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1、高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!高二数学圆锥曲线综合测试题,选修1-1&2-1, ,考试时间:120分钟共150分, 说明:本试题分有试卷?和试卷?试卷?分值为36分试卷?分值为64分。 第?卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 21(抛物线y,ax(a?0)的焦点到其准线的距离是 ( ) |a|a|aA. B. C(|a| D(, 4222(过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线y,x，m平行，则|AB|, ( ) A(6 B.2 C(2 D(不确定 22xy23(已知双曲线的焦点为(e,0)
2、，则p的值为( ) ,1的离心率为e，抛物线x,2py41211A(2 B(1 C. D. 41612224(若直线ax，2by,2,0(a,0，b,0)始终平分圆x，y,4x,2y,8,0的周长，则，的最小值ab为 ( ) A(1 B(5 C(42 D(3，22 2x25(若双曲线,y,1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( ) 2a25323A. B. C. D(2 5236(?ABC的顶点A(,5,0)，B(5,0)，?ABC的内切圆圆心在直线x,3上，则顶点C的轨迹方程是 ( ) 2222xyxyA.,1 B.,1 9161692222xyxyC.,1(x,3) D.,1(x,4
3、) 91616922xy5e7(双曲线,1(a0，b0)的一条渐近线方程为y,x(e为双曲线离心率)，则有( ) 22ab5A(b,2a B(b,5a C(a,2b D(a,5b 28(抛物线y,4x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( ) 17151517A. B. C(, D(, 161616162y29(已知点A、B是双曲线x,?,0，则点O到直,1上的两点，O为坐标原点，且满足OAOB2线AB的距离等于 ( ) A.2 B.3 C(2 D(22 22xy22210(2009?全国卷?)双曲线，y,r(r0)相切，则r,( ) ,1的渐近线与圆(x,3)63A.3 B(2 C
4、(3 D(6 22xy11(2009?四川高考)已知双曲线,1(b0)的左、右焦点分别为F、F，其一条渐近线方程为y,2122b,x，点P(3，y)在该双曲线上，则?, ( ) PFPF012A(,12 B(,2 C(0 D(4 212(2009?天津高考)设抛物线y,2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，S?BCF与抛物线的准线相交于点C，|BF|,2，则?BCF与?ACF的面积之比, ( ) S?ACF4241A. B. C. D. 5372第?卷 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分(请把正确答案填在题中横线上) 2213(已知点(x，y)在直线ax
5、，by,0(a，b为常数)上，则(x,a)，(y,b)的最小值为_( 0000214(2009?福建高考)过抛物线y,2px(p0)的焦点F作倾斜角为45?的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p,_. 2215(直线l的方程为y,x，3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x,4y,3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为_( 216(过抛物线y,2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交AFFBBA点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若BC,，?,48，则抛物线的方程为_( 三、解答题(本大题共6小题，共74分(解答时应写
6、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2217(本小题满分12分)已知:圆C:x，y,8y，12,0，直线l:ax，y，2a,0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切; (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB,22时，求直线l的方程( 18(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l、l，若l交x轴于A点，l交y轴于B1212点，求线段AB的中点M的轨迹方程( 19(本小题满分12分)(2010?南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y,2相切( (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C
7、的切线，设两切线交点为Q，证明:AQ?BQ. 220(理(本小题满分12分)给定抛物线C:y,4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点( (1)求OA?OB的值; AF(2)设,FB，当?OAB的面积S?2，5 时，求的取值范围( 2022222222220(文(本小题满分12分)已知圆(x,2)，(y,1),，椭圆bx，ay,ab(ab0)的离心率为，32若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程( 21(本小题满分12分)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(,2,0)，B(2,0)，|,2，ADAE1,(，AD)( AB2(1)求E点的轨迹
8、方程; 4(2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直5线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程( 22(理(本小题满分14分)(2010?东北四市模拟)已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上3APPB运动，且|AB|,8，动点P满足,，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM5交曲线C于另外一点Q. (1)求曲线C的方程; (2)求?OPQ面积的最大值( 22文(本小题满分14分)设椭圆ax，by,1与直线x，y,1,0相交于A、B两点，点C是AB的2中点，若|AB|,22，OC的斜率为，求椭圆的方程( 2高二数学圆锥曲线章节测试题,选修
9、1-1&2-1,答案与解析, |a|1、解析:由已知焦点到准线的距离为p,. 2答案:B b,a2、解析:由题知,1?b,a,1. 5,422?|AB|,(5,4)，(b,a),2. 答案:B 11123、解析:依题意得e,2抛物线方程为y,x故,2得p,. 2p8p16答案:D 224、解析:由(x,2)，(y,1),13得圆心(2,1) ?直线平分圆的周长即直线过圆心( ?a，b,1. 1212b2a?，,(，)(a，b),3，?3，22 abababb2a当且仅当,即a,2,1b,2,2时取等号 ab12?，的最小值为3，22. ab答案:D 25、解析:由a，1,4?a,3 223?e
10、,. 33答案:C 6、解析:如图|AD|,|AE|,8|BF|,|BE|,2|CD|,|CF| 所以|CA|,|CB|,8,2,6. 22xy根据双曲线定义所求轨迹是以A、B为焦点实轴长为6的双曲线的右支方程为,1(x916,3)( 答案:C b57、解析:由已知,e a5b5c222?,?c,5b又a，b,c a5a222?a，b,5b?a,2b. 答案:C 18、解析:准线方程为y, 16115由定义知,y,1?y,. MM1616答案:C 9、解析:本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题由?,0?OA?OB由于双曲OAOB线为中心对称图形为此可考查特殊情况令点A为直线y,x与双曲线在第
11、一象限的交点因此点B为直线y,x与双曲线在第四象限的一个交点因此直线AB与x轴垂直点O到AB2y2,x,12的距离就为点A或点B的横坐标的值由?x,2. , ,y,x答案:A 1|3|10、解析:双曲线的渐近线方程为y,?x即x?2y,0圆心(3,0)到直线的距离d,22(2)，1,3. 答案:A 11、解析:由渐近线方程y,x得b,2 22xy点P(3y)代入,1中得y,?1. ,2002b不妨设P(31)?F(2,0)F(,2,0) 12?,(2,3,1)?(,2,3,1) PFPF12,3,4，1,0. 答案:C 112、解析:如图过A、B作准线l:x=-的垂线，垂足分别为A，B， 11
12、2由于F到直线AB的距离为定值( S?|BC|BCF?,. |CA|S?ACF又?BBC?AAC. 11|BC|BB|1?, |CA|AA|1|BB|BF|21由拋物线定义,. |AA|AF|AF|13由|BF|,|BB|,2知x,y,3 1BB23?AB:y,0,(x,3)( 33,22y把x,2x,2 代入上式求得yAA25?|AF|,|AA|,. 12S?|BF|24BCF故,. |AF|55S?ACF2答案:A 2213、解析:(x,a)，(y,b)可看作点(xy)与点(ab)的距离(而点(xy)在直线ax，by000000|a?a，b?b|2222,0上所以(x,a)，(y,b)的最
13、小值为点(ab)到直线ax，by,0的距离,a，b. 0022a，b22答案:a，b 2p2p解析:由焦点弦|AB|,得|AB|, 22sinsin45?1?2p,|AB|?p,2. 2答案:2 14、解析:所求椭圆的焦点为F(,1,0)F(1,0),2a,|PF|，|PF|.欲使2a最小只需在直线l1212上找一点P使|PF|，|PF|最小利用对称性可解( 1222xy答案:，,1 5415、解析:设抛物线的准线与x轴的交点为D依题意F为线段AB的中点 故|AF|,|AC|,2|FD|,2p |AB|,2|AF|,2|AC|,4p ?ABC,30?|BC|,23p BA?BC,4p?23p?
14、cos30?,48 解得p,2 2?抛物线的方程为y,4x. 2答案:y,4x 222216、解:将圆C的方程x，y,8y，12,0配方得标准方程为x，(y,4),4则此圆的圆心为(0,4)半径为2. |4，2a|(1)若直线l与圆C相切则有,2. 2a，13解得a,. 4(2)过圆心C作CD?AB则根据题意和圆的性质 |4，2a|CD,2,a，1,2222得 CD，DA,AC,2,1 ,DA,AB,2.,2解得a,7或a,1. 故所求直线方程为7x,y，14,0或x,y，2,0. 17、解:法一:设点M的坐标为(xy) ?M为线段AB的中点 ?A的坐标为(2x,0)B的坐标为(0,2y)(
15、?l?l且l、l过点P(2,4) 1212?PA?PBk?k,1. PAPB4,04,2y而k,k,(x?1) PAPB2,2x2,02,y2?,1(x?1)( 11,x整理得x，2y,5,0(x?1)( ?当x,1时A、B的坐标分别为(2,0)(0,4) ?线段AB的中点坐标是(1,2)它满足方程 x，2y,5,0. 综上所述点M的轨迹方程是x，2y,5,0. 法二:设M的坐标为(xy)则A、B两点的坐标分别是(2x,0)(0,2y)连结PM ?l?l?2|PM|=|AB|. 1222(2)(4)xy,，,而|PM|= 22(2)(2)xy，|AB|=, 2222(2)(4)44xyxy,，
16、,，?2. 化简得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程( 法三:设M的坐标为(xy) 由l?lBO?OA知O、A、P、B四点共圆 12?|MO|=|MP|即点M是线段OP的垂直平分线上的点( 40,?k=2线段OP的中点为(1,2) OP20,1?y-2=- (x-1) 2即x+2y-5=0即为所求( 18、解:(1)依题意圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点L:y,2为准线的抛物线( 因为抛物线焦点到准线距离等于4 2所以圆心的轨迹是x,8y. (2)证明:因为直线AB与x轴不垂直 设AB:y,kx，2. A(xy)B(xy)( 1122y,kx，2,由, 12y,x ,82可得x,8kx,16,
17、0x，x,8kxx,16. 1212112抛物线方程为y,x求导得y,x. 8411111所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k,xk,xkk,x?x,x?x,1. 1122121212444416所以AQ?BQ. 19、解:(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0) 设直线l的方程为x,my，1 2将其与C的方程联立消去x可得y,4my,4,0. 设AB点的坐标分别为(xy)(xy)(y0y) 112212则yy,4. 1222因为y,4xy,4x 1122122所以xx,yy,1 121216OAOB故?,xx，yy,3. 1212AFFB, (2)因为所以(1,x,y),(x,1y)
18、 1122,1,x,x, ?12,即 ,y,y ?,122又y,4x ? 112y,4x ? 22122由?消去yy后得到x,x将其代入?注意到0解得x,.从而可得y,121222y,2 111故?OAB的面积S,|OF|?|y,y|,， 12211因，?2恒成立所以只要解，?5即可 3,53，5解之得?. 2222a,bc22220、解:?e,?a,2b. 2aa2222因此所求椭圆的方程为x，2y,2b 又?AB为直径(2,1)为圆心即(2,1)是线段AB的中点 设A(2,m,1,n)B(2，m,1，n)则 222222(2,m)，2(1,n),2b8，2m，4，4n,4b,222,(2，
19、m)，2(1，n),2b8m，8n,0? ,202022 |AB|,2 2m，n,2 ,332222b,6，m，2n,2?,16. ,得2b1022m,n, ,322故所求椭圆的方程为x，2y,16. 1AEAD21、解:(1)设E(xy)由,(AB，)可知E为线段BD的中点 2又因为坐标原点O为线段AB的中点 所以OE是?ABD的中位线 1AD所以|OE|,|,1 2所以E点在以O为圆心1为半径的圆上 又因为ABD三点不在一条直线上 所以E点不能在x轴上 22所以E点的轨迹方程是x，y,1(y?0)( 22xy(2)设M(xy)N(xy)中点为(xy)椭圆的方程为，,1直线MN的方程为y22
20、112200aa,4,k(x，2)(当直线斜率不存在时不成立) 22由于直线MN与圆x，y,1(y?0)相切 |2k|3所以,1解得k,? 23k，13所以直线MN的方程为y,?(x，2) 3223xy将直线y,?(x，2)代入方程，,1 223aa,422224整理可得:4(a,3)x，4ax，16a,3a,0 2，xxa12所以x,. 2022(a,3)4又线段MN的中点到y轴的距离为 52a4即x,解得a,22. 2052(a,3)22xy故所求的椭圆方程为，,1. 8422、解:(1)设A(a,0)B(0b)P(xy) 则,(x,ay),(,xb,y) APPB3x,a,x,5883?
21、AP,PB?a,xb,y. ,5353 y,(b,y).,522xy22又|AB|,a，b,8?，,1. 25922xy?曲线C的方程为，,1. 25922xy(2)由(1)可知M(4,0)为椭圆，,1的右焦点 259设直线PM方程为x,my，4 22xy,，,1259由消去x得 , ,x,my，422(9m，25)y，72my,81,0 22，4(9m，25)81(72m)?|y,y|, 2PQ9m，25290m，1,. 29m，252，190m1?S,|OM|y,y|,2 ?2OPQPQ29m，252220m，1，120m20, 251616222m，m，1，m，1，2999m，12015
22、?, 823162当m，1, 29m，1157即m,?时?OPQ的面积取得最大值为此时直线方程为3x?7y,12,0. 3222,ax，by,1,23、解:设A(xy)B(xy)那么A、B的坐标是方程组的解( 1122 x，y,1,0,2222由ax，by,1ax，by,1两式相减得 1122a(x，x)(x,x)，b(y，y)(y,y),0 12121212y,y12因为,1 x,x12y，ya12所以, bx，x122yaya2CC即,所以b,2a.? 2xbxb2CC2再由方程组消去y得(a，b)x,2bx，b,1,0 222由|AB|,(x,x)，(y,y),2(x,x) 1212122,2(x，x),4xx,22 1212b,12b22得(x，x),4xx,4即(),4?,4.? 1212a，ba，b12由?解得a,b, 3322x2y故所求的椭圆的方程为，,1. 33