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1、高一数学必修1第一章知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性, (2) 元素的互异性, (3) 元素的无序性, 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:a,b,c R| x-32)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。x2 ,x| x-32
2、 3)语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4)Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例:x|x2=-5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系:A=B (55,且55,则5=5) 实例:设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” A?即:任何一个集合是它本身的子集。A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B
3、A)B,且A?真子集:如果A C?C ,那么A?B, B?如果A B?如果A A 那么A=B?同时B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作A交B?),即A B=x|x A,且x B. 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作: A B(读作A并B?),即A B =x|x A,或x B). 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属
4、于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集) 记作,即 CSA= 韦 恩 图 示 性 质A A=A A = A B= B A A B A A B B A A=A A =A A B= B A A B A A B B (CuA) (CuB) = Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(A B) A (CuA)=U A (CuA)= . 例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是() A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D 倒数等于它自身的实数 2.集合a,b,c 的真子集共有个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0,则M与N的关系是 . 4.设
5、集合A= ,B= ,若A B,则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人, 两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC,AC=,求m的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A
6、到集合B的一个函数.记作:y=f(x),xA.其中, x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的
7、定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); 定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域: 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、描点法: B、图象变换法 常
8、用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f:AB 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果y=f(u)(uM),u=g(
9、x)(xA),则y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y
10、=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x1,x2D,且x1x2; 2 作差f(x1)-f(x2); 3 变形(通常是因式分解和配方); 4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不
11、能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2确定f(-x)与f(x)的关系; 3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,则f(x
12、)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. (2)由f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性
13、的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: 2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为,则函数的定义域是 4.函数,若,则= 6.已知函数,求函数,的解析式 7.已知函数满足,则= 。 8.设是R上的奇函数,且当时, ,则当时= 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: (2) 10.判断函数的单调性并证明你的结论. 11.设函数判断它的奇偶性并且求证: