xsinxy,xcosx打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A(? B(? C(? D(? 10、(理)已知x，y的取值如下表: X 0 1 3 4 页 2第 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则 yxa,，0.95a,( )A, 3.2， B. 2.6
6、C, 2.8 D. 2.0. 223xy11(已知双曲线的方程为，过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于,1(a,0,b,0)F1223ab点P，且y轴平分线段,则双曲线的离心率为( ) FP1351，23，2A( B( C( D( 12、已知定义在上的奇函数满足(其中)，且在 Rf(x)f(x，2e),f(x)e,2.7182？ln2ln3ln5a,b,c,区间,上是减函数，令，则( ) e,2e235A、 B、 f(a),f(b),f(c)f(b),f(c),f(a)C、 D、 f(c),f(a),f(b)f(c),f(b),f(a)第II卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16
7、分。 13、执行如图所示的程序框图,输出的值为 . s19514(二项式的展开式中含x的项的系数是( ) (x,)x2x2，y,1交于P,PP,P15.过点M(2，0)的直线m与椭圆两点，线段的中点为P，设直线m的12122页 3第 斜率为，直线OP的斜率为k，则kk的值为_ k(k,0)2121116.下列命题 (1)命题“”的否定是“” ,x,R,cosx,0，x,R,cosx,0x，1，x,3,a(2)不等式恒成立的，则 a,421，(3)已知，则 a,b,R,2a，b,1，,8ab2(4)若随机变量服从正态分布且，则 N(2,),P(,4),0.8P(0,2),0.3其中，正确命题的序
8、号为_ 三、解答题: 本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(理科)(本小题满分12分) ,已知函数，其中， ，其中f(x),m,nn,(cos,x,sin,x,2sin,x)m,(sin,x，cos,x,3cos,x),，若相邻两对称轴间的距离大于等于 ,0f(x)2(?)求的取值范围; ,(?)在?ABC中，分别是角的对边，当最大时，, 求,a,b,cA,B,Cf(A),1a,3,b，c,3?ABC的面积. 18. (本小题满分12分) 直三棱柱ABC-ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，AA=4，点D在AB上( 1111(?)求证:AC?BC; 1
9、(?)若D是AB中点，求证:AC?平面BCD; 11BD1(?)当时，求二面角BCDB,的余弦值17.直三棱柱ABC-ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，111,1AB3AA=4，点D在AB上( 119(本题满分12分) 某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)(每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回( 页 4第 (?)设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望; ,(?)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率( 20. (本小题满分12分) *已知数列的首项为，前n项和为，且 ,a,5aSS,2S，n，5
10、(n,N)n1nn，1n(?)证明数列,是等比数列 a，1n2n(?)令， ，fx,ax，ax，,，ax12n2求函数在点处的导数，并比较与的大小. ，f12f1f(x)x,123n,13n21. (本小题满分12分) 221xy已知椭圆C:，,1(a,b,0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆222ab与直线相切 x,y，6,0(?)求椭圆C的标准方程 2bkk (?)若直线L:与椭圆C相交于A、B两点，且 ,y,kx，mOAOB2a,求证:的面积为定值 ,AOBOP ,在椭圆上是否存在一点P，使为平行四边形，若存在，求出的取 OAPB值范围，若不存在说明理由. 22.
11、(本小题满分14分) 2，已知函数图象上一点P(2，f(2)处的切线方程为( fx,alnx,bxy,3x，2ln2，2(?)求的值; a,b页 5第 1(?)若方程，在内有两个不等实根，求的取值范围(其中为自然对数的底，fx，m,0me,ee); e2.7,，(?)令gxfxnx,，如果图象与轴交于，AB中点为gxAx,0,Bx,0x,xx，1212,，求证:gx,0( Cx,0，002013新课标高考压轴卷(二) 数学(理科)试题答案 15 BDBAA 610 CCACB 11-12 AC 13. -2 14.36 15. -1/2 16. 234 页 6第 , 17.(理科)解:(1)f
12、(x),m,n22 ,cos,x,sin,x，23cos,xsin,x,cos2,x，3sin2,x, ,2sin(2x，),6？,0,T2, 函数的周期，由已知，即， ？f(x)T,22222,0,1 解得，即的取值范围是 ,0,1, (2)由(1)知的最大值为， 1,？f(x),2sin(2x，)61,？sin(2，), ？f(A),1A62135,22 而，所以，即 ,A，,A，,A,666663bca222，,22cosA 由余弦定理得 ，所以，又 b，c,3b，c,bc,3,2bcb,2b,1,或, 联立解得 c,1c,2,13,sin, 所以 SbcA,ABC22C1 A1 18.
13、(?)求证:AC?BC; 1B(?)若D是AB中点，求证:AC?平面BCD; 1 11BD1(?)当时，求二面角的余弦值( BCDB,E ,1AB3C 证明:(?)在?ABC中，因为 AB=5，AC=4，BC=3， A 222D 所以 AC+ BC= AB， 所以 AC?BC( B 因为 直三棱柱ABC-ABC，所以 C C?AC( 1111因为 BC?AC =C， 所以 AC?平面B BCC( 11所以 AC?BC( 1(?)证明:连结BC，交BC于E，DE( 11因为 直三棱柱ABC-ABC，D是AB中点， 111所以 侧面B BCC为矩形，DE为?ABC的中位线， 111页 7第 所以
14、DE/ AC( 1z 因为 DE平面BCD， AC平面BCD， ,111C1 A1 所以 AC?平面BCD( 11B1 (?)解:由(?)知AC?BC， 所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz( 则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A (0, 0, c)，B (3, 0, 4)( 11C A y 设D (a, b, 0)(，)， a,0b,0D BD11B 因为 点D在线段AB上，且， 即( BDBA,x 3AB344所以 ，( a,2BD,(1,0)b,334所以 ，( BC,(3,0,4)BA,(3,4,0)CD,(2,0)13n,(0,0,1)平面BCD的法向量为
15、( 1nxy,(,1)设平面B CD的法向量为， 12340x，,由 BCn,0，CDn,0， 得 ， 1224,20xy，,3,44所以 ，( y,2n,(,2,1)x,233设二面角的大小为， BCDB,1nn,312所以 ( ,cos,61nn12361所以 二面角的余弦值为( BCDB,16119.解:(1)的所有可能取值为0，1，2( ,设“第一次训练时取到个新球(即)”为事件A(0，1，2)(因为集训前共有6个篮球，其,iii,i中3个是新球，3个是旧球，所以 21113CCC333()(0)()(1)， ， PA,P,PA,P,012255CC6621C3()(2)( PA,P,
16、225C6所以的分布列为(注:不列表不扣分) ,0 1 2 页 8第 131P555131的数学期望为( ,E,0，1，2，,1555(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件( B则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件( AB，AB，AB012而事件、互斥， ABABAB012所以，( P(AB，AB，AB),P(AB)，P(AB)，P(AB)012012由条件概率公式，得 111133CC33()()(|， PAB,PAPBA),，,，,000255525C6113388CC24()()(|， PAB,PAPBA),，,，,1112551525C6111111CC15
17、()()(|( PAB,PAPBA),，,，,222255315C6所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 38138()( PAB，AB，AB,，,0122525157520. (1)解: (1) ？S,2S，n，5n，1n？， (2) S,2S，n，4n,2nn,1两列相减得 a，1,2(a，1)n，1n当时,a,2a，1,11 n,121？a，1,12,a，1,6 21a，1,2(a，1) 2n*a,5a，1,0故总有a，1,2(a，1)，又， n,Nn，1n11a，1n，1,从而,2，即数列a，1是等比数列 na，1nn由(1)知 a,3，2,1n2n？， fx,ax，ax，,，a
18、x12nn,1？，fx,a，2ax，,，nax 12n页 9第 ？，f1,a，2a，,，na12n2n ，,3，2,1，23，2,1，,，n3，2,123n ，,32，2，2，3，2，,，n，2,(1，2，3，,，n)(，1)nnn，1 ，,3,1，2,，6n22n2 ？，2f1,(23n,13n),12(n,1)，2,n(n，1)，12,23n，13nn2= ，12n,12,24n，12n，12n=, (1) 12(n,1)2,(2n，1)2当n=1时(1)式为0 ，2f1,23n,13n2当n=2时(1)式为-12 ， 2f1,23n,13nnn01n,1n当时，又 n,32,(1，1),
19、C，C，,，C，C,2n，2,2n，1n,1,0,nnnnn,？即(1)式0 (n,1)2,(2n，1),02？， 2f1,23n,13n,c1,a2,2222221. (?)解:由题意得 c,a,b,a,4,b,3,0,0，6,b,2,22xy？椭圆的方程为，,1. 43,xy22,，,1,(?)设，则A,B的坐标满足 A(xy)B(xy)431,12,2,y,kx，m,222消去y化简得， 3，4kx，8kmx，4m,12,024m,128km22xx,x，x,？， ，得 ,04k,m，3,01212223，4k3，4k22yy,(kx，m)(kx，m),kxx，km(x，x)，m 121
20、21212页 10第 2224m,128km3m,12k22k，km(,)，m,=。 2223，4k3，4k3，4k3, ？KKOAOB433y1y2yy,xx，即 ,12124412xx2223m,12k34m,1222,即 ？2m,4k,32243，4k3，4k2248(4k,m，3)222AB,(1，k)(x，x),4xx,(1，k), ？121222(3，4k)48(1)3422，k，k= ,2(34)22，k224(1，k),。 23，4kmd,O到直线的距离 y,kx，m21，k2m24(1，k)11,？ SdAB,AOB22223，4k1，k22213，4k241m24(1，k)
21、,= 2222221，k3，4k3，4k= 为定值. 3(?)若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则 OP,OA，OB8kmx,x，x,设P(x,y)，则 0120023，4k6my,y，y, 01223，4k22xy00由于P在椭圆上，所以 ，,14322216km12m从而化简得 ，,12222(3，4k)(3，4k)22化简得 (1) 4m,3，4k页 11第 322,由知 (2) KK2m,4k,3OAOB4解(1)(2)知无解 不存在P在椭圆上的平行四边形. aa,22.【解】(?)，fab2ln24,( fxbx,2fb24,，x2a?，且( ,43babln2462ln22,，
22、2解得a,2，b,1( 22(?)，令， fxxx,2lnhxfxmxxm,，,，()2ln，222(1),x,则，令hx,0，得,1(,1舍去)( xx，,hxx,2xx11,在内，当x?时，hx,0，?h(x)是增函数; ，,e,1)ee,hx,0当x?时，?h(x)是减函数( (1,e，1,h()0,?,1ehx,0则方程在内有两个不等实根的充要条件是 ，,e,e,h(1)0,h(e)0.?2即1e2,m?( ,2,2gxxxnx,2ln(?)，( ，,gxxn,2x2,2ln0,xxnx,?111,22ln0,xxnx,?,222假设结论成立，则有 ,xxx，,2,?120,2,20.xn?0x,x221,02ln()()0,xxnxx?,?，得( 1212x2x1lnx?( 2nx,220xx,122由?得， nx,20x0xx11lnlnxx21?(即( 22,xxx,xxxx,，1201212页 12第 x122,xx即(? 12ln,xx12，1x2x22t,1令，(0,t,1)， t,utt()ln,t，1x22(1)t,则,0(?在0,t,1上增函数( ut(),ut(),2tt(1)，?式不成立，与假设矛盾( utu()(1)0,?( gx,0，0页 13第