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1、高一数学必修1知识点总结第二章基本初等函数高中数学必修1知识点总结 第二章 基本初等函数 2.1指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 nn?如果，且，那么叫做的次方根(当是奇数时，的次方根用符号anN,xannanxaaRxRn,1，nn表示;当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示;0的次方根是0;负数a,anannn没有次方根( anna,0?式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数(当为奇数时，为任意实数;当为偶数时，( anananaa (0),nnnnnnaa,?根式的性质:;当为奇数时，;当为偶数时， ( nn()aa,aa,|,aa (0
2、) ,(2)分数指数幂的概念 mnmnn,1)aaamnN,(0,?正数的正分数指数幂的意义是:且(0的正分数指数幂等于0(?正数的负分数，mm, 11mnnnaamnN,()()(0,n,1)指数幂的意义是:且(0的负分数指数幂没有意义( 注意口诀:底，aa数取倒数，指数取相反数( (3)分数指数幂的运算性质 rsrs，rsrsrrr? ? ? aaaarsR,(0,)()(0,)aaarsR,()(0,0,)abababrR,2.1.2指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称 指数函数 x定义 a,1)函数且叫做指数函数 yaa,(0a,101,a xxyy y,ay,a图象 (0,1)
3、y,1y,1 (0,1)1 1 OOxx0 0 定义域 R 值域 (0,+?) 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1( 奇偶性 非奇非偶 1 单调性 在上是增函数 在上是减函数 RR函数值的 y,1(x,0), y=1(x=0), 0,y,1(x,0) y,1(x,0), y=1(x=0), 0,y,1(x,0) 变化情况 变化对 a在第一象限内，越大图象越高，越靠近y轴; 越大图象越高，越靠近y轴; 在第一象限内，aa图象的影 在第二象限内，越大图象越低，越靠近x轴( 在第二象限内，越小图象越低，越靠近x轴( aa响 2.2对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定
4、义 xNN?若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数( xaxN,logaaNaa,(0,1)且ax?负数和零没有对数(?对数式与指数式的互化:( xNaNaaN,log(0,1,0)ab(2)几个重要的对数恒等式: ，( log10,log1a,logab,aaalnNe,2.71828(3)常用对数与自然对数:常用对数:，即;自然对数:，即(其中)( logNlogNlgN10eaaMN,0,1,0,0(4)对数的运算性质 如果，那么 MlogloglogMN,logloglog()MNMN，,?加法: ?减法: aaaaaaNlogNanaN,nMMnRloglog(),?数
5、乘: ? aalogNnbnlog(0,1)Nbb,且loglog(0,)MMbnR,? ?换底公式: abaalogabb【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数名称 对数函数 a,1)函数且叫做对数函数 定义 yxa,log(0aa,101,a x,1x,1yyyx,logyx,log aa图象 (1,0)1 1 OO(1,0)xx 0 0 (0,)，, 定义域 2 值域 Rx,1过定点 图象过定点，即当时，( (1,0)y,0奇偶性 非奇非偶 (0,)，,(0,)，,在上是增函数 在上是减函数 单调性 log0(1)xx,log0(1)xx,aa函数值的 log0(1)xx,
6、 log0(1)xx, aa变化情况 log0(01)xx,log0(01)xx,aa变化对 图在第一象限内，越大图象越靠低，越靠近x轴 越小图象越靠低，越靠近x轴 在第一象限内，aaa在第四象限内，越大图象越靠高，越靠近y轴 在第四象限内，越小图象越靠高，越靠近y轴 象的影响 aa(6)反函数的概念 CCyfx,()yfx,()xy,()设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子(如果对于在中Axyxy,()xy,()，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函的任何一个值，通过式子Axxy,1,1xy,()yfx,()数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成( xfy,()y
7、fx,()(7)反函数的求法 ,1yfx,()?确定反函数的定义域，即原函数的值域;?从原函数式中反解出; xfy,(),1,1?将改写成，并注明反函数的定义域( xfy,()yfx,()(8)反函数的性质 ,1yfx,()?原函数与反函数的图象关于直线对称( yx,yfx,(),1yfx,()?函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域( yfx,(),1Pab(,)yfx,()?若在原函数的图象上，则在反函数的图象上( Pba(,)yfx,()yfx,()?一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数( 3 2.3幂函数 (1)幂函数的定义 , 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数
8、( ,xyx,(2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ?图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象(幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称);是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限( y(0,)，,?过定点:所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点( (1,1),0,00,)，,(0,)，,?单调性:如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数(如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴( xyqqZ,?奇偶性:当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数(当(其中互质，
9、和)，,pq,ppqqppyx,yx,若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，pqpqpqqpyx,则是非奇非偶函数( ,101,xx,1?图象特征:幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象yx,yxx,，,(0,),1x,101,x在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方( yx,yx,yx,4 补充知识二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 22?一般式:?顶点式: fxaxbxca()(0),，,fxaxhka()()(0),，,?两根式: fxaxxxxa()()()(0),12(2)求二次函数解析式的方法 ?已知三个点
10、坐标时，宜用一般式( ?已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式( ?若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便( xfx()(3)二次函数图象的性质 2bacb4,b2?二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是 (,),fxaxbxca()(0),，,x,24aa2abbba,0?当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x,时，(,),，,2a2a2a24acb,bba,0;当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当fx(),(,),，,min4a2a2a2b4acb,x,时，( fx(),max4a2a22,bac
11、40?二次函数当时，图象与轴有两个交点xfxaxbxca()(0),，,( MxMxMMxx(,0),(,0),|,11221212|a2(4)一元二次方程根的分布 axbxca，,0(0)一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布( 22 设一元二次方程的两实根为，且(令，从以下四个方xx,xx,axbxca，,0(0)fxaxbxc(),，1212bx,面来分析此类问题:?开口方向: ?对称轴位置:
12、?判别式:, ?端点函数值符号( a2a?k,x?x ,125 yybx,a,0f(k),02a,OOkxxxxk2112xx,bf(k),0a,0x,2a ?x?x,k ,12yybf(k),0x,a,02a,OOkx2xxxk211xx,a,0bf(k),0x,2a ?x,k,x af(k),0 ,12yya,0f(k),0,OkOxxxx211k2xx,f(k),0a,0?k,x?x,k ,1122ya,0byx,2a()0fk,1fk,()02,kxk1x221OOxx2kk112xx,fk,()01bf(k),02x,a,02a ?有且仅有一个根x(或x)满足k,x(或x),k f(
13、k)f(k)0，并同时考虑f(k)=0或f(k)=0这两,1211221212种情况是否也符合 6 yya,0()0f(k),0fk,11,kxk212OOxxx12kk211xx,fk,()02a,0fk,()02?k,x,k?p,x,p ,112122此结论可直接由?推出( 2(5)二次函数在闭区间上的最值 fxaxbxca()(0),，,pq1 设在区间上的最大值为，最小值为，令( Mmfx(),pqxpq,，()02a,0(?)当时(开口向上) bbbbmfp,()mfq,()?若，则 ?若pq,，则 ?若,q，则 ,pmf,()2a2a2a2ab y , a 0 , , x y y
14、b b , , a 0 a 0 2a , , , , x x 2a 2a ffff (q) (p) (p) p (q) q q O x q p p O O x x f bbbff(),f(),(p) f(), 2a2a2a(q) bbMfq,()Mfp,(),x,x?若，则 ?，则 002a2ay b y b , a 0 , a 0 , , x , , x 2a 2a f f(p) q x (q) xp 00 p q O x O x fbff(),b 2a(p) f(),(q) 2a a,0(?)当时(开口向下) bbbbMfp,()Mfq,()pq,q?若，则 ?若，则 ?若，则 ,pMf,()2a2a2a2ay , ba 0 y y , , bba 0 a 0 f(),ff(),f(), 2a2a2a(q) f fp (p) (p) q q q O x p p O O x x fffb b b , , x , , , , x x (p) (q) (q) 2a 2a 2a 7 bbmfq,()mfp,()?若,x，则 ?,x，则( 002a2ay y , ba 0 , ba 0 f(),f(),f2a 2af(q) (p) xq p 0x 0 p O q x O x ffb b , , x , , (q) x 2a (p) 2a 8