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1、高一数学必修1知识点总结 .doc高一数学必修1知识点总结 高一数学必修一知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性如:世界上最高的山(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示: 如:我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法:列举法与描述法。注意:常用数集及其记法:X Kb 1.C om 非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 :N*
2、或 N+ 整数集: Z 有理数集: Q 实数集: R1)列举法:a,b,c2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合xR|x-3>2 ,x|x-3>23) 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形4) Venn图:4、集合的分类:(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合 例:x|x2=,5,二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意: 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2(“相等”关系:A=
3、B (5?5，且5?5，则5=5)实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即:? 任何一个集合是它本身的子集。AA? 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)? 如果 AB, BC ,那么 AC? 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。4.子集个数:有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-
4、1个非空子集，含有2n-1个非空真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集(记作A B(读作A交B)，即A B=,x|x A，且x B,(由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集(记作:A B(读作A并B)，即A B =x|x A，或x B)(设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集) 记作 ，即CSA= 韦恩图示性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B ,A B B(CuA) (CuB)=
5、Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= (二、函数的有关概念1(函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域(注意:1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2
6、)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法:?表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);?定义域一致 (两点必须同时具备)2(值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(
7、x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 1.描点法: 2.图象变换法:常用变换方法有三种:1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4(区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示(5(映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记
8、作“f(对应关系):A(原象) B(象)”对于映射f:A?B来说，则应满足:(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集(补充:复合函数如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=fg(x)=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。二(函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=
9、f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1),f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质;(2) 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左
10、到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:(1)任取x1，x2?D，且x1<x2;(2)作差f(x1),f(x2);或者做商(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差f(x1),f(x2)的正负);(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律:“同增异减”注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数:一般地，对于
11、函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数(2)奇函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(,x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称(9.利用定义判断函数奇偶性的步骤:?1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;?2确定f(,x)与f(x)的关系; ?3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(,x) =,f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0，则f(x)是奇函数(注意:函
12、数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .10、函数的解析表达式(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有:1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法11(函数最大(小)值?1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值?2 利用图象求函数的最大(小)值?3 利
13、用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);第三章 基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1(根式的概念:一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ? *(负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作 。当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2(分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定:， 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3(实数指数幂的运
14、算性质(1) • ;(2) ;(3) (二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R(注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1( 2、指数函数的图象和性质a>10<a<1 定义域 R定义域 R值域y,0值域y,0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0，1)函数图象都过定点(0，1)注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出:(1)在a，b上， 值域是 或 ;(2)若 ，则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;(3)对于指数函数 ，总有 ;二、对数函数(一)对数1(对数的
15、概念:一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作: ( 底数， 真数， 对数式)说明:?1 注意底数的限制 ，且 ;?2 ;?3 注意对数的书写格式(两个重要对数:?1 常用对数:以10为底的对数 ;?2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 (指数式与对数式的互化幂值 真数 , N , b 底数 指数 对数(二)对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么:?1 • ， ; ?2 , ;?3 (注意:换底公式: ( ，且 ; ，且 ; )(利用换底公式推导下面的结论:(1) ;(2) ( (3)、重要的公式 ?、负数与零没有对数; ?、 ， ?、对数恒等式 (二)对数函数1、
16、对数函数的概念:函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是(0，+?)(注意:?1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如: ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数(?2 对数函数对底数的限制: ，且 (2、对数函数的性质:a>10<a<1 定义域x,0定义域x,0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点(1，0)函数图象都过定点(1，0)(三)幂函数1、幂函数定义:一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数(2、幂函数性质归纳(1)所有的幂函数在(0，+?)都有定义并且图象都过点(1，1);(2) 时，幂函数的图象通过原点，
17、并且在区间 上是增函数(特别地，当 时，幂函数的图象下凸;当 时，幂函数的图象上凸;(3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数(在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴(第四章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点(3、函数零点的求法:?1 (代数法)求方程 的实数根;?2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点(4、二次函数的零点:二次函数 ( (1)?,，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点(2)?,，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点(3)?,，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点(5.函数的模型