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1、高一数学竞赛试卷(必修1)高一数学竞赛(必修1) 试 题 命题人:黄泽军 审题人:廖光华 命题时间:2013-11-16 时量:120分钟 满分:150分 考生注意: 请把试题答案及解题过程写到答卷相应的题号上。 一、选择题(请把唯一正确的选项填到答卷对应的选择题答题卡内，5分12=60分) ，n1AxxBx,|,|,，,ZZ1(设集合,nxnn，则下列图形能表示A与B关系22的是( ) B BAABAAB A( B( C( D( 2(集合，给出下列四个图形，其中能表示以M为定Mxx,22Nyy,02,义域，N为值域的函数关系的是( ) y y y y 2 2 2 2 -2 0 -2 0 2
2、-2 0 2 -2 0 2 x x x x A. B. C . D. 3(某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( ) d d d d t t t t O O O O A. B. C. D. fabfafb()()(),，fx()fp(2),fq(3),f(12)4(已知函数满足，且，那么等于( ) 22pq，pq，2A( B( C( D( pq，pq，高一数学竞赛: 第 1 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 2m5(如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()与时
3、间(月) tx2 的关系:，有以下叙述: y,ay/m8 ? 这个指数函数的底数是2; 230m ? 第5个月时，浮萍的面积就会超过; 224m12m ? 浮萍从蔓延到需要经过1(5个月; ? 浮萍每个月增加的面积都相等( 4 其中正确的是( ) A( ? B( ? 2 C( ? D( ? 1 t/月 0 1 2 3 1,26(已知，那么等于( ) loglog(logx),0x4321111( B( C( D( A3222333,x7(当时，在同一坐标系中，函数与的图象是( ) 01,ay,ay,logxay y y y 1 1 1 x 1 x x x o o 1 o 1 1 1 o 8A
4、B C D 1n,8(如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象(已知分别取，四个值，与,2y,xn62cccc曲线、相应的依次为( ) n123411112,2,2,2,A( B( c222241c21111,2,2,2,2C( D( 2222c3c4 2 fxxx()ln26,，,9(函数的零点一定位于区间( ) A( (1，2) B( (2，3) C( (3，4) D( (4，5) -5510xx3，3x,8,010(设，用二分法求方程在(1，2)内近似解的过f(x),3，3x,8x,fff(1)0,(1.5)0,(1.25)0,程中，计算得到 则方程的根落在区间( ) -2A(1，1(25)
5、 B(1(25，1(5) C(1(5，2) D(不能确定 高一数学竞赛: 第 2 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) Fxfx()(1)3,，fx()Fx()11(已知是R上的增函数，令，则是R上的( ) A(增函数 B(减函数 C(先减后增 D(先增后减 12(向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是( ) 二、填空题(请把正确的答案填到答卷对应的填空题题号横线上，5分4=20分) ，lglg(3)1xx，,13(方程的解x= ( 33,x,(,1)xx22，,14(已知f(x)= ，ff(0)= _
6、_( ,33x,，,(1,)xx，,11,122xx，xx，15(已知=3，则= _ _( 16(函数的最小值是 ( yxx,，,21三(解答题(请把解题步骤写到答卷对应的题号上，本大题共5小题，共70分) 17(本小题满分14分) 2 已知集合A=a，a+b，a+2b，B=a，ax，ax，若A=B，求实数x的值( 18(本小题满分14分) 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件(现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大,并求出最大利润( 高一数学竞赛:
7、 第 3 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 19(本小题满分14分) 2已知 fxmxmxm()2(1)421,，,(1)为何值时，函数的图象与轴有两个零点; mx(2)如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数的取值范围( m20(本小题满分14分) fmnfmfn()()()1，,，,fx()已知函数的定义域为R，对任意实数、均有，且 mn11x,fx()0,f()2,，又当时，有( 221f(),fx()(1)求的值; (2)求证:是单调递增函数( 221(本小题满分14分) 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又
8、迈出了具有历史意义的一步(已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和(在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为:(当燃料重量为吨(e为自ykmxmk,，,，,ln()ln(2)4ln2(0)其中(1)em,然对数的底数，e,2.72)时，该火箭的最大速度为4(km/s)( ykms(/)yfx,()(1)求火箭的最大速度与燃料重量x吨之间的函数关系式; (2)已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道, 高一数学竞赛: 第 4 页 共 12 页 (1-4页为试题
9、;5-8页为答卷;9-12页为答案) 2009年麻阳一中高一数学竞赛(必修1) 答 卷 题号 一 二 17 18 19 20 21 总分 得分 一(选择题答题卡(每小题5分，共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二(填空题(每小题5分，共20分) 13( 14( 15( 16( 三(解答题(本大题共5小题，共70分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(14分) 班次 姓名 考号 高一数学竞赛: 第 5 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 18(14分) 19(14分) 高一数学竞赛: 第 6 页 共 12
10、页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 20(14分) 高一数学竞赛: 第 7 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 21(14分) 高一数学竞赛: 第 8 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 2009年麻阳一中高一数学竞赛(必修1) 答 案 一、选择题(请把唯一正确的选项填到答卷对应的选择题答题卡内，5分12=60分) ，n1AxxBx,|,|,，,ZZ1(设集合，则下列图形能表示A与B关系,nxnn22的是( )A B BAABAAB A( B( C( D( 2(集合，给出下列四个图形，其中能表示以M为
11、定Mxx,22Nyy,02,义域，N为值域的函数关系的是( ) B y y y y 2 2 2 2 -2 0 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 x x x x A. B. C . D. 3(某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )C d d d d t t t t O O O O A. B. C. D. fabfafb()()(),，fx()fp(2),fq(3),f(12)4(已知函数满足，且，那么等于( )B 22pq，pq，2A( B( C( D( pq，pq，2m5(如图所示的是
12、某池塘中的浮萍蔓延的面积()与时间 2 y/mx(月)的关系:，有以下叙述: ty,a8 ? 这个指数函数的底数是2; 230m ? 第5个月时，浮萍的面积就会超过; 224m12m ? 浮萍从蔓延到需要经过1(5个月; 4 ? 浮萍每个月增加的面积都相等( D 其中正确的是( )2 A( ? B( ? 1 C( ? D( ? t/月 0 1 2 3 高一数学竞赛: 第 9 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 1,26(已知，那么等于( ) C loglog(logx),0x4321111A( B( C( D( 3222333,x7(当时，在同一坐标系中，函
13、数与的图象是( ) C 01,ay,logxy,aay y y y 1 1 1 x 1 x x x o o 1 o 1 1 1 o 8 A B C D 1n,8(如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象(已知分别取，四个值，与,2y,xn62cccc曲线、相应的依次为( ) A n12341111A( B( 2,2, 2,2,c222241c21111,2,2,C( D( ,2,2 2222c3c4 2 fxxx()ln26,，,9(函数的零点一定位于区间( ) B A( (1，2) B( (2，3) C( (3，4) D( (4，5) -5510xx3，3x,8,010(设，用二分法求方程在(1
14、，2)内近似解的过f(x),3，3x,8x,fff(1)0,(1.5)0,(1.25)0,程中，计算得到 则方程的根落在区间( ) B -2A(1，1(25) B(1(25，1(5) C(1(5，2) D(不能确定 Fxfx()(1)3,，fx()Fx()11(已知是R上的增函数，令，则是R上的( ) B A(增函数 B(减函数 C(先减后增 D(先增后减 12(向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是( ) B 高一数学竞赛: 第 10 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 二、填空题(请把正确的答案填到
15、答卷对应的填空题题号横线上，5分4=20分) ，lglg(3)1xx，,13(方程的解x= (x=2 33,x,(,1)5xx，22,14(已知f(x)= ，ff(0)= _ _( ,332x,，,(1,)xx，,11,122xx，xx，15(已知=3，则= _ _(7 16(函数的最小值是 (2 yxx,，,21三(解答题(请把解题步骤写到答卷对应的题号上，本大题共5小题，共70分) 17(本小题满分14分) 2 已知集合A=a，a+b，a+2b，B=a，ax，ax，若A=B，求实数x的值( abax，,22解:若a+ax-2ax=0， 所以a(x-1)=0，即a=0或x=1( ,2abax
16、，,2,当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去; 当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去( 2,abax，,2若2ax-ax-a=0( ,abax，,2,12x,因为a?0，所以2x-x-1=0， 即(x-1)(2x+1)=0( 又x?1，所以只有( 21x,经检验，此时A=B成立(综上所述( 218(本小题满分14分) 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件(现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大,并求出最大利润( (10)x,10(10) x,
17、解:设他将售出价定为x元，则提高了元，减少了件，所赚得的利润为yxx,(8)10010(10) ( 22y,360即( 当x,14时，( yxxx,，,，10280160010(14)360max所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大，最大利润为360元( 19(本小题满分14分) 2已知 fxmxmxm()2(1)421,，,(1)为何值时，函数的图象与轴有两个零点; mx(2)如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数的取值范围( m2(1)0m，,解:(1)，解得m,1且m,1( 2,(4)42(1)(21)0mmm,，,高一数学竞赛: 第 11 页 共 12 页 (1-4
18、页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案) 12(1)0m，,2(1)0m，,(2)或(解得( ,1m,fm(0)210,fm(0)210,220(本小题满分14分) fmnfmfn()()()1，,，,fx()已知函数的定义域为R，对任意实数、均有，且 mn11x,fx()0,f()2,，又当时，有( 221f(),fx()(1)求的值; (2)求证:是单调递增函数( 2fff(0)(0)(0)1,，,f(0)1,解:(1)令，则，? ( mn,0111111又， ffff()()()()1,，,，,22222211ff(0)2()1,，,ff()(0)10,?，( 22111xx,xx,
19、0x,f(0)0,(2)设，则，xx,(又时有， 1221212221? fxx()0,( 212fxfx()(),fxxxfxfxxfxfx()()()()1(),，,，,fxx()1,又 21211121112111fxfx()(),fx()，? ，?在上为增函数( ,，,fxxffxx()()1()0R2121212221(本小题满分14分) 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步(已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和(在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为:(当
20、燃料重量为吨(e为自ykmxmk,，,，,ln()ln(2)4ln2(0)其中(1)em,然对数的底数，e,2.72)时，该火箭的最大速度为4(km/s)( ykms(/)yfx,()(1)求火箭的最大速度与燃料重量x吨之间的函数关系式; (2)已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道, 解:(1)依题意把代入函数关系式，解ykmxm,，,，ln()ln(2)4ln2xemy,(1),4得k,8( mx，8y,ln().所以所求的函数关系式为 整理得 ymxm,，,，8ln()ln(2)4ln2,mmxy,544,8(2)设应装载x吨燃料方能满足题意，此时， mx，5448yx,ln(),ln1,344().得解得吨代入函数关系式 mx544,所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道( 高一数学竞赛: 第 12 页 共 12 页 (1-4页为试题;5-8页为答卷;9-12页为答案)