《最新高中数学必胜秘籍之函数知识点总结+人教版[doc文档]优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高中数学必胜秘籍之函数知识点总结+人教版[doc文档]优秀名师资料.doc（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高中数学必胜秘籍之函数知识点总结 人教版doc文档高中数学必胜秘籍之函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如:集合，、AxyxByyxCxyyxABC,|lg|lg(,)|lg, 中元素各表示什么, A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 2如:集合，AxxxBxax,|2301, 若，则实数的值构成的集合为BAa, 1,(答:，),10 ,n3,显然，这里很
2、容易解出A=-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不 要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质: ()集合，的所有子集的个数是;12aaa,12n 要知道它的来历:若B为A的子集，则对于元素a来说，有2种选择(在或者不在)。同样，1nn22对于元素a, a,a,都有2种选择，所以，总共有种选择， 即集合A有个子集。23nn2当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，nn21,22,故真子集个数为，非空真子集个数为 ()若，;2ABABAABB,:
3、(3)德摩根定律: CCCCCCABABABAB:,，UUUUUU ax,5有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 ABABABAB, 4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x,035MMMa2 的取值范围。 a?35,(?，?3,M,02，3,a xa,5，,a1，):925,注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过; 如告诉你函数,3，2(,1),(1,)，,f(x)=ax+bx+c(a0) 在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称a?55,轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方
4、程 的2个根?，?5,M,0 25,a5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()()().,，“且”和“非”若为真，当且仅当、均为真pqpq, 若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq, 若为真，当且仅当为假，pp 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考) A,x|xpB,x|xq 满足条件，满足条件， ,A_Bpq若 ;则是的充分非必要条件; ,A_Bpq若 ;则是的必要非充分条件; ,A_Bpq若 ;则是的充要条件; ,_pq若 ;则是
5、的既非充分又非必要条件;7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射, (一对一，多对一，允许B中有元素无原象。) 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个m数有n个。 A,1,2,3,4B,a,b,cABBA如:若，;问:到的映射有 个，到的映射有 个;ABA,1,2,3AB到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。y,(x)x,a,函数的图象与直线交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:?表达式相同
6、;?定义域一致 (两点必须同时具备)xx4,9. 求函数的定义域有哪些常见类型, ，例:函数的定义域是y,2 lg(答:，)022334:， 函数定义域求法: x,3, 分式中的分母不为零; ，, 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; , 指数式的底数大于零且不等于一; , 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ,xR,且xk,k,，,y,tanx, 正切函数 2,，x,R,且x,k,k,y,cotx, 余切函数 , 反三角函数的定义域 函数y,arcsinx的定义域是 ,1, 1 ，值域是，函数y,arccosx的定义域是 ,1, 1 ，值域是 0, ，函数y,arctgx的定义域是
7、R ，值域是.，函数y,arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域, 如:函数的定义域是，则函数的定fxabbaF(xfxfx()()(),，,0, (答:，)aa,义域是_。 ,m,ny,f,g(x)y,f(x)复合函数定义域的求法:已知的定义域为，求的定义域，可由y,f,g(x)m,g(x),n解出x的范围，即为的定义域。 1，f(logx)y,f(x),22,例 若函数的定义域为，则的定义域为 。2，11，,x,2y,f(lo
8、gx)y,f(x),22,分析:由函数的定义域为可知:;所以中有22，1,logx,22。 21,logx,22解:依题意知: 22,x,4 解之，得 f(logx),x|2,x,42? 的定义域为 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1例 求函数y=的值域 x2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 2,x例、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看
9、懂 ba y,型:直接用不等式性质.2k+xbxb. y,型,先化简，再用均值不等式2xmxn，x11 例:y,2121+xx+x2,xmxn，c y.,型 通常用判别式 2xmxn，2xmxn，d. y,型 xn，法一:用判别式法二:用换元法，把分母替换掉22xx1，,(x+1)(x+1)+1 1 例:y,，,(x+1)1211x1x1x1，4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x，4例 求函数y=值域。 5x，65、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调
10、性。 x2sin1,2sin1,e,1y,y,x例 求函数y=，的值域。 1sin，1cos，e，1,xey,，11xye,0x1,ye，12sin11,，y,y,|sin|1,1sin2，,y,2sin1,yy,，2sin1(1cos),1cos，,2sincos1,，yy, 1，y24sin()1,sin()，,，,yxyx即,24，y1，y又由知sin()11，,x2,4，y解不等式，求出，就是要求的答案y6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 x,5，x,1log2例求函数y=(2?x?10)的值域 37、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征
11、是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 x,1例 求函数y=x+的值域。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。22例:已知点P(x.y)在圆x+y=1上， y (1)的取值范围x，2(2)y-2x的取值范围y 解:(1)令则是一条过,，kykx,(2),(-2,0)的直线. x,2d,Rd(为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2xbyxbR,20,即也是直线d d 22(x,2)(x，8)例求函数y=+的值
12、域。 解:原函数可化简得:y=?x-2?+?x+8? 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2)，B(-8)间的距离之和。 由上图可知:当点P在线段AB上时， y=?x-2?+?x+8?=?AB?=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=?x-2?+?x+8?,?AB?=10 故所求函数的值域为:10，+?) 22,6x，13，4x，5xx例求函数y=+ 的值域 2222，(x,3)(0,2)(x，2)(0，1)解:原函数可变形为:y=+ 上式可看成x轴上的点P(x，0)到两定点A(3，2)，B(-2 ，-1 )的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， 22，43(3，2
13、)(2，1)min y=?AB?= =， 43故所求函数的值域为，+?)。 22,6x，13，4x，5xx例求函数y= -的值域 2222，(x,3)(0,2)(x，2)(0,1)解:将函数变形为:y= -上式可看成定点A(3，2)到点P(x，0 )的距离与定点B(-2，1)到点P(x，0)的距离之差。即:y=?AP?-?BP? 由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P?，则构成?ABP?，根据三角形两边之差小于第三边， 22，26(3，2)(2,1)有 ?AP?-?BP?,?AB?= = 2626即:-,y, 26(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 ?AP
14、?-?BP?= ?AB?= 。2626综上所述，可知函数的值域为:(-，-)。 注:求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。 9 、不等式法 ，3abcabR利用基本不等式a+b?2，a+b+c?3(a，b，c?)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例: 22x，,x (0) x2x(3-2x)(0x1.5)1111322 =xx，,，,333xx+3-2x，xxxx()1 =xx(3-2x),33 (应用公式a+b+c,abc时，注意使
15、者的乘积变成常数)333abc，() (应用公式abc,时，应注意使3者之和变成常数) 3倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况x，2例 求函数y=的值域 x，3x，2y,x，3x，,20时，12111x，,，,xy220 y2xx，22xy，,20时，=01？,0y2多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗,切记:做题，特别是做大题时， 一定要注意附加
16、条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂 x如:，求fxexfx，,，1().， 令，则txt,，,10 2?xt,1 2t,12?ftet(),，,1 2x,12?fxexx(),，,10， 13. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗, 10，,xx,(?反解x;?互换x、y;?注明定义域) ,，如:求函数的反函数fx(),2 ,xx,11，,1,xx0,(答:)fx, ,，,()在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方,xx,， 便。请看这个例题:,0y,x,1，1(x,1)(200
17、4.全国理)函数的反函数是( B ) 22 A(y=x,2x+2(x1) B(y=x,2x+2(x?1) 22 C(y=x,2x (x=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于则反函数定义域为x=1, 答案为B.为y=1, 我题目已经做完了， 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢,14. 反函数的性质有哪些, 反函数性质: 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y，x)关于直线y=x对称 ?互为反函数
18、的图象关于直线y,x对称; ?保存了原来函数的单调性、奇函数性; ,1?设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf,()ba ,111？,ffafbaffbfab()()()()，, 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 4,1f(x),log(，2)f(x),43(04. 上海春季高考)已知函数，则方程的解xx,_.1 对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗,那代进去阿，答案是不是已经出来了呢,(也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。 自己想想，不懂再问我 15 . 如何用定义证明函数的单调性, (取值、作差、判
19、正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义，设任意得x ,x，找出f(x),f(x)之间的大小关系1212fxfx()(),fx()121可以变形为求的正负号或者与1的关系 xx,fx()122(2)参照图象: ?若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数) ?若函数f(x)的图象关于直线x,a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质: ?函数f(x)与f(x)，c(c是常数)是同向变化的 函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c
20、,0时，它们是同向变化的;当c,0时，它们是反向变?化的。 ?如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)，f2(x)和它们同向变化;(函数相加) ?如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘) 1?函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。 fx()?若函数u,(x)，x，与函数y,F(u)，u?()，()或u?(),()同向变化，则在，上复合函数y,F(x)是递增的;若函数u,(x),x，与函数y,F(u)，u?()，()或u?()，(
21、)反向变化，则在，上复合函数y,F(x)是递减的。(同增异减) ,1?若函数y,f(x)是严格单调的，则其反函数x,f(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。 f(g) g(x) fg(xf(x)+g(xf(x)*g(x) 都是正数 ) ) 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 2减 减 增 减 减 如:求的单调区间yxx,，log2，1 222(设，由则uxxux,，,2002 且，如图:loguux,，11，1 u 2O 1 2 x 当，时，又，?xuuy,(log011 当，时，又，?xuuy,)log121 2?) 16. 如何利用导数判断函数的单调性, 2
22、在区间，内，若总有则为增函数。(在个别点上导数等于abfxfx()(),0， 零，不影响函数的单调性)，反之也对，若呢,fx(),0 3如:已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afxxaxa,，,01()，, ,值是( ) aaA. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2(令fxxax(),，33x,0, aaa则或x,x33 ,33由已知在，上为增函数，则，即fx()1，,13a ?a的最大值为3)317. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么, (f(x)定义域关于原点对称) 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()(), 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fx
23、fxfxy()()(), 注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一aa?22，,个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 ()若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0, x如:若fx(),为奇函数，则实数a, (?为奇函数，又，?fxxRRf()(),000 aa?2220，,即01，?)a21， ,x21又如:为定义在，上的奇函数，当，时，fxxfx()()()(),1101x 0，2求在，上的解析式。fx(),11， ,x(令，则，xxfx,1001()， 41，x,()10，,xx222又为奇函数，?fxfx()(), ,41，,x
24、x,041，,x又，?ffx()()00,),x， ,x，2,xx,4114判断函数奇偶性的方法 x,01，一、 定义域法 ,x一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.41，,若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. . x二、 奇偶函数定义法 f(,x)在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x),1 偶函数 f(-x)f(x),1 奇函数f(-x)三、 复合函数奇偶性 f(g) g(x) fg(xf
25、(x)+g(xf(x)*g(x) ) ) 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶 18. 你熟悉周期函数的定义吗, (若存在实数()，在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx,，,0()()， 函数，T是一个周期。) 如:若，则fxafx，,()， (答:是周期函数，为的一个周期)fxTafx()(),2 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，fxfxt()()0，,，fxfxt()(2),这时说这个函数周期2t. 推导:，fxtfxt()(2)0，,同时可能也会遇到这种样子:f(x)
26、=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 又如:若图象有两条对称轴，fxxaxb(),即，faxfaxfbxfbx()()()()，,，,fxfax()(2),faxfbx(2)(2),fxfbx()(2),令则taxbxtbaftftba,，,，,2,222,()(22) 即fxfxba()(22),，,所以函数以为周期因不知道的大小关系,()2|(,fxbaab,为保守起见我加了一个绝
27、对值,如: 19. 你掌握常用的图象变换了吗, fxfxy()()与的图象关于轴对称, 联想点(x,y),(-x,y) fxfxx()()与的图象关于轴对称, 联想点(x,y),(x,-y) fxfx()()与的图象关于原点对称, 联想点(x,y),(-x,-y),1fxfxyx()()与的图象关于直线对称, 联想点(x,y),(y,x) fxfaxxa()()与的图象关于直线对称2, 联想点(x,y),(2a-x,y)fxfaxa()()()与的图象关于点，对称,20 联想点(x,y),(2a-x,0)yfxa,，()左移个单位aa(),0 将图象yfx,(), yfxab,，()上移个单位
28、bb(),0yfxa,() 右移个单位aa(),0,但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种(这是书上的方法，虽然我从来不用， 题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令yfxab,，,()y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)下移个单位bb(),0 注意如下“翻折”变换: fxfx()|()|x,把轴下方的图像翻到上面fxfx()(|)y,把轴右方的图像翻到上面 如:fxx()log,，1，2 作出及的图象yxyx,，,，loglog11，22 y x 2 y=logO 1 x
29、19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗, (k0) y=b O(a,b) O x x=a kk ()一次函数:10ykxbk,，,， (k为斜率，b为直线与y轴的交点)2 2b4acb,()反比例函数:推广为是中心，200y,，kybkOab,()， 的双曲线。 2()二次函数图象为抛物线30yaxbxcaax,，,，, b4acb,b,2xxa,顶点坐标为，对称轴,x,4acb, ,22a4a2a42aa开口方向:，向上，函数ay,0, 4acb,2ay,0，向下，max 4a,b4amin根的关系:x,2abc xxxxxx，,，,|121212aaa|二次函数的几种表达形式:2fxa
30、xbxc()(),，一般式2fxaxmn()()(mn,，顶点式，(，)为顶点 fxaxxxxxx()()()(,2,是方程的个根)1212fxaxxxxhxhxh()()()(,)(,),，函数经过点(1212应用:?“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程22axbxcxxyaxbxcx，,，00，时，两根、为二次函数的图象与轴, 2的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc，,00() 12?求闭区间,m，n,上的最值。 b区间在对称轴左边()nffmffn, max(),min()2ab区间在对称轴右边()mffnffm, max(),min()2ab区间在
31、对称轴边2 ()nm, 2a24cb,a fffmfnmin,maxmax(),(),4a也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大m,n ,0,(只讨论的情况)a,0?求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。 ?一元二次方程根的分布问题。 ,b,2如:二次方程的两根都大于axbxck，,0,k ,2a, y fk(),0, (a0) ,O k x x x 12一根大于，一根小于kkfk,()0 ,0,b,mn,在区间(，)内有根mn2,2a, fm()0,fn()0,在区间(，)内有mn()()01根,fmfnx()指数函数:，401yaaa,， ()对数函数，501yxaa,log，a
32、由图象记性质 (注意底数的限定) y x(a1) y=ax(a1) (0a1) y=loga1 O 1 x k (0a0且a?1)-f(x?y),f(x)，f(y);f(), f(x),f(y)ay5. 三角函数型的抽象函数 f(x)，f(y)f(x),tgx- f(x，y),1,f(x)f(y)f(x)f(y),1(x),cotx- f(x，y), ff(x)，f(y)例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x，y),f(x)，f(y)，且当x0时，f(x)0，f(,1), ,2求f(x)在区间,2,1上的值域. 分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x),f(x,x)，x,
33、f(x,x)221121，f(x);再根据区间求其值域. 1例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x，y)，2,f(x)，f(y)，且当x0时，2()2，(3), 5，求不等式 (,2,2)0,x?N;?f(a，b), f(a)f(b)，a、b?N;?f(2),4.同时成立,若存在，求出f(x)的解析式，若不存在，说明理由.x分析:先猜出(),2;再用数学归纳法证明. fx例6设f(x)是定义在(0，?)上的单调增函数，满足f(x?y),f(x)，f(y)，f(3),1，求: (1) f(1); (2) 若f(x)，f(x,8)?2，求x的取值范围. 分析:(1)利用3,13; (2)利
34、用函数的单调性和已知关系式. 例7设函数y, f(x)的反函数是y,g(x).如果f(ab),f(a)，f(b)，那么g(a，b),g(a)?g(b)是否正确，试说明理由. 分析:设f(a),m，f(b),n，则g(m),a，g(n),b， 进而m，n,f(a)，f(b), f(ab),f g(m)g(n). 例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件: f(x)f(x)，112? 、是定义域中的数时，有(,),;xxfxx1212f(x),f(x)21? f(a), ,1(a,0，a是定义域中的一个数); ? 当0,x,2a时，f(x),0. 试问: (1) f(x)的奇偶
35、性如何,说明理由; (2) 在(0，4a)上，f(x)的单调性如何,说明理由. 分析:(1)利用,), ,)，判定f ,(xxf (xxf(x)是奇函数;1212(3) 先证明f(x)在(0，2a)上是增函数，再证明其在(2a，4a)上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f(x)(x?0)满足f(xy),f(x)，f(y)， (1) 求证:f(1),f(,1),0; (2) 求证:f(x)为
36、偶函数; 1(3) 若f(x)在(0，?)上是增函数，解不等式f(x)，f(x,)?0.2分析:函数模型为:f(x),log|x|(a,0) a(1) 先令x,y,1，再令x,y, ,1; (2) 令y, ,1; (3) 由f(x)为偶函数，则f(x),f(|x|). 例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)?0，f(x，y),f(x)?f(y)，且当,0时，(),1，求证: xfx(1) 当,0时，0,(),1; xfx(2) ()在?R上是减函数. fxx分析:(1)先令x,y,0得f(0),1，再令y,x; (3) 受指数函数单调性的启发: f(x)由f(x，y),f(x)f(
37、y)可得f(x,y),， f(y)f(x)1进而由x,x，有,f(x,x),1. 1212f(x)2练习题: 1.已知:f(x，y),f(x)，f(y)对任意实数x、y都成立，则( )()(0),0 (B)(0),1 Aff(C)f(0),0或1 (D)以上都不对 2. 若对任意实数x、y总有f(xy),f(x)，f(y)，则下列各式中错误的是( )1(A)f(1),0 (B)f(), f(x) xxn(C)f(), f(x),f(y) (D)f(x),nf(x)(n?N)y3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足:f(0)?0，f(x，y),f(x)f(y)，且当x,0时，f(x),1，则当
38、x,0时，f(x)的取值范围是( ) ()(1，?) (B)(,?，1) A(C)(0，1) (D)(,1，?) 4.函数f(x)定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x、x都有 12f(x),f(x)12(,),，则()为( ) fxxfx121，f(x)f(x)12(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x，y)，f(x,y),2f(x)，f(y)，则函数f(x)是( ) (A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 参考答案 1(A 2(B 3(C 4(A 5(B 1123. 你记得弧度的定义吗,能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗,2(?，?)ll,RSRR扇 (和三角形的面积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法) 22R 1弧度 O R