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1、高二数学反正弦函数 反余弦函数知识精讲 人教版高二数学反正弦函数 反余弦函数知识精讲 人教版 一. 本周教学内容: 代数(必修本)上册第四章4.1 反正弦函数;4.2 反余弦函数 二. 重点、难点: 本周我们将在上学期学习了三角函数的有关知识的基础上，进一步研究三角函数的反函数问题。(对于一个函数的反函数的研究，使我们更加全面地认识了这个函数自身，这正如研究某一种运算的逆运算一样，是我们全面认识事物的重要方式)。 本周我们将要学习正弦函数、余弦函数的反函数，即反正弦函数、反余弦函数。重点知识如下: 1. 反正弦函数的定义: ,，把函数，的反函数叫做反正弦函数，记作，其中yxxyx,sinarc
2、sin,22， ，,11xy,，。,22，(定义了反正弦函数后，今后我们将用符号来表示某些角，即可用表示arcsinarcsinxx3,，正弦值为，且属于，的角，例如若已知，且，则x,sin,22522，3,arcsin。),52. 反正弦函数的图象: ,，它与，的图象关于直线对称，如下图所示，观察图象，易yxxyx,sin,22，得到反正弦函数的性质。y2y=sinx01x-122-2y=arcsinx3. 反正弦函数的性质: (1)奇偶性: yxxxx,arcsinarcsin()arcsin，是奇函数，即。11 (2)单调性: yxx,arcsin，在其定义域上是增函数。11 (3)对应
3、法则的性质: 用心 爱心 专心 sin(arcsinxxx),，;11,，arcsin(sinxxx),，。,22，(对于这两个恒等式，只需借助于映射图，即可理解其涵义。) 反正弦 正弦x x sinxarcsinx反正弦 正弦角 正弦值 角 正弦值,，,11，,11， 2222,arcsin(sin)xxx,，sin(arcsin)xxx,，11 224. 熟悉下列恒等式，对于解题是有帮助的: 2 cos(arcsinxxx),111，5. 反余弦函数的定义: 把函数，的反函数叫做反余弦函数，记作，yxxyxx,cosarccos011,y,0，。,11(与反正弦函数类似，若已知，则。)co
4、sarccos,0,556. 反余弦函数的图象: yxxyxxyx,arccoscos，的图象与，的图象关于直线对称，如下110,图所示: y10-1x-1y=cosx7. 反余弦函数的性质: (1)奇偶性: yxxxxx,，arccosarccos()arccos，是非奇非偶函数，对任意，有1111 ,。(2)单调性: yxx,arccos，在其定义域上为减函数。11 (3)对应法则性质: cos(arccosxxx),，;11 ,arccos(cosxxx),，。08. 熟悉下列恒等式，对于解题是有帮助的: 用心 爱心 专心 2sin(arccosxxx),111，;,arcsinarcc
5、osxxx，,，。1121(第二个恒等式表述了如下事实:正弦值、余弦值皆为的两个角是互余的。如当xx,2,111111时，显然有;当时，arcsinarccosarcsinarccosarcsin(),，,x2623222221211,，,，。此时，依然有。)arccos()arcsin()arccos()623222三. 学习目标: 1. 正确理解反正弦函数、反余弦函数的概念、性质，能正确作出函数图象。 2. 正确理解符号arcsinx，arccosx的意义，即它们表示什么，以便能正确地使用它们。 3. 掌握两类求值: 32()反正弦(或反余弦)的正弦(或余弦)函数值，形如，1sin(arc
6、sin)sin(arccos)5332cos(arcsin)cos(arccos)，53 ,3()正弦(或余弦)的反正弦(或反余弦)函数值，形如，2arcsin(sin)arcsin(cos)34 3,arccos(sin)arccos(cos)，34【典型例题】 例1. 2 求函数的定义域、值域及单调区间。yxx,arcsin()分析: 22,arcsinarcsin为简化问题，对采取换元，设，则，如此以来，xxxxuyuy22()arcsin,1xxyuuxxx是两个简单函数，的复合。()欲求定义域，即的取值范,112围，只需由，即解出的取值范围。()欲求值域，即的变化范围，只需uxyar
7、csin3先求得的变化范围，再利用的单调性，即可得到。()而求单调区间，则需uu借助于复合函数的单调性规律。解: 22 设，则，uxxyxxu,arcsin()arcsin？,11u2？,11xx 15,15，解不等式得:,x 22，,，15152？,函数的定义域为，yxxarcsin() ,22,，111122 注意到，知uxxxu,()12444而在，上为增函数arcsinu,11 1 ？,arcsin()arcsinarcsinu14用心 爱心 专心 1, 即,arcsinarcsinuy421,，2？,函数的值域为，yxxarcsin()arcsin ,42，115，2根据复合函数的单
8、调性可知，的增区间为，减区间为yxx,arcsin(),22,， ，15,1，,22,，例2. 2 求的定义域、值域。yx,arccos4分析:与例1类似。 解: 2 设，则uxyu,4arccos2 ？041,x ？,2332xx或 ？,函数的定义域为，2332:？0111,uu，且在，上为减函数arcsin , ？,arccosarccosarccos01uy，即02, ？函数的值域为，02例3. 用反三角函数表示下列各式中的角x: ,2()，();1sinxx,52 23,()，()。2cosxx,2,32分析: ,()若角，则已知正弦值，可直接用反正弦表示该角。由此启发我们:1x,22
9、,不妨把角，化为，若再知的值，则有xxxa,()()sin()0,22222xaxx,arcsinsin()sin。事实上，可由已知求得。于是问题得解。(充分运用,5转化思想)(2)同(1)的道理。 解: , ()，1？,？,xx0,222 又？sin()sin()sinxxx,522 ？,xx,arcsin()arcsin，从而有55用心 爱心 专心 3, ()，2？,？,xx2,222 又？cos()cos()cosxxx,322 ？,，,xx,arccos()arccos()，从而3322 又arccos()arccos,3322 ？,，,x,(arccos)arccos233思考: ,
10、 在()中，为什么不选择，1x,?022例4. 求值: 1()1sinarcsin(),4112 ()2sinarcsin(),21338()3sinarcsinarcsin，517解: (1) 11 由恒等式，知;sinarcsinsinarcsin()xxx,1144(2) 12125 设，则，从而arcsin()sincos,13131351,1213112213,cos,13，即 ？,sin,sinarcsin() 2221321313(3) 38设，arcsinarcsin,51734815则，sincossincos,551717 3154877？，,，,，,sin()sincos
11、cossin,517517853877即sinarcsinarcsin，,51785小结: (1)此类求值中，除了应用某些恒等式以外，还需掌握运用换元法简化问题，使看似复杂的问题变得清晰明了。事实上，换元后，把问题转化成了我们在上学期早已熟悉的三角运算。 (2)本例中的函数名称改为余弦、反余弦后，解法类似。 例5. 求值: 用心 爱心 专心 2,()1arcsin(sin)53, ()2arcsin(sin)5()34arcsin(sin)解:(1) ,2？,arcsin(sin，由，可得xxx)52222 22,？,arcsin(sin)55(2) ,3222sinsin()sin,，,55
12、5522 322,？,arcsin(sin)arcsin(sin)555(3) ,sinsin()444,，而， 22？,arcsin(sin444)arcsinsin(),小结: ,对于形如的求值，若，则直接套用恒等式，arcsin(sin)arcsin(sin)xxxx,22, xxx,，;若，则需利用诱导公式(不变名称的几组公式)把角化为2222,属于，的角，再利用前述的恒等式即可求值。,22例6. 若x满足不等式arccosxarcsinx，则x的取值范围是_。 分析与解: 一方面，注意到使，有意义的的取值范围为，;另一方面，arccosarcsinxxxA,11考虑如何由上述不等关系
13、，解出的取值范围;则的取值范围为，对于这样一xBxAB:个反三角不等式，我们想把它转化为三角不等式加以解决。即不等式两边同时取正弦? (或余弦)，但这需要判断角，是否在正弦(或余弦)函数的同一单调arccosarcsinxx区间。事实上，由已知的不等关系，可知，由此知，均属于xxx,arccosarcsin10,sin(arccos)sin(arcsin)0，。从而有，即:xx,2,222222,1,xx21x,2,xx,或1,xx,x1 ,22201,x01,x,01,x,01,x,22可见，的取值范围为，x(,11:11 22例7. 111 求的值。arccosarccos(),714用心
14、 爱心 专心 分析: 111欲求反三角函数的差，似乎难以分别求出，的值。可见，需让arccosarccos(),714111,这两项“协同作战”，设，欲求，经验告诉我们:需arccosarccos(),714先求出的正弦(或余弦)，再转而求角。那么先求呢,还是,sin()cos(,)(),经判断，。在此区间内的角与余弦值一一对应，即余弦函数在此区间0,上有“好的区分度”，故而选取求。cos(),解: ,1143设，则，且，,arccos()cossin0,7277 111153,arccos()()cossin，则，且，,1421414？,()，01114353491 ？cos()coscos
15、sinsin(),，,，,，,714714982111,？,arccosarccos(),7143【模拟试题】 一. 选择题: xy,3arcsin 1. 函数的反函数为( ) 2x A. y,3sin，x112x B. y,2sin，x03,3x33, C. y,2sin，x322x33, D. y,3sin，x2222. 下列各式中正确的是( ) 3, A. arcsin(), B. ,sin(arcsin)324433, C. D. arcsin(sin),arccoscos(),33551 3. 若，则的值为( ) xarccosx,2,2,4, A. B. C. D. ,333613
16、yxx,arcsin， 4. 的值域为( ) 2225,， A. B. C. D. ，,36636336, 5. 函数的图象是( ) yxx,arccos(cos)，22用心 爱心 专心 yy22xx00-2222-2AByy11xx00-2222CD 二. 填空题: 1. 求值: 1arcsin(),1arccos(),1 (1);(2);(3); arcsin,21arcsin0,arccos0, (4);(5);(6)。 arccos(),22. 求值: 1111, (1);(2); arcsin(sin),arccos(cos),665, (3)。 arcsin(cos),63. 求值
17、: 4();12cos(arcsin),5 43()。2cosarcsin()arccos(),55, 4. 函数的定义域是_，值域是_，反函数为_。 arcsin2yx,，25. 比较大小: 11 (1) arcsin()arcsin(),2311 (2) arccos()arccos(),45arccos()arccos21xx, 6. 满足的的取值范围为_。 x三. 解答题: 3, 1. 求函数的反函数。 yxx,sin，22111 2. 求的值。 arccos()arccos,147用心 爱心 专心 参考答案 一. 选择题: 1. C 2. B 3. B 4. B 5. A 二. 填空题: ,2, 1. (1);(2);(3);(4)0;(5);(6) ,3262, 2. (1);(2);(3) ,6637 3. (1);(2) ,1,25111 4. ，反函数为 y,0，,x,，yxx,cos，0,2225. (1) x,)01， 6. 三. 解答题: 3, 1. 解:由，得 ，x,x,，2222而 sin()sinxxy,？,xy,arcsin() ？,xyyarcsin，且，11,？,反函数为，yxx,arcsin112. 解(略)见例7。 111, 提示: arccos()arccos,1473用心 爱心 专心