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1、高中数学必修2知识点总结高中数学必修2知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0?,180? (2)直线的斜率 ?定义:倾斜角不是90?的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 时， ; 当 时， ; 当 时， 不存在。 ?过两点的直线的斜率公式: 注意下面四点:(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90?; (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角
2、而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ?点斜式: 直线斜率k，且过点 注意:当直线的斜率为0?时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90?时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示(但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ?斜截式: ，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ?两点式: ( )直线两点 ， ?截矩式: 其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。 ?一般式: (A，B不全为0) 注意:各式的适用范围 特殊的方程如: 平行于x轴的直线: (b为常数);
3、 平行于y轴的直线: (a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 ( 是不全为0的常数)的直线系: (C为常数) (二)垂直直线系 垂直于已知直线 ( 是不全为0的常数)的直线系: (C为常数) (三)过定点的直线系 (?)斜率为k的直线系: ，直线过定点 ; (?)过两条直线 ， 的交点的直线系方程为 ( 为参数)，其中直线 不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 当 ， 时， ; 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组 的一组解。 方程组无解 ; 方程组有无数解 与 重合
4、(8)两点间距离公式:设 是平面直角坐标系中的两个点， 则 (9)点到直线距离公式:一点 到直线 的距离 (10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ，圆心 ，半径为r; (2)一般方程 当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为 当 时，表示一个点; 当 时，方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求
5、出D，E，F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况: (1)设直线 ，圆 ，圆心 到l的距离为 ，则有 ; ; (2)过圆外一点的切线:?k不存在，验证是否成立?k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定
6、。 设圆 ， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 时两圆外离，此时有公切线四条; 当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线; 当 时，两圆内含; 当 时，为同心圆。 注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上;已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相
7、等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 几何特征:?上下底面是相似的平行多边形 ?侧面是梯形 ?侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:?底面是全等的圆;?母线与轴平行;?轴与底面圆的半径垂直;?侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:?底面是一个圆;?母线交于圆锥的顶点;?侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰
8、为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:?上下底面是两个圆;?侧面母线交于原圆锥的顶点;?侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:?球的截面是圆;?球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法特点:?原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; ?原来与y轴平行的线段仍然与y平行，
9、长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高， 为斜高，l为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 (4)球体的表面积和体积公式:V = ; S = 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用: 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1: 公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面和相交，交线是a，记作?,a。 符号语言: 公理2的作用: ?它是判定两个平面相交
10、的方法。 ?它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ?它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用:?它是空间内确定平面的依据 ?它是证明平面重合的依据 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间直线与直线之间的位置关系 ? 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ? 异面直线性质:既不平行，又不相交。 ? 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ? 异面直
11、线所成角:作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是(0?，90?，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内有无数个公共点( 三种位置关系的符号表示:a a?,A a (9)平面与平面之间的位置关系:平行没有公共点; 相交有一条公共直线。?,
12、b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。线面平行 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 (线面平行?面面平行)， (2)如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 (线线平行?面面平行)， (3)垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平
13、行的性质定理 (1)如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行?线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行?线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ?两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ?线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。 ?平面和平面垂直:如果两个平面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ?线面垂直判定
14、定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ?面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ?两平行直线所成的角:规定为 。 ?两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ?两条异面直线所成的角:过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线 ，形成
15、两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ?平面的平行线与平面所成的角:规定为 。 ?平面的垂线与平面所成的角:规定为 。 ?平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线， 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的
16、平面角 ?二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 ?二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ?直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ?求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
17、高中数学必修2知识点 一、立体几何初步(一)几何体1(柱、锥、台、球的结构特征(1)柱 whats 棱柱、 三棱柱、四棱柱、正三棱柱、正四棱柱, whats圆柱:圆柱的轴、圆柱的轴截面、圆柱的侧面、圆柱侧面的母线、圆柱侧面展开图。(2)锥 whats棱锥、棱锥的底、棱锥的侧面、棱锥的顶点;棱锥的侧棱，whats三角锥、四边锥、正三角锥、正四边锥、正四面体 whats圆锥、圆锥的轴、圆锥的底面、圆锥的侧面、圆锥的轴截面，圆锥的侧面展开图是什么,(3)台 whats棱台、圆台 台体与对应锥体的“亲子关系”及砍头定理。(4)whats球 球内接正方体棱长与球半径关系 2(空间几何体的三视图是从不同位
18、置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。柱、锥、台、球、正方体、正4面体的正视图、侧视图、俯视:图;3(空间几何体的直观图(1)斜二测画法“横等斜半45竖也等”，直观图如何恢复成原图(2)平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。(二)面积与体积1(棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面积公式和体积公式，注意:侧面积为各侧面积之和。2(圆柱、圆锥与球的表面积、侧面积公式和体积公式 (三)空间点线面 1(三公理三推论:推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。2(空间2条直线的位置
19、关系:相交、平行、异面，异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。(2)平行直线:在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。(3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。ABaBa,与a是异面直线。3(直线和平面的位置关系(1)直线在平面内AB(2)直线和平面相交(3)直线和平面平行、线面平行的判定定理: ababa,/(线面平行的性质定理: aabab/,/,(4(两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线)、两平面平行(
20、没有公共点)(1)两个平面平行的判定定理及平行的性质5(判断线线垂直的方法:所成的角是直角; 6(线面垂直:定义、判定定理和性质定理7(面面垂直:定义:相交、判定定理:(线面垂直面面垂直)、性质定理:(面面垂直线面垂直)7、二面角的求法:先找二面角,的棱，再在两个半平面内找(作)棱的垂线，其夹角即二面角的平面角。8、线垂直面，则垂直面上所有线，但线平行面，线与面上的线平行或异面 0二、解析几何初步1(倾斜角:范围为。2(斜率:当直线的倾斜角不是90时，则称其正切值为该,，0,0,直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于90时，直线的斜率不存在。3(过两点p(x,y),p(x,y)(x111
21、22210?x)的直线的斜率公式:(若x,x，则直线pp的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90)。4(直线方程21212的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于x 轴)的直线;两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。5(直线l1与直线l的的平行与垂直(1)若l，l均存在斜率且不重合:?l/l k=k;?ll kk=,1。21212121212,ABC111(2)若 若A、A、B、B都不为零。?l/l;lAxByClAxByC:
22、0，,，,:0,121212,11112222ABC222?ll AA+BB=0; 121212,ABABC11111?l与l相交;?l与l重合;注意:若A或B中含有字母，应注意讨,121222,ABABC22222,论字母=0与0的情况。两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。6、22ABxxyy,，,()()距离(1)平面直角坐标系中两点间距离:若，则，在空间直角AxyBxy(,),(,)21211122CC,12坐标系中，公式又是,(2)平行线间距离:若， 则距离。lAxByClAxByC:0,:0，,，,d,112222AB，注意点:x，y对应项系数应相等。(
23、3)点到直线的距离:P(x,y),l:Ax，By，C,0，则P到,AxByC，l的距离为:7(圆的方程圆心为，半径为r的圆的标准方程为:C(a,b)d,22AB，222222x，y,r。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为:。圆的()()(0)xaybrr,，,a,b,022DEDEF，,42222一般方程，圆心为点(,),，半径，其中。8(直xyDxEyF，,0DEF，,40r,222AaBbC，222(x,a)，(y,b),r线与圆的位置关系有三种(1)若，AxByC，,0d,22AB，;(2);(3)。还可以利用直线方程与圆的dr,相离0dr,相切0dr,相交0AxByC，,0,方程联立
24、方程组求解，通过解的个数来判断: ,22xyDxEyF，,0,9(两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，。OOd,121212; drr,，,外离条公切线4drr,，,外切条公切线31212;rrdrr,，,相交条公切线2drr,内切条公切线10,drr内含无公切线12121212判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。10、中点坐标公式 11、两圆相交则连心线垂直平分相交弦 12、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理:弦长一半、半径、弦心距。13、光线反射问题:入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上 14、求支点的轨迹，参考课本例题，回忆初中学过的几何知识。15、坐标法解题要建立适当的直角坐标系。16、课本、小测、月考、练习上多次重复出现的题目要重视。对做过的题目要做好复习。