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1、长沙市雅礼中学2015届高三4月(第八次)月考数学理试题及答案用请下载 雅礼中学2015届高三月考试卷(八) 数 学 (理科) ( 时量:120分钟，满分:150分，2015年4月) 一 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，请把答案均填入答卷的表格里) 1(已知复数满足，则复数对应的点在复平面对应的点位于 ( B ) zii,(12)zA(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 1,x2(若集合，则 ( B ) MxxNxy,|01,|lgMCN:,RxA( B( C( D(或 00,1|01xx,|0xx,x,13(从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位:克
2、) 12512010513011695120134 122 114 则样本数据落在内的概率为 ( C ) 114.5,124.50.20.30.40.5A( B( C( D( 4(一个用流程图表示的算法如图所示， 则其运行后输出的结果为 ( A ) 开始 A(1320 B(11880 i=12，S=1 N i?10 C(132 D( 以上都不对 Y S 输出S=Si 结束 i=i-1 (第4题图) 1235(的展开式中，含的正整数次幂的项共有 ( A ) x()xx，A(3项 B(4项 C(2项 D(6项 6(如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是 ( D ) 4 243A(48 B( 6
3、2 正视图 侧视图 83C(16 D( 3 3 2 俯视图 用请下载 27(在公差不为零的等差数列中，数列是等比数列，且 abba,220aaa,，,nn773711则的值为 ( B ) log()bb268A(2 B(4 C(8 D(1 538(已知函数，且，那么 ( A ) f(2)10,f(2),fxxaxbx()8,，,26,18,1010A( B( C( D( 22xy29(已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A,1(0,0)abypxp,2(0)22abAFx,ll是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是 ( D ) ,A(0,) B(,) C(
4、,) D( (,) 644332622bpbbc2cb,【解析】？,|,2AFpcc,？,，又，故选D tan2aa2ab,1m,(2,)10(若，定义一种运算:，已知 ， aaabbb,(,),(,)ababab,(,)121211222,n,(,0) ，且点，在函数的图象上运动，点在函数的图Pxy(,)yx,sinQyfx,()3,象上运动，且(其中O为坐标原点)，则函数的最大值A和最yfx,()OQmOPn,，小正周期T分别为 ( D ) 11,AT,4AT,A( B( C( D( AT,2,AT,2,4,22,1,1,，,OQxx(2,sin)fxx(2)sin【解析】由条件，所以 ，
5、从而求得 323211x,？,fxAT()sin(),4. ,2262二 填空题(本大题应答5小题，每小题5分，共25分，请把答案填入答卷中的横线上) (一)选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答，全做按前两题记分) OABAB11(如图是圆的直径，延长至D，使 BDOBDC,C OCACAD:, 切圆于，则 D A B O O 1:3【答案】 ,x33cos,，,C,12(已知在平面直角坐标系xOy中圆的参数方程为:，(为参数)， ,y13sin,，,用请下载 ,cos(，),0,C以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为:截直线所Ox则圆6 得弦长为 【答案】 42 13(若关于
6、的不等式的解集不空，则的取值范围是 xa|2|2|6xxa,，,【答案】 (2,4).,(二)必做题(14,16题) 22xx,14(函数,，,图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 fx()sincos()3363,【答案】 22215(已知函数，且，则当 fxxxxR()sin(),，,fyxfxy(811)(610)0,，,，,22时，函数的最小值与最大值的和为 y,3Fxyxy(,),，【答案】62 【解析】易知是奇函数，又为增函数 fx()fxxfx()1cos0,(),，,？2222 所以 fyxfxyyxxy(811)(610),811610,，,，,？,，,，,22 即，又，则对应
7、可行域是以为圆心，2为半径的y,3(,)xy(4,3)(4)(3)4xy,，,上半圆面，易求得FxyFxy(,)13,(,)49,，其和为62 minmaxb,ab,yy16(记 ，当正数、变化时， 也在变化，xtx,min,min,ab,22ab,xy，a,则t的最大值为 2yyxy2122【答案】 【解析】: 若x?,则t=x,t=x?x?=.故t?,当22222xy2x，yx，y22yyyxy2122且仅当x=y=时取“,”;若?x, 则t=,t=()?.故t222222222x，yx，yx，yx，y22222?，当且仅当x=y=时取“,”.综上可知,当x=y=时,t取最大值为. 222
8、2三 解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤) 用请下载 17(本小题满分12分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获1胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每31次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响. 2(?) 求甲获胜的概率; (?) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 ,k解析:设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则 AB,kk11PA,PB, k,1,2,3，kk32(?)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知, PCPAPABAPAB
9、ABA,，111211223,，PAPAPBPAPAPBPAPBPA ，111211223221211211, ,，,3323323,11113 6分 ,，,392727(?)的所有可能为: ,1,2,31212,，,，, 由独立性知:PPAPAB1，111332322211212, ,，,，,PPABAPABAB2，,1121122323329,22211, ,PPABAB3，,1122329,综上知,有分布列 ,1 2 3 221 P 39922113,，,E123从而,(次) 12分 3999ABCDBCEABF18(本小题满分12分) 如图,边长为2的正方形中,点是的中点,点是,DCF
10、CAEDDEDFAA的中点,将?、?分别沿、折起,使、两点重合于点,连接,EFAB,. ,ADEF,(?)求证:; ,AEFD,(?)求二面角的余弦值. 用请下载 ABCD【解析】(?)在正方形中,有z CDCF,ADAE, ,则ADAE,ADAF, ,AEAFA:,又 x ,?AD,平面AEF y ,而EF,AEFADEF,平面,? 5分 ABCDBCFEAB(?)方法一: ?正方形的边长为2,点是的中点,点是的中点, ,BEBFAEAF,1?, EF,2? 222,AEAF,?AEAFEF，,? ,AD,AEF由(?)得平面, ,AEAFAD?分别以,为,y, x轴建立如图所示的空间直角
11、z,坐标系, Axyz,则, A(0,0,0)E(1,0,0), F(0,1,0)D(0,0,2),?, DE,(1,0,2)DF,(0,1,2),nDExz,20,1DEF设平面的一个法向量为nxyz,(,),则由, ,1nDFyz,20,1,可取n,(2,2,1) 1,AEF又平面n,(0,0,1)的一个法向量可取 2用请下载 ,nn,1112,? cos,nn123|nn4411，,121,?二面角的余弦值为 12分 AEFD,3,GAG方法二: 连接交于点,连接 BDEFABCDBC?在正方形中,点是的中点,点是的中点, EABF?, DEDF,BEBF,G?点为的中点, EF且BDE
12、F, ,ABCDAGEF,?正方形的边长为2,?,? AEAF,1,，AGD?为二面角的平面角 AEFD,ADAG,由(?)可得, ,ADG?为直角三角形 ABCD?正方形的边长为2, ?,EF,2, BD,22G 2232?, BG,DG,22222,AD,2 又9222,AGDGAD,4? 222,AG12,? cos，,AGDDG33221,AEFD,?二面角的余弦值为 3CAB、CMCN、19(本小题满分12分)已知分别在射线(不含端点)上运动，2Cb,ABC，,MCNac，在中，角、所对的边分别是、( AB3bacc (?)若、依次成等差数列，且公差为2(求的值; ,ABC，,ABC
13、c,3 (?)若，试用表示的周长，并求周长的最大值( bac【解析】(?)、成等差，且公差为2， ？21ac,4bc,2cosC,，,MCN、. 又， ？23222222ccc,，,42，1abc，,1,， ， ？2422cc,22ab，用请下载 2c,7c,2c,4c,7恒等变形得 ，解得或.又，. 6分 cc,，,9140？ACBCAB,ABC,(?)在中， sinsinsin，ABCBACACBACBC3,AC,2sin，. BC,2sin？,2,2,sin,3,sinsin,33,ABC的周长f, ,，ACBCAB？,，,，2sin2sin3，,3,，13,， ,，,，2sincos3
14、,，2sin3,223,，,2,，,，,又，, 当即时， ,0,？,3233336,23，f,取得最大值( 12分 ，20(本小题满分13分) 某生产流水线由于改进了设备，预计改进后第一年年产量的增长率160%为，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量是 a.n,1 (?) 写出改进设备后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第年与第年的产n量之间的关系式; (2,)nnN,5% (?) 由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高,若是，请给予证明;若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少, 解:(?) 设第年的产量为a，则 nnaa,，(1
15、160%),1aa,，(1160%)(180%),2aa,，(1160%)(180%)(140%),313117819？,aaaaaa,.123525125 6分 111？,，,，,aaannN(1160%)(1)(2,).nnn,11nn,1425211aa,，,(1)(15%). (?) 依题意得， nn,1n,45211，,(1)(15%)1.aa, 若以后每年的产量逐年减少，即，也即 nn,1n,452用请下载 112019n,4，,？,1,2,n,452195 所以 191921nnaa？,？,即时2,2,42,6,nn,155故从第6年起，年产量比上一年减少 13分 321(本小题
16、满分13分) 已知椭圆E中心在原点，一个焦点为 ，离心率 e,.(6,0),2(?)求椭圆E的方程; 5O,AOB(?)是长为的椭圆E动弦，为坐标原点，求面积的最大值与最小值 AB222xyc3222【解析】(?)设椭圆方程: 由条件知，又， ，,1abc,，c,6,22aba222xy222解得所以椭圆方程为，,1 4分 acb,8,6,282AB(?)当直线斜率存在时，设代入椭圆方程 AxyBxyABykxb(,),(,),:,，112222222得， xy，,48(41)84(2)0kxkbxb，,284(2)kbb, ？，,xxxx,.1212224141kk，22516(1)，k22
17、222由， ,，,，,|(1)()42(41)ABkxxxxkb？1212224(41)k，2225(41)k，22得 bk,，,2(41).264(1)k，|bOAB又原点到的距离为，8分 2k，1241k，5|bu, 所以，记 S,AOB22k，14，k12413k，62512862564222Suuu,()4().u,41,4)则因为22102425102425kk，115103575103ABS,所以，当直线斜率不存在时，,2， S,283232用请下载 6439所以，此时即; u,S,2k,max2565103u,1k,0.，此时，即 ?13分 S,min322x,022(本小题满分
18、13分) 已知函数在处取得极值. fxxaxx,，,ln，(?)求实数的值; a5(?)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数0,2fxxb,，x，,2b的取值范围; 341n，(?)证明:对任意的正整数,不等式都成立. 2ln1，,，？nn，249n1解析:(?) fxx,21,，xa，？x,0时,fx取得极值, ？,f00, ，1a,1.a,1故,，,2010,解得经检验符合题意. 3分 0，a52a,1fxxxx,，,ln1,(?)由知,得由fxxb,， 232ln10,xxxb，,，, ，2352,，,，,0,2xxxxbln1,令则fxxb,，在区间上恰有两个不同的，,22
19、,x,00,2实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. ，,，,451xx，13, xx,，,2,，xx，1221，x,0,1,x,0,x0,1当时,于是在上单调递增; ，,x,1,2,x,0,x1,2当时,于是在上单调递减.6分 ，,00,b,，,3,1ln1110,，,，,b依题意有, ，,2,2ln12430,，,，,b，,1ln31ln2.,，b解得, 8分 22fxxxx,，,ln1xx,1(?) 的定义域为,由(1)知 ，,用请下载 ,，xx23，3x,0令得,或(舍去), fx,0x,fx,，2x，1，,10xx,0 当时, ,单调递增;当时, , fx,0fxfx,0？，单调
20、递减. 为在上的最大值. fx？f0fx,，,1,，2x,0,故(当且仅当时,等号成立) ？,fxf0ln10xxx，,，1111nn，11,对任意正整数,取得, x,0nln1,，,，？,ln,22nnnnnn, 341341nn，故. 13分 2ln2lnlnlnln1，,，,，？n，24923nn(方法二)数学归纳法证明: 11，n,12ln2,当时，左边,2，右边，显然，不等式成立. ,，,ln(11)ln221341k，*假设时，成立， 2ln1，,，？knkkNk,1，249k34122kkk，nk,，1则时，有.做差比较:2ln1，,，？k，22249kkk，11，,kkk，222111,ln2ln1lnln1kk，,，,，,，,222kkkk，111(1),kk，11，,，xx23，2,Fxxxxx,，,ln1,0,1构建函数，则， Fx,0，x，1？Fx在0,1？,FxF00单调递减，. ，,1111,*xkkN,1,取， ln100，,，,F，,2k，1kkk，11(1),k，2k，2即，亦即， ln2ln10kk，,，,，,，ln1ln2kk，22k，1k，1，34122kkk，nk,，1故时，有，2ln1ln2，,，,，？kk，22249kkk，11，不等式成立. 341n，2ln1，,，？nn综上可知，对任意的正整数,不等式都成立. ，249n