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1、高二数学导数、定积分测试题 一、选择题:(本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 2,f(1)21(已知函数f(x)=ax，c，且=2，则a的值为 A(1 B( C(,1 D( 0 yfx,(),abyfx,(),ab2(若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 (y y y y o o o o x x x x a b b a b a b a A( B( C( D( fxfx(1)(1),，213fx()3(已知函数在处的导数为1，则 = A(3 B( C( D( x,1,lim3233xx,01432一质点做直线运动，
2、由始点起经过ts后的距离为，则速度为零的时刻是 4(sttt,，4164A(4s末 B(8s末 C(0s与8s末 D(0s、4s、8s末 3,55(曲线与坐标轴围成的面积是 A(4 B( C(3 D(2 ,yxxcos(0)22x6(曲线在点1,1处的切线方程为 y,，21x,xy,20xy，,20xy，,450xy,450 A( B( C( D( yfxygx,(),()yfxygx,(),()7(已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是 1532(1,0)8(若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( ) yx,ayaxx,，,9425217257,1,1A(或 B(或 C(或 D(或7
3、 -,646444411122229(已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t所走过的路程为 A( B(gt C( D( gtgtgt000002431yfx,()10(设函数则 fxxxx()ln(0), 311A(在区间内均有零点。 B(在区间内均无零点。 (,1),(1,)e(,1),(1,)eee11(1,)e(1,)eC(在区间内有零点，在区间内无零点。D(在区间内无零点，在区间内有零点。 (,1)(,1)ee二、填空题:(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应位置) 2y11(若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 ; fxaxx()ln,，a321
4、2(函数的单调减区间为 ; fxxxx()15336,，1213(设函数，若， ，则的值为 ( 01?xfxaxca()(0),，,fxdxfx()(),x000,03f(x),014(设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 ; fxaxxxR()31(),，,x,1,1afx()fx()15(下列命题:?若可导且，则是的极值点; fx()0,x004,2,x22e?函数的最大值为; ? fxxex(),2,4,168,xdx,442ts,0()ts,4()?一质点在直线上以速度运动，从时刻到时质点运动的路程为。 vttms,，43(/)()m3其中正确的命题是 。(填上所有正确命题的序号
5、) 三、解答题:(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(本题满分12分)计算下列定积分: ,e，13122(1) (2) (3) |2|xdx，dxcosxdx,42,x1232(,)ab,R17(本题满分12分)已知函数 ( fxxaxaaxb()(1)(2),，,，fx()ab,I)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值; (,3fx()(1,1), (II)若函数在区间上不单调，求的取值范围( a(2vt,，3118(本题满分12分)物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，
6、问两物体何时相遇,相遇时物体A的走过的路程是多少,(时间单位vt,10为:s，速度单位为:m/s) 219(本题满分12分)已知函数 fxxaxa()1ln,0,，,xfx()(?)讨论的单调性; 2fx()(?)设a,3，求在区间上值域。其中=2.71828是自然对数的底数。 1,ee132220(本题满分12分)设函数 f(x),x，x，(m,1)x,(x,R,)其中m,03(?)求函数的单调区间与极值; f(x)f(x),f(1)(?)已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成x,xx,xx,x,x121212立，求m的取值范围。 fx()fx()21(本题满分14分)如果是函
7、数的一个极值，称点是函数的一个极值点。已知函数(,()xfxfx()000axfxaxbexa()(),(00),且 fx()AB,ab,(1)若函数总存在有两个极值点，求所满足的关系; fx()AB,AB,x,1aR,(2)若函数有两个极值点，且存在，求在不等式表示的区域内时实数b的范围. ,x1,fx()AAaR,01,b(3)若函数恰有一个极值点，且存在，使在不等式表示的区域内，证明:。. ,ye,参考答案 fxax()2,f(1)2,1(，?，?，解得，故选A。 22a,a,1,yfx,()yfx,(),ab,ab2(2009湖南卷文)解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上
8、各点处的(,yk,斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢。 kfxfxfxffxf(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)22,，,，,3(，故选B。 limlimlim(1),fxxx,00033333xxx,3232vsttt,，1232ttt,，,123204(瞬时速度，令得，解得或或，故选D。 v,0t,0t,4t,8,3,2222sxdxxdxxx,coscossin|sin|35(，故选C。 0,0222121xx,yx,1(1)xy，,206(解:,故切线方程为,即 故选B。 ,y|1,xxx,11122(21)(21)xx,7(解:从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同
9、，可以排除B答案，再者导函数的函数值反映的是原函数增加x0yfx,()的快慢，可明显看出的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C，最后就只有答案D了，可以验证y=g(x)导函数是增函数，增加越来越快。 3323(1,0)8(2009江西卷文)解:设过的直线与相切于点，所以切线方程为 (,)xxyxxxx,3()yx,00000323(1,0)即，又在切线上，则或， yxxx,32x,0x,0000215252y,0当时，由与相切可得， x,0a,yaxx,，,9064432727152A当时，由与相切可得a,1，所以选. x,yaxx,，,9yx,02444t110t2209
10、(，故选A。 sgtdtgtgt,|00,02211x,3f(x),0f(x),0f(x),010(解:由题得，令得x,3;令得0,x,3;得x,3，故f(x),3x3xf(x)(0,3)(3,，,)知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点x,3处有极小值1,ln3,0;又1e11，故选择D。 ，f(1),fe,1,0,f(),，1,033e3e1,x,011(解析:由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题,，fxax2，x1,x,0转化为范围内导函数存在零点。 ,，fxax2，x1gxax,2a,0a,0解法1 (图像法)再将之转化为与存在交点。当不符合题
11、意，当时，如图1，数hx,，x形结合可得显然没有 a,0交点，当如图2，此时正好有一个交 ,0aa|0,a,0点，故有应填或填。 ，,11解法2 (分离变量法)上述也可等价于 方程在内有解，显然可 得 0,，,20ax，,a,0，2x2x2,12(考查利用导数判断函数的单调性。解:，由得单调fxxxxx()330333(11)(1),，(11)(1)0xx,，,(1,11),减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 11a312231?x,13(解: ,，,，caxcfxdxaxcdxaxcx()(),，,，000,0033314(解:若，则不论取何值，fx,0显然成立; x,0a，313x,
12、(0,1当 即时，可化为， x,0fxaxx()310,，,a,23xx312,x，1131,，,10,设，则， 所以gx 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此gx,gx,，,423,22xxx，,，1,gxg,4，从而; a,4，,max2,312,x，313当 即x,1,0时，可化为，gx, x,0,0fxaxx()310,，,a,，,423xxxgx,1,0gxg,14 在区间上单调递增，因此，从而，综上。 a,4a,4，,man3fx()f(0)0,fx()15(，则是的临界点，不一定是点，例如有，但在R上单调递增，故?fx()0,xfxx(),00,x,xfx()2,4fx()错
13、误;函数，所以在区间上单调递增，所以得最大值为fxxex(),2,4,fxxe()(1),4,22，故?正确;由定积分的几何意义知表示圆心在原点半径为4的圆的上半圆的面积，故?fe(2)2,16,xdx,422tt,，,430正确;令得，解得或，所以质点在直线上以速度运动，从时刻v,0t,1t,3vttms,，43(/)ts,0()ts,4()到时质点运动的路程为: 134222 故?错误。 sttdtttdtttdt,，,，,，,(43)(43)(43)4,013,23112922,2316(解:(1) 原式=+= ,，,，()()xdxxdx22(2)|xx(2)|xx,42,42222e
14、，1 (2)原式=ln(1)|,x=lnln1e,=1 2,1cos211，x,22 (3)原式=。 ,，,dxxx(sin2)|,2242222,17(解析:(?)由题意得 f(x),3x，2(1,a)x,a(a，2)f(0),b,0,b,0a,3a,1 又 ，解得，或 ,f(0),a(a，2),3,f(x)(,1,1) (?)函数在区间不单调，等价于 ,f(x)(,1,1) 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 ,f(x)(,1,1) 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ,f(,1)f(1),03，2(1,a),a(a，2)3,2(1,a),a(a，2),0 ， 即:
15、2 整理得:，解得。 ,5,a,1(a，5)(a，1)(a,1),018(解:设A追上B时,所用的时间为依题意有 tSS,，50ABtt0032222即， ，=5 (s) ttt(1)5(1)，,，ttt，,，55(31)105tdxtdx，,，t0000000,002所以 =130 (m) 55t，SA02a1219(解:(1)由于， 令 fx()1,，,tytatt,，,得21(0)2xxx2fx()0,？fx(),a80?当,即时, 恒成立.在(,?,0)及(0,，?)上都是增函数. 022,a22aa,8aa，,822t,t,a80210tat,，,?当,即时由得或 a,224422a
16、a,8aa，,8？,0xx,或或 x,0442222aaaaaaaa,，,，,8888220tat,，,？,tx又由得 4422fx()综上?当时, 在上都是增函数. (,0)(0,),，,及022,a22aaaa,，,88fx()(,)?当时, 在上是减函数, a,222222aaaa,，,88(,0)(0,)(,),，,及在上都是增函数. 222，2,efx()1,2(2)当a,3时，由(1)知在上是减函数，在上是增函数。 ,，22，2222，1,effln(1)0,(2)2320,fx()23n2,5,le又函数在上的值域为 ？fee()50,2，2,ee，22x,1,m,x,1，m20
17、(?)解:，令，得到 f(x),x，2x，m,1f(x),0因为， 当x变化时，的变化情况如下表: f(x),f(x)m,0,所以1，m,1,m(,1,m)(1,m,1，m)(1，m,，,)x 1,m1，m + 0 - 0 + f(x)f(x) 极小值 极大值 f(x)(,1,m)(1，m,，,)(1,m,1，m)在和内减函数，在内增函数。 2132f(x)f(1，m)f(1，m)x,1，m函数在处取得极大值，且=m，m, 332132f(x)f(1,m)f(1,m)x,1,m函数在处取得极小值，且= ,m，m,331122(?)解:由题设， f(x),x(,x，x，m,1),x(x,x)(x
18、,x)123341222所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得,x，x，m,1,1，(m,1),0x,xx，x,3121233113 因为 m,(舍)，m,x,x,所以2x,x，x,3,故x,11221222221若，而，不合题意 x,1,x,则f(1),(1,x)(1,x),0f(x),0121213若则对任意的有 1,x,x,x,x,xx,x,0,x,x,0,1212121f(x)则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的f(x),x(x,x)(x,x),0f(x),0x,x,x1211233312f(x),f(1),m,，恒成立的充要条件是,解得f(1),m,0x,x,x123331
19、3(,)综上，m的取值范围是 23aaa22xx,xaxb,，,0？,ab40f(x),a,e，(ax,b)(,),e21(解:(1) 令fx,0得 又 ，2x2a？,bb且0 ax,00且42(1,1),xaxb,，,0(2)在有两个不相等的实根. 22,ab40,4ba,2aa,4即 得 ？,110bb且 ,11,2,b,1,10，,ab,10,，,ab,a2xaxb,，2x,(0)x,0(3)由?bfxae,?当在左右两边异号 fxxaxb()00,，,xa,，2x？(,()afayfx,是的唯一的一个极值点 ，2,110,aa且,01,a,201,a？,b0由题意知 即 即 存在这样的的满足题意 符合题意 a,22,eabee(),11a,aa22yfx,(),ab404ba,?当b,0时，即 这里函数唯一的一个极值点为 (,()f22,a2,10且a,04,a044,b,2,112由题意即 即 11,a12222,ebea,ebe2,ebee(),2,2b,0,1)？,01bb 综上知:满足题意 的范围为.