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1、2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(三)及答案26（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售 1若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x150， ,100成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w（元）内（利润 = 销售额成本广告费） 若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为 12常数，10?a?40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x 元的附加费，设月利润为100w（元）（利润 = 销售额成本附加费） 外（1）当
2、x = 1000时，y = 元/件，w= 元； 内 （2）分别求出w，w与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； 内外（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 2bacb4,2yaxbxca,，,(0)(,),参考公式：抛物线的顶点坐标是 24aa：（1）140 57500； 12（2）w = x（y -20）- 62500 = x130 x， ,62500内,10012w = x（150）x ,a外,10
3、0130（3）当x = = 6500时，w最大；分 内,12，(,)100124()(62500)130，,，,2由题意得 ， 0(150),a100,11解得a4()4()，,，, = 30，a = 270（不合题意，舍去）所以 a = 30 12100100（4）当x= 5000时，w= 337500， w=,，5000500000a 内外 若w w，则a32.5； 内外 若w= w，则a = 32.5； 内外 若w w，则a32.5 内外 所以，当10? a 32.5时，选择在国外销售； 当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样； 当32.5 a ?40时，选择在国内销售 23 (德
4、州市11) 已知二次函数2y,ax，bx，c的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3) (1)求此函数的解析式及图象的对称轴； (2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒 ?当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形； ?设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值 y y Q Q E D G O O A A x x N N M
5、 M P P F B B C C 解：(1)?二次函数第23题图 2y,ax，bx，c的图象经过点C(0，-3)， ?c =-3 2将点A(3，0)，B(2，-3)代入y,ax，bx，c得 0,9a，3b,3，, ,3,4a，2b,3.,解得：a=1，b=-2 2?y,x,2x,3-2分 2配方得：y,（x,1）,4，所以对称轴为x=1-3分 (2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t ?点B，点C的纵坐标相等， ?BC?OA 过点B，点P作BD?OA，PE?OA，垂足分别为D，E 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB 即QE=AD=1 又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2
6、-0.2t， ?2-0.2t=1 解得t=5 即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形-6分 ?设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G ?对称轴x=1是线段BC的垂直平分线， ?BF=CF=OG=1 又?BP=OQ， ?PF=QG 又?PMF=?QMG， ?MFP?MGQ ?MF=MG ?点M为FG的中点 -8分 ?S=S-S， 四边形ABPQ,BPN=S-S 四边形ABFG,BPN19由S,(BF，AG)FG= 四边形ABFG22113SBPFGt ,BPN224093?S=,t-10分 240又BC=2，OA=3， ?点P运动到点C时停止运动，需要20秒 ?04.8，x12,所以. 4.8,
7、x,12因此?ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 F G 2（第24题图(3)） ,x, 8分 y,(023.04， 所以?ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. 10分 25()如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G y D （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； C （2）在直线EF上求一点H，使?CDH的周长最小，并求出最小周长； E G A F O B x （3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么
8、位置时， ?EFK的面积最大？并求出最大面积 16a,4b，4,0,1：（1）由题意，得 解得，b =1 a,24a，2b，4,0,192所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（1，） y,x,x，422（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为 395DH + CH = DH + HB = BD =2222 而 CD,，,BM，DM,131(4)2225，313? ?CDH的周长最小值为CD + DR + CH = 2kb2，,0,113,设直线BD的解析式为y = kx +
9、 b，则 解得 ，b = 3 k,111,92kb,，,11,23所以直线BD的解析式为y =x + 3 ,2由于BC = 2，CE = BC?2 =，Rt?CEG?COB， 55得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5） 13同理可求得直线EF的解析式为y =x + 22153联立直线BD与EF的方程，解得使?CDH的周长最小的点H（，） 4812（3）设K（t，），xtx过K作x轴的垂线交EF于N ,t,t，4FE213511322则 KN = yy =（t +）= ,t,t，4,t,t，KN2222222113所以 S= S + S
10、=KN（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t3t + 5 =（t +）?EFK KFNKNE222292 + 4293533即当t =时，?EFK的面积最大，最大面积为，此时K（，） 242826（本题满分10分） 如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP?BC，交OB于点P，连接MP （1）点B的坐标为 ? ；用含t的式子表示点P的坐标为 ? ；(3分) （2）记?OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 t 6
11、）；并求t为何值时，S有最大值？(4分) （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把?ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是?ONC面积的1？若存在，求出点T的坐标；若3不存在，请说明理由(3分) yy NCCBB P AOxAMOx （备用图） ：（1）（6，4）；（2tt,）.（其中写对B点得1分） ? 3分 312（2）?St=OM， ? 4分 ?OMP 231212?S =t,t（6 -t）=+2t 23312 （0 t 6） ? 6分 ,，(3)3t3?当时，S有最大值 ? 7分 t,3（3）存在 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M
12、（3，0），N（3，4）， 4则直线ON的函数关系式为： yx,3b 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：， yxb,，3y43b, Tyx,x,2,N,34，bED 2解方程组,得 CBb4b,yxb,，y, TR ,1R 134，b,2PD 134bb?直线ON与MT的交点R的坐标为(,) AOxM44，bb（备用图） 11?S436，?S S2 ? 8分 ?OCN ORT OCN 23? 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是?ORT，如图，作RD?y轴，D为11111113b垂足，则SRDOT b2. ?1ORT11224，b2213,2?34160bb,， b =.
13、 32213，2213,?b，b（不合题意，舍去） 1 2 332213，此时点T的坐标为（0，）. ? 9分 13? 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是?RNE，如图，设MT交CN于点E，2312b,由?得点E的横坐标为，作RD?CN交CN于点D，则 222b9611312b,4bS,ENRD =2. (3),(4),?2R2NE2bb(4)，22b4，b,，4164482?,2132bb，,4480，b=. 2?b,21322132,，b（不合题意，舍去） 12?此时点T2132,的坐标为（0，） 22213，综上所述，在y轴上存在点T2132,（0，），T（0，）符合条件1012
14、3分 26.( 14分)如图1，已知点B（1，3）、C（1，0），直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将?ABC沿直线AB折叠得到?ABD. （1）填空：A点坐标为（_，_），D点坐标为（_，_）； 12（2）若抛物线y= x+bx+c经过C、D两点，求抛物线的解析式； 3（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM?x轴.若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由. 24a cbbb2（提示：抛物线y=ax+bx+c(a?0)的对称轴是x= ，顶点坐标是（
15、 ， ） 2a2a4ay y D ? B B A O C A O C x x 解：（1） A(-2,0) ,D(-2,3) 图1 备用图 12 (2)?抛物线y= x+bx+c 经过C(1,0), D(-2,3) 321 代入，解得：b=- ,c= 33121 2? 所求抛物线解析式为：y= x x+ 333（3）答：存在 解法一： 设抛物线向上平移H个单位能使EM?x轴， 1121 2则平移后的解析式为：y= x x+ +h =(x -1)? + h 33331此时抛物线与y轴交点E(0,+h) 3当点M在直线y=x+2上，且满足直线EM?x轴时 51则点M的坐标为（h,，h） 33又 ?M
16、在平移后的抛物线上，则有 115 +h=(h-1)?+h 333511解得： h= 或 h= 335（?）当 h= 时，点E（0，2），点M的坐标为（0，2）此时，点E,M重合，不合3题意舍去。 11（ii）当 h=时，E（0，4）点M的坐标为（2，4）符合题意 311综合（i）（ii）可知，抛物线向上平移个单位能使EM?x轴。 3解法二：?当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M,E重合时，它们的纵坐标相等。 ?EM不会与x轴平行 当点M在抛物线的右侧时，设抛物线向上平移H个单位能使EM?x轴 2111则平移后的抛物线的解析式为?y=x?,x+h =(x - 1)? + h 33
17、331? 抛物线与Y轴交点E(0,+h) 3?抛物线的对称轴为：x=1 1根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h)时，直线EM?x轴 31111将（2，+h)代入y=x+2得，+h=2+2 解得：h= 33311 抛物线向上平移个单位能使EM?x轴 ?326. ( 本小题满分12分) 如图11，在直角梯形中，?，,OAB90，点为坐标原点，点在OABCCBOAOAx轴的正半轴上，对角线，相交于点， OBACOAAB,4OACB,2M（1）线段的长为 ，点的坐标为 ； OBC（2）求?的面积； OCMy（3）求过，三点的抛物线的解析式； OCA（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该
18、 EFC B 抛物线上的点，且以，四点为顶点的四边形 OAFE为平行四边形，求点的坐标 FM x O A 图11 解：（1）42 ；. （2分） 2,4，y（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，,OAB90 C ? ? ? ?OAM?BCM （3分） CBOAB 又 ? OA=2BC M 1 ? AM2CM ，CMAC （4分） 31118D x O A 所以SS,，, （5分） 44,OCMOAC3323（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.） 2（3）设抛物线的解析式为 yaxbxca,，,0，由抛物线的图象经过点,.所以 O0,0A4,0C2,4，c,0, （6分） 1
19、6a，4b，c,0,4a，2b，c,4,解这个方程组，得， （7分） a,1b,4c,02所以抛物线的解析式为 yxx,，4 （8分） 2 （4）? 抛物线yxx,，4的对称轴是CD， x,2? 当点E在x轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点； （9分） C2,4，? 当点E在x轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形， x,2AOEF2yxx,，4?，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可OAOAEF,x,6EF得.所以. （11分） y,12F6,12,，同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，?，且，x,2OAEFOAOAFE,FE2此时点F的横坐标为yxx,，4，将代入，可得y,12.所以.x,2F,2,12,2，（12分） 综上所述，点F的坐标为，. （12分） 2,46,12,2,12,，