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1、高三数学文科三角函数总结及统练例题解析 人教版高三数学文科三角函数总结及统练例题解析一. 本周教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角终边相同的角的集合 S,2k,，,k,Z,2. 三角函数的定义(六种)三角函数是、三个量的比值 ryx3. 三角函数的符号口诀:一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP= sin,余弦线OM= cos,正切线AT= tan,5. 同角三角函数的关系 平方关系:商数关系: 倒数关系: tan,cot,1sin,csc,1cos,sec,1口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式口诀:奇变偶不变，符号看象限。 , ,，, ,
2、，,2k,，,2,22正弦 cos,cos,sin,sin,sin,sin,sin,余弦 cos,cos,cos,cos,cos,sin,sin,正切 tan,tan,tan,tan,tan,cot,cot,余切 cot,cot,cot,cot,cot,tan,tan,7. 两角和与差的三角函数 ,sin(，),sin,cos，cos,sin,tan，tan,tan(，),sin()sincoscossin,1,tan,tan, , ,cos()coscossinsintantan，,tan(,),1，tan,tan,cos()coscossinsin,，,用心 爱心 专心 122号编辑 1
3、8. 二倍角公式代换:令 ,sin2,2sin,cos,2222,cos2,2cos,1,1,2sin,cos,sin ,2tan,tan221,tan,1,cos2,2,sin,2降幂公式 ,1，cos2,2,cos,2,1cos1cos1,cos,，,半角公式:; sincostan,2221，cos,22,1,cossintan, 2sin,1，cos,9. 三角函数的图象和性质 y,sinxy,cosxy,tanx函数 图象 ,定义x|x,Rx,k，,k,Z且 ,R R 域 2,1,1 ,1,1 R 值域 时x,2k,，,/2时y,1 x,2k,无最大值 max最值 y,1 无最小值
4、max时，,x,2k,时x,2k,/2用心 爱心 专心 122号编辑 2 y,1y,1minmin周期性 周期为 周期为 周期为 ,2,2,奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 ,上都在2k,2k,在 2k,2k，,内在k,k，,2222,上都是增函数;在是增函数，在单调性 ,3都是增函数() k,Z上都是2k,2k,，, 2k,，,2k,，,22上都是减函数() 减函数() k,Zk,Z10. 函数的图象变换 y,Asin(,x，,)A,0,0函数的图象可以通过下列两种方式得到: y,Asin(,x，,)1横坐标缩短到原来的倍,图象左移,(1) y,sinx,y,sin(x，,),纵坐标伸长为原来
5、的A倍 y,sin(,x，,),y,Asin(,x，,),1横坐标缩短到原来的倍图象左移,(2) y,sinx,y,sin(,x),纵坐标伸长为原来的A倍 y,sin(,x，,),y,Asin(,x，,)(二)数学思想与基本解题方法 1. 式子变形原则:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 2. 诱导公式原则:奇变偶不变，符号看象限。 3. 估用公式原则:一看角度，二看名称，三看特点。 4. 角的和与差的相对性 如:, ,(,，,),角的倍角与半角的相对性 ,2,2如: ,2245. 升幂与降幂:升幂角减半，降幂角加倍。 6. 数形结合:心中有图，观图解题。 7. 等价转化的思想:将未知转化为已知，
6、将复杂转化为简单，将高级转化为低级。 8. 换元的手段:通过换元实现转化的目的。 【典型例题】 b22y,ax，bx,a，bx，,1. 如:(化成一个角的一个三角函数) sincossin(,),tan,a用心 爱心 专心 122号编辑 3 ,sin,cos,2sin(,),sin,3cos,2sin(,)yxxx;yxxx,43 ,3sin,cos,2sin(,)yxxx,6,例1 求下列函数的最大值和最小值及何时取到, 22(1) f(x),sinx，2sinx,cosx，3cosx2(2) f(x),sinx，sinx,cosx，1解: ,(1)， y,2，2y,2，2sin(2x，)x
7、,k，(k,Z),max843, y,2,2,x,k,(k,Z),min832323,，,(2)， y,，sin(2x,)x,k，(k,Z)y,max2224832,， x,k,(k,Z)y,min282.“1”的妙用凑一拆一 熟悉下列三角式子的化简 ,1，2sin,cos,sin，cos,2sin(，) ,4, 1,sin,1,2sin,cos,sin,cos,2sin(,),222224,1cos2sin1cos2cos,;，, ,22例2 化简 。 21,sin8，2，2cos8,答案: ,2sin43. 化异为同 例3 已知，求: tan,22,sin，cossin，2(1) (2)
8、22sin,cos,3cos,sin,14答案:(1)3;(2) ,2,2cos,sin,1,2例4 已知，求: tan2,22,sin,，cos,2用心 爱心 专心 122号编辑 4 答案: 3，224. 与间的相互转化 sin,cos,sin,cos,21t,2(1)若，则;= sincos,sin,，cos,t,sin,t,1sin,cos,22 ,2,t(2)若，则; sin,，cos,1，2tsin,cos,1,2tsin,cos,t12,tan，cot,(3) sin,cos,sin2,例5 化简: 。 tan，cot,88答案: 225,例6 若在第二象限，sin，cos,，求s
9、incos。 ,222223答案: ,25. 互为余角的三角函数相互转化 ,若，则; sin,cos,cos,sin,，,21,sin(，),例7 已知，则 。 ,cos(,),3461答案: 4sin40:sin50:例8 求值: 。 ,cos10:1答案: 2例9 求值: 。 sin18:sin54:,1答案: 46. 公式的变形及活用 (1)tan,tan,tan(,，,)1,tan,tan, ,(2)若 A，B,(1，tanA)(1，tanB),24用心 爱心 专心 122号编辑 5 例10 计算 。 (1，tan1:)(1，tan2:)(1，tan3:)？(1，tan45:),23答
10、案: 2例11 。 tan70:,tan10:,3tan70:tan10:,答案: 37. 角的和与差的相对性;角的倍角与半角的相对性 1例12 若，则 。 tan,tan,tan(,),23答案:7 ,例13 若，则 。 5cos(,)，7cos,0tantan,2222答案: ,6例14 在中，A为最小角，C为最大角，且，求cos(2A，C),0.8,ABCsinB,0.8的值。 cos(2B，2C)527答案: 6258. 角的范围的限定 由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。 1例15 已知，求。 sin,，cos,(0,)cos2,317答案:, 95,sin
11、，cos,sincos例16 若是第二象限角且，求的值。 ,22222,2解法一:利用公式然后限定角的范围。 (sin,cos),1,sin,22,解法二:设利用平方和求的值，然后限定角的范围。 sin,cos,tt22,解法三:利用，可回避限定角的范围。 (sin，cos)(sin,cos),cos,22223 答案: ,2用心 爱心 专心 122号编辑 6 9. 在三角形中的有关问题 A，BC,; ,A，B，C,180:A，B,180:,C222结论:; sin(A，B),sinCcos(A，B),cosCA，BCA，BCsin,cos;cos,sin 2222例17 已知A、B、C是的内
12、角且，试判断此三角形lgsinA,lgsinB,lgcosC,lg2,ABC的形状。 答案:等腰三角形，B=C 例18 在锐角三角形ABC中，求证: sinA，sinB，sinC,cosA，cosB，cosC,证明:由则0 A，B,B,A,222故 同理 sinA,cosBsinB,cosCsinC,cosA三式相加，得证。 n 10. 形如的化简 cos2,cos4,cos8,？cos2,24,coscoscos例19 求值:(1) (2) cos36:cos72:77711答案:(1) (2) ,4811. 三角函数图像和性质的应用 会求定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间(“一套”
13、);会解简单的三角不等式、三角方程、比较大小。 例20 求下列函数的定义域。 (1) y,lgsin(cosx)(2)y,2，logx，tanx 0.5答案: ,(1) (2k,2k，)(k,Z),22,(2) (0,),42例21 求下列函数的值域。 sinx(1) y,x,0,2，sinx(2)若是锐角，则y,sinx，cosx的值域。 x1答案:(1) (2) 0,(1,23用心 爱心 专心 122号编辑 7 12. 可化为形如:的形式(一个角的一个三角函数) y,Asin(,x，,)，B22例22 已知函数，求“一套”。 y,3cosx，23sinxcosx，sinx,答案:，定义域:
14、R;值域:，; y,4y,2sin(2x，)，20,4y,0T,maxmin6k,对称轴 增区间: x,，(k,Z)k,k，,36262,减区间: k，,k，(k,Z),6313. 函数的图像的变换两个题型，两种途径 y,Asin(,x，,)，B题型一:已知解析式确定其变换方法 y,Asin(,x，,)，B变换有两种途径:其一，先平移后横向伸缩;其二，先横向伸缩后平移。 注:关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系 ,题型二:由函数图像求其解析式 y,Asin(,x，,)，B,例23 已知函数，(，)在一个周期内，当时，y,Asin(,x，,)A,0,0,x,262,有最大值为2，当时，有最小
15、值为，求函数表达式，并画出函数,2yyx,3在一个周期内的简图。(用五点法列表描点) y,Asin(,x，,),答案: y,2sin(2x，)62 14. 可化为形如:，(定义域有限制的一元二次函数) y,at，bt，ct,D3y,例24 求函数的值域 (2，cosx)(5,cosx)用心 爱心 专心 122号编辑 8 11解: ,42例25 已知，若记其最大值为，求的解析式。 y,cos2x，asinxg(a)g(a)2aa2解:(sin)1，当时， g(a),ay,x,，a,2242a当时，()1 ,2,a,2ga,，4当时， g(a),aa,215. 周期函数与周期 例26 已知函数对定
16、义域中每一个都有，其中，则y,f(x)f(2x，T),f(2x)f(x)xT,0的周期 。 解:T 例27 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。 y,f(x)f(x，2),f(x)x解:4 例28 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。 y,f(x)f(x，2),f(2,x)x解:8 1f(x，3),例29 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。 y,f(x)xf(x)解:6 1,f(x)f(x，3),例30 已知奇函数对定义域中每一个都有成立 ，求其周期。 y,f(x)x1，f(x)解:6 16. 函数与方程的思想 例31 方程的解的个数 。 100sinx,x解:
17、63 用心 爱心 专心 122号编辑 9 (答题时间:60分钟) 1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到, 66 f(x),sinx，cosx222. 已知，求: tan,2sin,，2sin,cos,，3cos,13. 设，则 。 sincos,sin,，cos,44. 求的最大值和最小值。 y,sinx，cosx，sinxcosxcos40:，sin50:(1，3tan10:)5. 求值:。 sin70:1，cos40:16. 若sin，cos,;，求 ,(0,),cot,511tan(,),7. 已知、且，tan,，求的值。 ,(0,)2,278. 为何值时方程有解, acos2x，
18、cosx，a,09. 方程，有两解时求的值。 x,0,acos2x，asinx,010. 求值: (1) cos20:cos40:cos60:cos80:(2) sin18:sin54:11. 求下列函数的定义域。 y,lgsinx，tanx，3,2212. 已知函数，当时，求函数的最大值y,3cosx，23sinxcosx，sinxx,44和最小值及何时取到, 用心 爱心 专心 122号编辑 10 参考答案 3k,21. ， y,1y,1,sin2xx,(k,Z)max421k, ， y,x,，(k,Z)min424611 3. 2. ,52133324. 令， (1)y,t，,t,2,2y,y,，2t,sinx，cosxminmax244445. 6. 2,37. 提示:关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。 1tan,tan(,)，,解: tan(2,),tan(,)，,1,3,0又由得，得02 ,24223,则故2 ,2,0,49 8. a,2,89. a,(,1)1110.(1) (2) 164,211. () (2k,2k,，),(2k,，,2k,，,)k,Z23,12. 当时，;时，y,4x,y,2,3x,maxmin46用心 爱心 专心 122号编辑 11 用心 爱心 专心 122号编辑 12