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1、高三数学圆锥曲线高考题精选-文档高三数学圆锥曲线高考题精选一、选择题: 223x,y,31、(1995)双曲线的渐近线方程是 13y,3xy,3x(A) (B) (C) (D)y,xy,x33x,3，3cos,2、(1996)椭圆的两个焦点坐标是 ,y,1，5sin,.,(A)(-3，5)，(-3，-3) (B)(3，3)，(3，-5) (C)(1，1)，(-7，1) (D)(7，-1)，(-1，-1) 22xybl3、(1996)设双曲线的半焦距为c，直线过(，0)，(0，),1(0,a,b)a22ab3l两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 c42332(A)2 (B) (C)
2、 (D) 31x,44、(1996文)中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是2 2222xyxy(A) (B) ，,1，,1433422xy22(C) (D) ，y,1x，,1442225x,150x，9y，18y，9,05、(1996文)椭圆的两个焦点坐标是(A)(-3，5)，(-3，-5) (B)(3，3)，(3，-5) (C)(1，1)，(-7，1) (D)(7，-1)，(-1，-1) 1,x,1,(t是参数,t,0)6、(1997)曲线的参数方程是，它的普通方程是,t2,y,1,t.,x(x,2)2(x,1)(y,1),1y,(A) (B) 2(1,x)x1(C) (D) y,，
3、1y,1221,x(1,x)22(x,3)(y,2)x，y,07、(1997)椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程，,194是 2222(x，2)(y，3)(x,2)(y,3)(A) (B) ，,1，,149942222(x，2)(y，3)(x,2)(y,3)(C) (D) ，,1，,19449,4sin,8、(1998)曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为 2222x，(y，2),4x，(y,2),4(A) (B) 2222(x,2)，y,4(x，2)，y,4(C) (D) 22xy)椭圆的焦点为F和F，点P在椭圆上。如果线段PF的中点在y轴9、(1998，,1121123上，那么|PF|是
4、|PF|的 12(A)7倍 (B)5倍 (C)4倍 (D)3倍 ,9、(1999)在极坐标系中，曲线关于 ,4sin(,)3,5,(A)直线轴对称 (B)直线轴对称 36,(C)点中心对称 (D)极点中心对称 (2,)35510、(1999)已知两点M(1，)、N(-4，-)，给出下列曲线方程:44 22xx22224x，2y,1,0x，y,3? ? ? ? ，y,1,y,122在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 (A)? (B)? (C)? (D)? 11、(2000)以极坐标中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是 , (A),2cos, (B),2sin, ,44
5、,，,2cos,1,2sin,1 (C) (D) 2212、(2000)过原点的直线与圆x+y+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 33y,3xy,3x (A) (B) (C) (D) y,xy,x33213、(2000)过抛物线y=ax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长11，分别是p、q，则等于 pq14 (A)2a (B) (C)4a (D) 2aa2ly,a(x，1)(a,0)l14、(1995)直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，若被抛物线截得的线段长为4，则_4_ a,222x，y,6x,7,0y,2px(p,0)15、(1996理)
6、已知圆与抛物线的准线相切。则p=_ 2_2y,2px(p,0)16、(1996文)已知点(-2，3)与抛物线的焦点的距离是5，则p=_4_22,17、(1997)已知直线的极坐标方程为sin(，),，则极点到该直线的距离是,4222x,y,2y,4x18、(1997文)已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_(4，2) 22xyl19、(1999)设椭圆的右焦点为F，右准线为。若过F且垂直于，,1(a,b,0)11122ab1lx轴的弦长等于点F到的距离，则椭圆的离心率是 11222xy20、(2000) 椭圆的焦点为F、F，点P为其上的动点。当?FPF为钝角时，,11212
7、9433,x,点P横坐标的取值范围是。 55三、解答题: 22xyxyl21、(1995理)已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆，,1l:，,124161282l于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解法一:由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为 (x,y),(x,y),(x,y), PPRRy 其中x,y不同时为零.当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O， Q，R共线，得方程组 l 222,48x,2xyRRx,(1) P ，,1,R,22,2x，3y2416 解得,2yy48yR2,.y,.(
8、2) Q R R22,xx,2x，3yR, ,x O l由于点P在直线上及点O，Q，P共线，解方程组24xxy,PPx,(3)，,1,P,2x，3y128解得 ,yy24yP,.y,.(4)P,xx,2x，3yP,当点P在y轴上时，经检验(1)(4)式也成立 2由题设|OQ|?|OP|=|OR|，得 2222222x，y,x，y,(x，y) PPRR将(1)(4)式代入上式，化简整理得 22222x，yx，y24()48() ,222x，yx，y(23)232x，3y,0因x与x同号或y与y同号，以及(3)，(4)知， PP故点Q的轨迹方程为 22(x,1)(y,1)，,1,(其中x,y不同时
9、为零).55231510所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的23椭圆，去掉坐标原点。 解法二:由题设点Q不在原点.又设P，R，Q的坐标分别为 (x,y),(x,y),(x,y),其中x,y不同时为零. PPRR设OP与x轴正方向的夹角为，则有 ,x,|OP|cos,y,|OP|sin,PPx,|OR|cos,y,|OR|sin, RRx,|OQ|cos,y,|OQ|sin,|OP|OP,22x,x,(1),(3)xxPR,|OQ|OQ2由上式及题设|OQ|?|OP|=|OR|，得,|OP|OP22,y,y;(2),;.(4)yyPR,|OQ|OQ,xy,PP
10、，,1,(5),128l由点P在直线上，点R在椭圆上，得方程组 ,22xyRR,，,1.(6),2416,将(1)，(2)，(3)，(4)代入(5)，(6)， 整理得点Q的轨迹方程为. 解法三:投影法 设P，R，Q的坐标分别为(x,y),(x,y),(x,y),其中x,y不同时为零.PPRR22,x,x,x由题设|OQ|?|OP|=|OR| PRy,kx设OP的方程为 y,kx,242PP ,x,Px，y,，k2324.23,PPy,kx,482RR ,x,.,22R2x，y,2348.，k23,RR4，6k,x,22x,x,x,这就是Q点的参数方程，消去参数k得？,PRk2，3,ykx,.,
11、22(x,1)(y,1) ，,1,(其中x,y不同时为零).5523当P在y轴上时，k不存在，此时Q(0，2)满足方程， 1510故Q点轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，23去掉坐标原点。 22xyl:x,12.l22、(1995文)已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点，,124162lR，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解:由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为l y (12,y),(x,y),(x,y), PRRP 由题设知x,0,x0. R，Q，R共线，得方程
12、组由点R在椭圆上及点OR 222,48x,2xyRRx,(1) Q ，,1,R,22,2x，3y2416 解得,2yy48yR2,.y,.(2) O x R22,xx,2x，3yR, ,yy12yP由点O，Q，P共线，得即: y,.(3),Px12x22222222x，y,12，y,(x，y)由题设|OQ|?|OP|=|OR|，得PRR将(1)、(2)(3)式代入上式，整理得点Q的轨迹方程. l,ll,l,2,023、(1996)已知是过点P()的两条互相垂直的直线，且与双曲线121222y,x,1各有两交点，分别为A、B和A、B。 1122l(?)求的斜率k的取值范围; 11l,l5(?)若
13、|AB|=|AB|，求的方程。 112212l,ll,2,0解:(?)依题意，的斜率都存在。因为过点P()且与双曲线有两个交点，121故方程组 ,(，2)(,0),ykxk11 (1) ,22,1yx,有两个不同的解。在方程组(1)中消去y，整理得 2222(k,1)x，22kx，2k,1,0 (2) 1112lk,1,0若，则方程组(1)只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。112|k|,1k,1,0故，即。方程(2)的判别式为 1122222,(22k),4(k,1)(2k,1),4(3k,1). 11111ll,2,0设的斜率为k因为过点P()且与双曲线有两个交点，故方程组2,
14、22,(，2)(,0),ykxk22 (3) ,22,1yx,有两个不同的解。在方程组(3)中消去y，整理得 2222(k,1)x，22kx，2k,1,0 (4) 22222k,1,0,4(3k,1).同理有， 222l,lk,k,1.又因为，所以有 1212l,l于是，与双曲线各有两个交点，等价于 122,3k,1,0,1,233k,1,0,|k|,3,21解得,3k,k,1,12,|k|,1. ,1,|k|,1.,133？k,(,3,1),(,1,),(,1),(1,3)133(?)设A(x,y)B(x,y).由方程(2)知 11112222,kk,222111x，x,xx,121222k
15、,k,1111 22，kk,4(1)(31)2222211？AB,x,x，y,y,，kx,x,|()()(1)()(5)11121211222k,(1)12同理，由方程(4)可求得|AB|，整理得 2222，k,k4(1)(3)211 AB,|(6)2222k,(1)1225由|AB|=|AB|，得|AB|=5|AB|. 11221122将(5)、(6)代入上式得 2222，kk,，k,k4(1)(31)4(1)(3)1111 ,，5.2222k,k,(1)(1)11k,2解得 1k,2l:y,2(x，2),取时， 112 l:y,(x，2);22k,2l:y,2(x，2),取时， 112 l
16、:y,(x，2).22l,ll,l,2,024、(1996文)已知是过点P()的两条互相垂直的直线，且与双曲线121222y,x,1各有两交点，分别为A、B和A、B。 1122l(?)求的斜率k的取值范围; 11(?)若A恰是双曲线的一个顶点，求|AB|的值。 122l,ll,2,0解:(?)依题意，的斜率都存在。因为过点P()且与双曲线有两个交点，121故方程组 ,(，2)(,0),ykxk11 (1) ,22,1yx,有两个不同的解。在方程组(1)中消去y，整理得 2222(k,1)x，22kx，2k,1,0 (2) 1112lk,1,0若，则方程组(1)只有一个解，即与双曲线只有一个交点
17、，与题设矛盾。112|k|,1k,1,0故，即。方程(2)的判别式为 1122222,(22k),4(k,1)(2k,1),4(3k,1). 11111ll,2,0设的斜率为k因为过点P()且与双曲线有两个交点，故方程组2,22,(，2)(,0),ykxk22 (3) ,22,1yx,有两个不同的解。在方程组(3)中消去y，整理得 2222(k,1)x，22kx，2k,1,0 (4) 22222k,1,0,4(3k,1).同理有， 222l,lk,k,1.又因为，所以有 1212l,l于是，与双曲线各有两个交点，等价于 122,3k,1,0,1,233k,1,0,|k|,3,21解得,3k,k
18、,1,12,|k|,1. ,1,|k|,1.,133？k,(,3,1),(,1,),(,1),(1,3)13322y,x,1的顶点为(0，1)、(0，-1)。 (?)双曲线21k(0，2),1,取A(0，1)时，有解得:从而，k,k,211212k12k,2x，42x，3,0.将代入方程(4)得: (5) 2l记与双曲线的两交点为A(x,y)B(x,y).则 211222222222？|AB|,(x,x)，(y,y),3(x,x),3(x,x),4xx 221212121212x，x,42,xx,3,由(5)知 121222？|AB|,3(,42),4，3,60,222同理，由方程(4)可求得
19、|AB|，整理得22即|AB|,215.2222y,x,1|AB|,215当取A(0，-1)时，由双曲线关于x轴的对称性，知122l|AB|,215所以过双曲线的一个顶点时，。 122llN,l.ll25、(1998)如图，直线和相交于点M，?，点以A，B为端点的曲线段C22111l17上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若?AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且2|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。 l解:如图建立坐标系，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴， y 1 l点O为坐标原点。依题意知:曲线段C是以点N为焦点，以为 2B 准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C
20、的端点。 设曲线段C的方程为 2 A y,2px(p,0),(x,x,x,y,0), AB x,x其中分别为A，B的横坐标， ABl M O N x 1pp p,|MN|.所以M(,0),N(,0)22l 2|AM|,17,|AN|,3由得 p2(x，)，2px,17,(1)AA2 p2(x,)，2px,9.(2)AA2,4,2,pp,4p,0由(1)，(2)两式联立解得再将其代入(1)式并由解得x,.或,A,1;,2.xxpAA,2,p,p因为?AMN为锐角三角形，所以故舍去 ,x,Ax,2.2A,？p,4,x,1. Ap由点B在曲线段C上，得 x,|BN|,4.B22y,8x(1,x,4,
21、y,0).综上得曲线段C的方程为 a,a,0l:x,1.l26、(1999)如图，给出定点A(0)()和直线B是直线上的动点，?。求点C的轨迹方程，并讨论 BOA的角平分线交AB于点C方程表示的曲线类型与值的关系。 al y (b,R)b解:依题意，记B(-1，)， y,0和y,bx则直线OA和OB的方程分别为 B C A x 0,x,a设点C(x,y)则有， 由OC平分?BOA，知点C到OA、OB距离相等。根O y，bx|据点到直线所距离公式得 ?y,|. 2，b1b依题设，点C在直线AB上，故有 y,(x,a).b，1(1，a)yx,a,0由得 ? b,.x,a将?式代入?式得 22，ay
22、，axy(1)(1)22 y，,y,1,2x,ax,a()222y(1,a)x,2ax，(1，a)y,0,整理得 22y,0(1,a)x,2ax，(1，a)y,0(0,x,a);若，则 y,0b,0若，则，?BOA=，点C的坐标为(0，0)满足上式 ,22(1,a)x,2ax，(1，a)y,0(0,x,a)综上得点C的轨迹方程为:2a,1y,x(0,x,1)(i)当时，轨迹方程化为 ? 此时，方程?表示抛物线弧段; a2(x,)2y1,aa,1(ii)当时，轨迹方程化为 ?，,1(0,x,a)2aa2()21,a1,a0,a,1所以，当时，方程?表示椭圆弧段; a,1当时，方程?表示双曲线一支
23、的弧段。 27、解:如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD?y轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称。 c1, 依题意，记A(-c，0)，其中为双曲，C,h,Ex,yc,|AB|,0022,线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点坐标公式得 。 22xyc 设双曲线的方程为，则离心率。 e,122aabc 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 e,a22eh ? ,124b2222,e,2h, ? ,1,2,4，1，1b,22he 由?式得 ? ,124b23e,1, 将?式代入?式，整理得，故。 4,4,1，2,24e，22332317,e,10,由题设得， 解得 ,234342e，7,10 所以双曲线的离心率的取值范围为。