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1、高中数学新课标人教A版必修二 点到直线的距离 课件（可编辑）点到直线的距离是指 过点P 作l 的垂线,P 与垂足之间的长度 P l Q已 知 点P (-1 ,2 ) 和 直 线L :2x+y-100 , 求 P 点 到 直 线L 的 距 离 L 先求出过P 点和L 垂直的直线: Q P (-1,2) L :x-2y+50 再求出L 和L 的交点Q L :2x+y-100 Q (3,4) ? |PQ| 2 5 已知:P (x 。,y 。) 和直线L :Ax+By+C0 (P 不在直线L 上),试求P 点到直线L 的距离。 分析:要求|PQ|的长度 思路一:利用两点的距离公式可以求|PQ|的长度。
2、 x x 0 0, , y y 0 0 P P L L ?P点坐标已知,?只要求出Q点坐标就可以了。 又?Q点是直线PQ和直线L的交点 Q Q 又?直线L的方程已知 O O ?只要求出直线PQ的方程就可以了 即:|PQ| Q点坐标 直线PQ与直线L的交点 直线PQ的方程 直线PQ的斜率 直线L的斜率思路二:利用直角三角形也可以求|PQ| 的 长度 。 分析:现在最关键的是如何选取第三点M, 以构成一个直角三角形 y y y P P P Q Q Q M o o o x M x x M 显示 显示 显示y P Q M 点为任意点,所以坐标不好求。 所以,|PM| 、|MQ| 均不好求。 o x M
3、 返回y P Q M 点在x 轴上, 相对而言|PM|,|MQ| 易求一些, 但计算量依然较大; o M x 返回y PM/y轴似乎也不好求, 但角 ?MPQ 与直线L 的倾斜角有关, P 具体分析 Q 具体分析 0 ? MPQ 90 0 ) 或? MPQ180 ? 90 M 因此可以利用三角函数关系来求: |PQ|PM|cos ?MPQ o x 1又 ?cos ?MPQ |cos | | sec| 1 1 | B | 2 2 2 1t g2 A AB 12 B 再求 | P M | 再 求| P M | 问: ? MPQ 与倾斜角 有什么关系呢? y y P P 2 Q Q 3 M M o
4、1 2 x 1 o x ? + ? 190 ? ? ? 1 180 ? - ? + ? 290 ? 又 ? ? 1+ ? 2 90 ? ? MPQ+ ?390 ? 又 ? ? MPQ+ ? 290 ? 返回 ? ? MPQ ? MPQ180 ? - y P x , y 0 0 下面求M 点的坐标。 L 设M (x1,y1) Q ?PM/y 轴,? x1 x。 M o M 点在直线L (Ax+By+C0 )上 x A x C 0 y 把M 点坐标代入得: 1 B B A x C | A xB yC | 0 0 0 ?| y? |因此|PM|y0-y1| 0 B B | B | ? |PQ|PM|
5、cos ?MPQ | A xB yC | | B | | A xB yC | 0 0 0 0 2 2 2 2 | B | AB AB | A xB yC | 0 0 公式 的完善 | P Q |2 2 AB 1. 当A0 ,即L ?y轴时 2.当B0 ,即L ?x轴时 显示 显示 y y P P Q L Q o x o x L 公式成立 公式成立 3. 当P 点在L 上时, A xB yC0 0 0 公式明显成立公 式 结 构 特 点 | A xB yC | 0 0 | P Q |2 2 AB (1 )分子是P 点坐标代入直线方程; (2)分母是直线未知数x 、y系数平方和的算术根 类似于勾股
6、定理求斜边的长练 习1 5 (1)P (?2 ,3 )到直线y ?2 的距离是_ 0 (2 )P (2 ,?3)到直线x+2y+4 0 的距离是_ 2 5 (3)用公式解P (?1,2) 到直线2x+y?100 的距离是_ 2 1 3 (4 )P (?1,1)到直线3x 2 的距离是_练习2 1.求平行直线2x-7y+80 和2x-7y-60的距离。 解:在直线2x - 7y-60上任取一点,如P3,0 则 两 平 行 线 的 距 离 就 是 点P3,0 到 直 线2x - 7y+80 的 距 离 。 ( 如 图 ) 2 ?3 ?7 ?0 ?8 因 此 ,d 2 2 2 ?7 3 14 53
7、14? 53 53思考两 条 平 行 直 线 的 距 离 是 否 有 公 式 可 以 推 出 呢 ?求 两 条 平 行 直 线Ax+By+ 0 与Ax+By+ C C 1 2 0 的 距 离 。 解:在直线上Ax+By+ 0 任取一点,如Px ,y C 0 0 1 则两平行线的距离就是点Px ,y 0 0 到直线Ax+By+ 0 的距离。(如图) C 2 P A xB yC 0 0 2 因 此 ,d 2 2 ABCC CC 1 2 1 2? 2 2 2 2 AB AB小 结 1 、 点 到 直 线 的 距 离 公 式 及 其 推 导 ; | A xB yC | 0 0 | P Q |2 2 AB 2 、 利 用 公 式 求 点 到 直 线 的 距 离 。 作业:P4512、13 、14 、15 3 、 探 索 两 平 行 直 线 的 距 离 4 、 探 索 “ 已 知 点 到 直 线 的 距 离 及 一 条 直 线 求 另 一 条 直 线 ” 及 “ 求 ( 动 ) 定 点 到 ( 定 ) 动 直 线 的 距 离 的 最 值 ” 等 等| 0xB yC | 0 0 | P Q |A0 : 2 2 0B y 当A0,即L ?y轴时 P C此时L :y B 又PQ/y 轴 L Q C ?| P Q | ?| y | 0 o x B | B yC | 0| B | 返回