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1、2011高一数学试题13函数的单调性和奇偶性经典例题透析世纪金榜 圆您梦想 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1(证明函数上的单调性. 证明:在(0，+?)上任取x、x(x?x)， 令?x=x-x0 121221则?x0，x0，? 12?上式0，?y=f(x)-f(x)0 21?上递减. 总结升华: 1证明函数单调性要求使用定义; 2如何比较两个量的大小,(作差) 3如何判断一个式子的符号,(对差适当变形) 举一反三: 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨:本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明:设x，x是区间上的任意实数，且xx，则 12
2、12?0xx?1 ?x-x0，0xx1 121212?0xx0 12?xf(x) 1212上是减函数. 总结升华:可以用同样的方法证明此函数在上是增函数;在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间; 2 (1)y=x-3|x|+2; (2) 解:(1)由图象对称性，画出草图 ?f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ?图象为 ?f(x)在上递增. 举一反三: 适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司 世纪金榜 圆您梦想 【变式1】求下列函数的单调区间: (1)y=|x+1|
3、; (2) (3). 解:(1)画出函数图象， ?函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+?); (2)定义域为， 其中u=2x-1为增函数， 在(-?，0)与(0，+?)为减函数，则上为减函数; (3)定义域为(-?，0)?(0，+?)，单调增区间为:(-?，0)，单调减区间为(0，+?). 总结升华: 1数形结合利用图象判断函数单调区间; 2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. 3复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注:内外层函数同向变化?复合函数为增函数;内外层函数反向变化?复合函数为减函数. 类型三、单调
4、性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 2 3. 已知函数f(x)在(0，+?)上是减函数，比较f(a-a+1)与的大小. 解: 又f(x)在(0，+?)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域: (1); 1)x?5，10; 2)x?(-3，-2)?(-2，1); 2 (2)y=x-2x+3; 1)x?-1，1; 2)x?-2，2. 思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合. 适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司 世纪金榜 圆您梦想 解:(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在5，10上单增，; 2); (2)画出草图
5、1)y?f(1)，f(-1)即2，6; 2). 举一反三: 【变式1】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间; (2)当x?1，3时，求函数f(x)的值域. 思路点拨:这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司 世纪金榜 圆您梦想 相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域. 解:(1) 上单调递增，在上单调递增; (2)故函数f(x)在1，3上单调递增 ?x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值 ?x?1，3时f(x)的值域为. 2 5. 已知二次函数f(x)=x
6、-(a-1)x+5在区间上是增函数，求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)的取值范围. 解:(1)?对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需; 2 (2)?f(2)=2-2(a-1)+5=-2a+11又?a?2，?-2a?-4 ?f(2)=-2a+11?-4+11=7 . 举一反三: 【变式1】(2011 北京理13)已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_. 解:单调递减且值域(0,1，单调递增且值域为， 适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司 世纪金榜 圆您梦想 由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1). 类型
7、四、判断函数的奇偶性 6. 判断下列函数的奇偶性: (1) (2) 2 (3)f(x)=x-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5) (6) (7) 思路点拨:根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解:(1)?f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数; (2)?x-1?0，?f(x)定义域不关于原点对称，?f(x)为非奇非偶函数; 22 (3)对任意x?R，都有-x?R，且f(-x)=x-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x-4|x|+3为偶函数 ; (4)?x?R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，?f(x)为
8、奇函数; (5) ，?f(x)为奇函数; (6)?x?R，f(x)=-x|x|+x ?f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，?f(x)为奇函数; (7)，?f(x)为奇函数. 举一反三: 【变式1】判断下列函数的奇偶性: 2 (1); (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)=x+x+1; (4). 适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司 世纪金榜 圆您梦想 思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断. 解:(1); (2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ?f(x)为奇函数; 22
9、(3)f(-x)=(-x)+(-x)+1=x-x+1 ?f(-x)?-f(x)且f(-x)?f(x) ?f(x)为非奇非偶函数; 222 (4)任取x0则-x0，?f(-x)=(-x)+2(-x)-1=x-2x-1=-(-x+2x+1)=-f(x) 222 任取x0 f(-x)=-(-x)+2(-x)+1=-x-2x+1=-(x+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ?x?R时，f(-x)=-f(x) ?f(x)为奇函数. 举一反三: 【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证:f(x)+g(x)为奇函数，f(x)?g(x)为偶函数. 证明:设F(x)=f
10、(x)+g(x)，G(x)=f(x)?g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) G(-x)=f(-x)?g(-x)=-f(x)?-g(x)=f(x)?g(x)=G(x) ?f(x)+g(x)为奇函数，f(x)?g(x)为偶函数. 类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 53 7(已知f(x)=x+ax-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 53 解:法一:?f(-2)=(-2)+(-2)a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 53 ?8a-2b=-50 ?f(2)=2+2a-2b
11、-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ?g(-2)=-g(2) ?f(-2)+8=-f(2)-8 ?f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 举一反三: 【变式1】(2011 湖南文12)已知为奇函数，则为: ( 解:，又为奇函数，所以( 2 8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，-y=(-x)-(-x) 2 即y=-x-x又f(0)=0，如图 适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司 世纪金榜 圆您梦想 9(设定义在-3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a-1)f(a)时，求a
12、的取值范围. 解:?f(a-1)f(a) ?f(|a-1|)b0，给出下列不等式，其中成立的是_. ?f(b)-f(-a)g(a)-g(-b); ?f(b)-f(-a)g(b)-g(-a); ?f(a)-f(-b)g(b)-g(-a). 答案:?. 11. 求下列函数的值域: (1) (2) (3) 思路点拨:(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域;(2)由单调性求值域，此题也可换元解决;(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围. 解:(1); (2)经观察知，; (3)令. 适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司
13、世纪金榜 圆您梦想 22 12. 已知函数f(x)=x-2ax+a-1. (1)若函数f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围; (2)当x?-1，1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 2 解:(1)?f(x)=(x-a)-1 ?a?0或a?2 2 (2)1?当a1时，如图3，g(a)=f(1)=a-2a ，如图 适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司 世纪金榜 圆您梦想 13. 已知函数f(x)在定义域(0，+?)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式:f(x)+f(x
14、-2)?3. 解:令x=2，y=2，?f(22)=f(2)+f(2)=2 ?f(4)=2 再令x=4，y=2，?f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 ?f(8)=3 ?f(x)+f(x-2)?3可转化为:fx(x-2)?f(8) . 14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明:任取0xx， 12?0xx，?x-x0 121212(1)当时 0x?x1，?x?x-10即f(x)f(x) 1212上是减函数. (2)当x，x?(1，+?)时， 12上是增函数. 难点:x?x-1的符号的确定，如何分段. 122 15. 设a为实数，函数f(x)=x+|x-a|+1，x?R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 2 解:当a=0时，f(x)=x+|x|+1，此时函数为偶函数; 2 当a?0时，f(x)=x+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1)当x?a时， 适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司 世纪金榜 圆您梦想 1 且2上单调递增， 2 上的最小值为f(a)=a+1. (2)当xa时， 上单调递减， 12 上的最小值为f(a)=a+1 2上的最小值为 综上: .适用于新课程各种版本教材的教学 山东世纪金榜书业有限公司