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1、高中数学平面解析几何初步经典例题直线和圆的方程 一、知识导学 1(两点间的距离公式:不论A(，)，B(，)在坐标平面上什么位置，都有yyxx112222d=|AB|=(x,x)，(y,y)，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|,|或xx211212|AB|=|-|. yy212(定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(，)，B(，)，P(，)yyyxxx1122之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了.若以,xx，,12x,1，A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是.
2、当P点为AB的中点时，,yy，12,y,1，,，xx,12,x,2=1，此时中点坐标公式是. ,yy，12,y,2,(直线的倾斜角和斜率的关系 3(1)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. kk(2)斜率存在的直线，其斜率与倾斜角之间的关系是=tan. 4(确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. 名称 方程 说明 适用条件 倾斜角为90?的直线不k为直线的斜率 y,kx，b斜截式 b为直线的纵截距 能用此式 x,y) 为直线上的(倾斜角为90?的直线不00点斜式 y,y,k(x,x) 00能用此式 k已知点，为直线的斜率 x,xy,
3、y)，()是直(x,yx,y与两坐标轴平行的直线111122= 两点式 不能用此式 y,yx,x2121线上两个已知点 过(0，0)及与两坐标xya为直线的横截距 截距式 +=1 轴平行的直线不能用此b为直线的纵截距 ab式 ACC,，分别Ax，By，C,0 一般式 A、B不全为零 BAB为斜率、横截距和纵截距 k,k21kkkk5(两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且? -1时，tan=，11221，kk12当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到:“到角”公式与“夹角”公式的区别. 6(怎么判断两直线是否平行或垂直,判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜
4、率的关系来判断;若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. ll(1)斜率存在且不重合的两条直线， ，有以下结论: y,kx，by,kx，b1?2?1122ll?=，且, kk,121212ll?= -1 kk,1212ll(2)对于直线， ，当A，A，B，Ax，By，C,0Ax，By，C,01?2?121111222B都不为零时，有以下结论: 2ABC111ll?=? ,12ABC222llAABB?+ = 0 ,121212AB11ll?与相交? ,12AB22ABC111ll?与重合= ,12ABC2227(点到直线的距离公式. ll(1)已知一点P()及一条直线:，则点P
5、到直线的距离x,yAx，By，C,000|Ax，By，C|00d=; 22A，Bll(2)两平行直线:， :之间的距离Ax，By，C,0Ax，By，C,01 2 12|C,C|12d=. 22A，B(确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之8间的相互转化及相互联系 222a(1)圆的标准方程:，其中(，b)是圆心坐标，是圆的r(x,a)，(y,b),r半径; 2222(2)圆的一般方程:(,0)，圆心坐标D，E,4Fx，y，Dx，Ey，F,0224D，E,FDE为(-，-)，半径为=. r222二、疑难知识导析 1(直线与圆的位置关系的判定方法. 22(1)方法
6、一 直线:;圆:. Ax，By，C,0x，y，Dx，Ey，F,0?,0,相交,Ax，By，C,0,判别式消元,一元二次方程 ,?,0,相切222,?,b,4acxyDxEyF，,0,?,0,相离,222(2)方法二 直线:;圆:，圆心(，b)到aAx，By，C,0 (x,a)，(y,b),r直线的距离为 d,r,相离,|Aa，Bb，C|,d= ,d,r,相切,22A，B,d,r,相交,2(两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为O、O，半径分别为，|OO|为圆心距，则两圆位置关系如下: rr121212|OO|+两圆外离; ,rr1212|OO|+=两圆外切; ,rr1212O|两圆相交;
7、 |-|O+,rrrr121212| OO |=|-|两圆内切; ,rr12120| OO| -|两圆内含. ,rr1212三、经典例题导讲 ,例1,直线l经过P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程. 23xy，,1，,1错解:设直线方程为:,又过P(2,3),?,求得a=5 abab?直线方程为x+y-5=0. xyab,0，,1错因:直线方程的截距式: 的条件是:?0且b?0,本题忽略了这一情aab形. 3,03k,正解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:, 2,023?直线方程为y=x 23综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x
8、. 2,例2,已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程. 22x,(x,1)，(y,3),错解:设动点P坐标为(x,y).由已知3 22x 化简3=x-2x+1+y-6y+9 . 22 当x?0时得x-5x+y-6y+10=0 . ? 3 22当x,0时得x+ x+y-6y+10=0 . ? 错因:上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 5211322 22 (x- )+(y-3)= ? 和 (x+ )+(y-3)= - ? 2424两个平方数之和不可能为负数,故方程
9、?的情况不会出现. 521122 22 正解: 接前面的过程,?方程?化为(x- )+(y-3)= ,方程?化为(x+ )+(y-3)= - 242352122 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x- )+(y-3)= 424(x?0) 2222,例3,m是什么数时，关于x,y的方程(2m+m-1)x+(m-m+2)y+m+2=0的图象表示一个圆, 22错解:欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C?0， 222 得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m=1，m=-3， 1222 ?当m=1或m=-3时，x和y项的系数相等，这时，原方程的图象
10、表示一个圆 22错因:A=C，是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是: FA=C?0且 ,0. A22正解:欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C?0， 222-m+2，即m+2m-3=0，解得m=1，m=-3， 得2m+m-1=m1222(1) 当m=1时，方程为2x+2y=-3不合题意，舍去. 12222(2) 当m=-3时，方程为14x+14y=1,即x+y= ,原方程的图形表示圆. 14,例4,自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆22x+y-4x-4y+7,0相切，求光线L所在的直线方程. 错解:设反射光线为L
11、,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3). 设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3),k,x-(-3),，即kx-y+3k-3,0， 22已知圆方程即(x-2)+(y-2),1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r,1 因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r,1 2k,2，3k,35k,5,122k，1k，1 即 2 整理得12k-25k+12,0 44,解得k L的方程为y+3,(x+3) 33即4x-3y+3,0 因L和L关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3,0. 错因:漏解 正解:设反射光线为L,由于L和L关于x轴
12、对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)， 于是L过A(-3，-3). 设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3),k,x-(-3),，即kx-y+3k-3,0， 22 已知圆方程即(x-2)+(y-2),1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r,1 因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r,1 2k,2，3k,35k,5,122k，1k，1 即 2 整理得12k-25k+12,0 43 解得k,或k, 3443 L的方程为y+3,(x+3);或y+3,(x+3)。 34即4x-3y+3,0或3x-4y-3,0 因L和L关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3,0或3x+4
13、y-3,0. 22,例5,求过直线和圆的交点，且满足下列条件之x,2y，4,0x，y，2x,4y，1,0一的圆的方程: (1) 过原点;(2)有最小面积. 22解:设所求圆的方程是: ，x，y，2x,4y，1，,x,2y，4,022 即: ，x，y，2，,x,22，,y，1，4,011，4,0,(1)因为圆过原点，所以，即 47722x，y，x,y,0故所求圆的方程为:. 42(2) 将圆系方程化为标准式，有: 222524,，,2 2，x，y,，,2455,2,当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求. 522484,故满足条件的圆的方程是. x，y,555,点评:(1)直线和圆相交问题，这
14、里应用了曲线系方程，这种解法比较方便;当然也可以待定系数法。(2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小. 2,例6,(06年辽宁理科)已知点A(x,y)，B(x,y)(xx?0)是抛物线y,2px(p,0)112212OA，OBOA,OB上的两个动点，O是坐标原点，向量满足,.设圆C的OA,OB22方程为 x，y,(x，x)x,(y，y)y,01212(1)证明线段AB是圆C的直径; 25p(2)当圆C的圆心到直线x,2y,0的距离的最小值为时，求的值. 55 22解:(1)证明 ?,，?(),()， OA，OBOA,OBOA，OBOA,OB整理得:,0 ?
15、，,0 OA,OBxxyy1212设M()是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则,0 x,yMA,MB即 ，,0 (x,x)(x,x)(y,y)(y,y)121222整理得: x，y,(x，x)x,(y，y)y,01212故线段AB是圆C的直径. (2)设圆C的圆心为C()，则 x,yx，x,12x,2 ,yy，12,y,2,22?， y,2pxy,2px(p,0)112222yy12 ?xx,1224p又?，,0 ，, xxyyxxyy1212121222yy12?, yy1224p?0，?0 xxyy12122?,4 yyp12x，x111222212x,(y，y),(y，y，2yy),y
16、y 1212121224p4p4p122(y，2p) , p22所以圆心的轨迹方程为 y,px,2p设圆心C到直线x,2y,0的距离为,，则 122|(y2p)2y|，,22|x2y|(yp)p|p,，, 555p25pp当,时，,有最小值，由题设得, yp555?,2. py四、典型习题导练 y=2x+bA221(直线截圆得的劣弧所对的x，y,43x，y,23,0圆心角为 ( ) O1x A. B. C. D. 6432B222.已知直线x=a(a,0)和圆(x-1)+y=4相切 ，那么a的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 y223. 如果实数x、y满足等式(x-2)+y,，则的最
17、大值x为: . 224.设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x+y-6x+a=0(a9)，C、D点1所在直线l的斜率为. 3(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率; 2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，(求此抛物线的方程及直线l的方程; 5(3)如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程. 7 225.如图，已知圆C:(x+4)+y=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0). (1)若点D坐标为(0，3)，求?APB的正切值; (2)当点D在y轴上运动时，求?APB的正切值的最大值; (3)在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，?AQB是定值,如果存在，求出点Q坐标;如果不存在，说明理由.