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1、辽宁省大石桥市高级中学2009届高三第二次模拟考试数学（理科）#大石桥市高级中学2009届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 命题人:白鹤 2009年4月 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分(第II卷第22、23、24题为选考题，其他题为必考题(考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效(考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1(答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.2(选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签
2、字)笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3(请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效(4(保持卡面清洁，不折叠，不破损(5(作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑(参考公式:样本数据，的标准差 锥体体积公式 xxxn1211222 s,(x,x)，(x,x)，？，(x,x) V,Shn12n3Sh其中为样本平均数 其中为底面面积、为高x柱体体积公式 球的表面积、体积公式432V,Sh ，V,RS,4,R3SRh其中为底面面积，为高 其中为球的半径第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
3、选项中，只有一项是符合题目要求的.请将你认为正确的选项前面的代号填入答题卷相应的表格中.2,(1)1,iMN,MiiN,1,1,1.设集合，则为 ,2i,1,ii,1,NA. M B. C. D. ,a的前n项和为，若 2. 等差数列，则aa，,2S,S,nn420062009 A.1004 B.2008 C.2009 D.2010,fxx()sin()(|),，,3. 函数的最小正周期为，且其图像向右平移个单位后,122得到的函数为奇函数，则函数的图象 fx()5,(,0)x,A(关于点对称 B(关于直线对称 1265,x,C(关于点(,0)对称 D(关于直线对称 12124( 已知为直线，
4、为平面，则下列命题中真命题的是 lmn,若则mm,A. B.若，则 ,ll, 若则mnmn,若则,C. D. 22xyC:1,5(已知双曲线以坐标原点为顶点，以曲线C的顶点为焦点的抛物线与曲线22abC渐近线的一个交点坐标为(4，4)，则双曲线C的离心率为 A. . C.3 D. 223 6.下列结论: a,2 ?是周期为,的必要条件; yax,，sin(1)11若且,则 ?abab,，,，,0,0,215.8; ab2，,xR19,a ?“，使得”是假命题,则; axax，,，,(3)102?某校在营口市第一次教学质量检测中的数学成绩服从正态分布，则N(100,10),. D,10其中正确的
5、是 A. B. C. D. ? ? ?abab,120|1的夹角为，:,|ac，7(已知向量，则的最小值为cab与共线，331A. B. C. D. 1 422 8. 某厂一月份、二月份、三月份、四月份的利润分别为2、4、4、6(单位:万元)，用线性回归分析估计该厂五月份的利润为 A(6.5万元 B(7万元 C(7.5万元 D( 8万元111119. 下图是把二进制的数化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件2，是 A. i,4 B. i,5 C. i,4 D. i,5 10.关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围为 R|1|xxm，,A m,1 B. m,1 C. m,1 D.
6、m,1 211.已知集合，集合，,(,)|01,01xyxyAxyyxxy,，,(,)|,210若向区域内投一点,则点落在区域内的概率为 ,PPA1115A. B. C. D. 410212,12. 已知函数的定义域为导函数为，则满足fx()(2,2),fxx()2cos,，且f(0)0,2x的实数的取值范围为 fxfxx(1)()0，,A. B. C. D. (112),，(121),，(12,12),，(1,1),第II卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分. x,1,013. 不等式的解集为 . x，214. 如图是甲乙两同学在高三的5次月考成绩的茎叶图， 甲 乙根据茎叶
7、图对甲乙两人的考试成绩作比较，请你写出 5 7 两个统计结论: 8 6 1 8 0 2 6 7? ; 5 9 0? . 1n6x，()15. 二项式展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项x2等于_ _. R2216.高等数学中有利用三角换元来求定积分的方法，例如:求定积分 (0)RRxdx,0,0,cos.,tdxRtdt设，则 xRt,sin2,R222222=. RtRtdtcoscosRtdtcosRxdx,000,22xy22，,1再求就可以了。利用此方法，则椭圆围成的封闭区域的面积costdt,02516为 . 三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说
8、明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分) 在?ABC中，a，b，c分别为三个内角A、B、C的对边， ,bsin2C,C,且,. 32a,bsinA,sin2C(?)判断?ABC的形状; |BA，BC|,2,求BA,BC(?)若的取值范围。 18. (本小题满分12分)一个四棱锥的直观图和三视图如图所示: PP P1 CBAB 2B AAB CD1 (?)求三棱锥A-PDC的体积; DC(?)试在PB上求点M，使得CM?平面PDA; 1(?) 在BC边上是否存在点Q，使得二面角A-PD-Q为,若存在，确定点Q的位置;120若不存在，请说明理由( 19. (本小题满分12分) 某社区举
9、办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖. 抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖. (?)活动开始后，一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡,主持人笑说:我只知道若1从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率; 3用表示获奖的人数.求(?)现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽.,的分布列及( ED,20. (本小题满分12分) 圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为22xy，,1.圆的很多优美性质可以类比
10、推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆mn定理:圆的平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线: 22xy，,1C已知直线l与曲线:交于两点，的中点为，若直线和ABMABAB,mnnOM(O为坐标原点)的斜率都存在，则. kk,ABOMm这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”. (?)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”; (?)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题: 22xy，,1W? 过点作直线l与椭圆交于两点，求的中点的轨迹ABMP(1,1)AB,42的方程; 22,lE、F? 过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是P(1,1)Ckxyk:1(0)，,ll否存在这样的
11、直线使点为线段的中点,若存在，求直线的方程;若不存PEF在，说明理由. 21. (本小题满分12分) ,12*a,2已知数列满足,. aaaanN,，,2(),1nnnn，1an ，证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;(?)若lg(1)a，a,1nn*(?)若，是否存在实数，使得对一切恒成立,若存在，求出,0a,2nN,n的取值范围，若不存在，说明理由; 1111(?)当时，证明. 1,0,31，？，,naaa212n选考题:请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分(作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑( 22. (本小题满分10分) 11
12、已知:如图，?ABC中，AB=AC，?BAC=90?，AE=AC，BD=AB，点F在BC331上，且CF=BC. 3求证:1)EF?BC; (2)?ADE=?EBC。 23. (本小题满分10分) 122,已知椭圆C的极坐标方程为，点F、F12223cos,，4sin,2x,2，t,2l为其左，右焦点，直线的参数方程为(t为参数，t?R)(,2,y,t,2,l (?)求直线和曲线C的普通方程; l (?)求点F、F到直线的距离之和. 1224. (本小题满分10分) 已知|x-4|+|3-x|不合题意。 ,由2C=,B知2C=A+C,A,C ,ABC为等腰三角形6分 ？|BA，BC|,2(2)
13、 22 ？a，c，2accosB,422,acosB, 8分 2acosB,cos2C又 1？,cosB,1 242？,a,1 10分 32又 ？BA,BC,2,a2？BA,BC,(,1) 12分 3，底面ABCD为直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=218. 由三视图可知:PB,底面ABCD111VV,，, 3分11APCDPCDA,326 (?) 当M为PB的中点时CM?平面PDA. 取PB中点N,连结MN，DN，可证MN?DN且MN,DN ?CM?DN，?CM?平面PDA 6分以BC、BA、BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. (?)分别假设在BC边上存在点Q，使得二
14、面角A-PD-Q为 120BADPQxx0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,1,(,0,0)0,1,且设,? ，ur设平面的法向量PNDnxyz,(,)1111uruuururuuururuuuruuuruuur?nDQnPQnDQnPQ,001111uuuuuruuur?DQxPD,(1,1,0),(1,1,1)ur xxy(1)0,1111?令z,1(,1,1)得n,11xyz，,0xx111,uuruur同理，可得 设平面的法向量PDAnxyz,(,)n,(1,1,2)22222uruururuurnn,3112COSnn,=， uruur-cos120,12211nn,212，
15、,，,(1)162xx11解得12分 xNBC,(,0,0)即为边中点.222C1n,19. (?)设“世博会会徽”卡有n张，由,得n=6. 2C3102C24 故“海宝”卡有4张. 抽奖者获奖的概率为,. 6分2C15102213kkk4,pkC,(k=0,1,2,3,4)B(4,)()()()(?)，的分布列为 ,4151515 或 1 2 3 4 0 ,2 4132223314()() C,() C()() C()() 5p 2822104？,，,，, ED4,4(1)12分20. (?)证明 设 AxyBxyMxyxx(,),(,),(,)(),1122001222,xy11，,1,m
16、n,22xy ,22，,1,mn,()()()()xxxxyyyy，,，,12121212相减得 ，,0mn 注意到 xxxyyy，,，,2,212012022()xyyy,0012有 ，,0mnxx(), 12yyyn,012？,xxxm, 012nkk,5分ABOMm即 yy,1Mxykk(,),则,(?)?设ABOMxx,1 1kk,由垂径定理，ABOM2 yy,11,即 xx,1222化简得 xyxy，,220xy或当与轴平行时，的坐标也满足方程.ABM22W故所求的中点的轨迹的方程为; ABMxyxy，,2208分22,? 假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且PlE、
17、FCkxy:1，,为的中点，则 EFkkk,EFOP 由于 k,1,？,kkOPEF ,直线，即，代入曲线的方程得 Clykx:(1)1,，ykxk,，122kxkxk，,，,(1)1 2 即 kkxkkxkk(1)2(1)(2)0，,，, 222,，,，,4(1)4(1)(2)0kkkkkk,1由 得. 故当k,1时，存在这样的直线，其直线方程为; ykxk,，1kk,1,0且当时，这样的直线不存在. 12分21. (?),1 22 aaaaa,，？，,，211()nnnnn，11lg12lg(1)aa，,，nn，1？，lg(1)a是公比为2的等比数列，且首项为lg3,nn,1？，,lg(1
18、)2alg3nnn,1122 4分？，,？,aa1331nn,11(?)解法1:由，得 ,3aa,，,，,24221a21*猜想时，一切时恒成立. a,2n,N,3na,2n,1?当时，成立. 1221a，,nn,ka,?设时，则由 a,2n，1kan133322a,，,，,2()2()2kaa,，,221,，3,kk2222得=a,2,0，k1aaaakkkk时， ？n,k，1a,2k，1*由?知时，对一切，有. 8分a,2n,N,3n221a，,n解法2:假设 a,2n，1an1322,，,，aaa 2212()nnn22132f(n),2(a,)，(a,2)记，可求 nn22fn()3,
19、max ,？,3故存在，使恒成立. 8分a,2,3n,1(?)证法1: aa,，2nn，1an，由(?)知 a,2,31,n,1？,0anaa？,2，1nn21*,nnaaaanN？,？,22222(),121nnn11？,na2n111？，？， aaa12n11(1),n1111221,，？，,2nn122221,212分,1证法2: aa,，2nn，1an,31,1,2？,，,aaa222211a1n猜想.数学归纳法证明 a,2na,2?当时，成立 n,11k?假设当a,k时，成立 a,2k,1k，1 a,aa222，,k，1kkakn*由?对，成立，下同证法1。 a,2n,Nn12分22
20、.解析设AB=AC=3a，则AE=BD=a，CF=2a. CE2a2CF2a2,. (1) CB3CA3a332a又?C公共，故?BAC?EFC，由?BAC=90?，?EFC=90?，?EF?BC . 4分 AEa2AD2a2EF,2a,故,. (2)由(1)得 6分EF2BF22a22aAEAD？,.EFBF ?DAE=?BFE=90?. 8分 ?ADE?FBE，?ADE=?EBC. 10分 23.【解析】 (?) 直线普通方程为 ; 2分lyx,2 22xy曲线的普通方程为( 4分，,1C43 (?) ?,， F(1,0),F(1,0)12,10232d,?点到直线l的距离 6分F1122
21、 102,2d,点到直线的距离 8分lF2222 dd，,22.? 10分12【解析】解法一:(1)当 x?4 时 ，(x-4)+(x-3) x3时 ，(4-x)+(x-3) a ，1 a .若要求不等式无解，则 a ? 1。否则不等式的解集为全集; 当x ? 3 时 ,(4-x)+(3-x) a , 7-2x a. 在x ? 3区间，不等式左端的函数单调递减.在 x=3 时取最小值 1.若要求不等式无解，则 a ? 1 综合以上 a ? 1 . 5分 (2)当:x?4时:|x-4|+|3-x|=x-4+x-3=2x-7,因为x?4,所以2x-7?1 ; 当 3?x,4时:|x-4|+|3-x|=4-x+x-3=1 ; 当:x,3时:|x-4|+|3-x|=4-x+3-x=7-2x,因为x,3,所以-x,-3,所以7-2x,1. 所以|x-4|+|3-x|最小值为1,要使|x-4|+|3-x|1 10分 解法二: 设y=|x-4|+|x-3|，(|x-3|=|3-x|) 2x,7 (x,4),y,1 (3,x,4)等价于: ,2x，7 (x,3),其图象为: 由图象知: 当a?1时,|x-4|+|3-x|a无解 当1,a时,|x-4|+|3-x|a有解 10分