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1、高二数学函数与导数解答题函数与导数解答题 2-x1、已知函数f(x)=(2xkx，k)?e (?)当为何值时，无极值;(?)试确定实数的值，使的f(x)kf(x)k极小值为 0,x2,x解:(I) ？f(x),(4x,k)e，(2x,kx，k)(,1)ek2,x,x=3分 ,2x，(4，k)x,2ke,2(x,)(x,2)e22,x在R上单调递减， ？k,4时，f(x),(x,2)e,0,？f(x)所以，f(x)无极值6分 kk,x(II)当时，令，得 f(x),2(x,)(x,2)e,0x,x,2k,41222k(1) k4时，,2 (,2) (2,)(,，,)2 2222有 f(x)0 0
2、 1或x0( f(1)f(1)f(1)fx()f(0)f(0)fx()f(0)所以,|?(8分 fx()max(0),(1)ff22abab，,ab，,?当，即-a,b,2a，则?( ,fx()max(0),(1)ff01,3a3a3aa(i)当-a,b?时，则0,a+b?( 22222222abab，,122abab,3()aab,，2,所以,?,0( f(1),a3a43a3a所以,|?(12分 fx()max(0),(1)ffa5a22(ii)当,b,2a时，则,0，即a+b,0( ()(2)bba,ab222522abab,222222abab，,abab，,4abab,2,b,所以=
3、,0，即,( f(0)3a3a3a3a,所以|?( fx()max(0),(1)ff综上所述:当0?x?1时，,|?(16分 fx()max(0),(1)ff214、已知函数，f(x),plnx，p,1x，1. (?)讨论函数的单调性; f(x)(?)当时，恒成立，求实数的取值范围; p,1f(x),kxk111*ln(n，1),1，？，(?)证明:. (n,N)23n2pp,x，p21，fx,，p,x,解:(?)的定义域为(0，+?)，2，fx()21xx分 当时，,0，故在(0，+?)单调递增; p,1fx()fx()当时，,0，故在(0，+?)单调递减;4p,0fx()fx()分 pKs
4、5u当0,1时，令=0，解得.Ks5u pfx()x,，2p,1,pp,则当时，,0;时，,x,0,fx()x,，,fx(),，2p,12p,1,0. ,pp,故在单调递增，在单调递fx()0,，,，2p,12p,1,减.6分 p,1(?)因为，所以当时，恒成立f(x),kxx,01，lnx,1，lnx,kx,k, x1，lnxh(x),令，则,8分 k,h(x)maxx,lnx因为，由h(x),0得， x,1h(x),2x且当时，;当时，. x,(0,1)h(x),0x,(1,，,)h(x),0所以在上递增，在上递减.所以，故h(x)(0,1)(1,，,)h(x),h(1),1max10分
5、k,1(?)由(?)知当时，有，当时，即， f(x),xf(x),xk,1x,1lnx,x,11n，11n，1ln(n，1),lnn,令，则ln,，即12分 x,nnnnn，113121所以，ln,，ln,， ln,1122nn23n，111ln，ln，？ln,1，？相加得 12n2n23n，123n，1,而 ln，ln，？ln,ln,？,ln(n，1),12n12n,111*Ks5uln(n，1),1，？，所以，.Ks5u14分 (n,N)23n,15、已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，f(x)f(x)x,R2,恒成立( f(x),f(x，1)，x(?)求的解析表达式; f(x)(?
6、)设，曲线:在点处的切线为，与坐y,f(x)P(t,f(t)t,0Cll标轴围成的三角形面积为(求的最小值( S(t)S(t)2解:(?)设()，则，(2分) f(x),2ax，bf(x),ax，bx，ca,022( f(x，1),a(x，1)，b(x，1)，c,ax，(2a，b)x，a，b，c2由已知，得， 2(1)(2)axbaxabxabc，,，a，1,0,?，解之，得， 2a，b,2aa,1b,0c,1,a，b，c,b,2?(4分) f(x),x，12(?)由(1)得，切线的斜率k,f(t),2t， P(t,1,t)l2?切线的方程为，即y,(1,t),2t(x,t)l2(6分) y,
7、2tx，t，12t，12从而与轴的交点为，与轴的交点为， A(,0)yB(0,t，1)xllt222(t1)，?(其中)(8分) S(t),t,04t2(t，1)(3t，1)(3t,1)?(9分) S(t),24t3当时，是减函数; 0,t,S(t),0S(t)33当时，是增函数(11分) S(t),0S(t)t,3,343,?(12分) ()St,S,min,39,1216、设函数与的图象分别交直线于点A，fxxax()ln,x,1gxxx(),aB，且曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线yfx,()ygx,()平行。 (1)求函数的表达式; fxgx(),()(2)当时，求函数的最小值;
8、 hxfxgx()()(),a,1111(3)当时，不等式在上恒成立，求实数的fxmgx()(),mx,a,422取值范围。 22xa,2,解:(1)由，得，2fxxax()ln,fx(),x分 2xa,1,由，得(又由题意可得， fg(1)(1),gx(),gxxx(),a2ax2,a1 即，故，(4分 a,22,aa,或2a212所以当时，,; fxxx()2ln,a,2gxxx(),2112当时，( gxxx()2,a,fxxx()ln,22由于两函数的图象都过点(1,1)，因此两条切线重合，不合题意，故舍去 12?所求的两函数为,fxxx()2ln,gxxx(),26分 12(2)当时
9、，得 a,1hxfxgxxxxx()()()2ln,，22112(1)(1)1xxx,，, hxx()2,，,xx222xx，4(1)xxxxx，,，8分 ,(1)x,2x，4(1)xxxxx，,由，得， x,0,02x,故当时，,递减， x,(0,1)hx()0,hx(),当时，,递增, x,，,(1,)hx()0,hx()13所以函数的最小值为(10hx()h(1)12ln11,，,22分 112(3)，,， gxxx()2,a,fxxx()ln,222111141x,2当时,， x,)fxxx()ln,fxx()20,42222xx11111，在上为减函数，12分 fx()，fxf()()ln20?,，,42242，141x,11当时,， gxxx()2,gx()20,x,)，4222xx11112，gx()在上为增函数，且(14，gxg()()1?,gxg()()0?,42422，分 111，要使不等式在上恒成立，当时，为任fxmgx()()?,mx,x,424，意实数; 1f()fx()，11fx()(22)，2当时，而. m?x,(,ln(4e),1gx()42gx()4，ming()2(22)，所以.m?ln(4e)416分