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1、2013年高二数学（人教A版选修2-3）教案：121排列11(2(1排列 第一课时 一、复习引入: 1分类加法计数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在m1第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 mmn2种不同的方法2.分步乘法计数原理:做一件事情，完成它需要分成n个步骤，Nmm,，？，m12n做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么mmmn12完成这件事有 种不同的方法 Nmm,，？m12n分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法
2、计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么;2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系;3.有无特殊条件的限制 二、讲解新课: 1问题: 问题1(从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法, 分析:这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每
3、次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法:甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素 解决这一问题可分两个步骤:第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法;第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法(根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 32=6 种，如图 1.2一1 所示( 把上面问题中被取的对象叫做元素，
4、于是问题可叙述为:从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法,所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 32=6 种( 问题2(从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数, 分析:解决这个问题分三个步骤:第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法;第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法;第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法 由分步计数原理共有:432=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法 显然，从
5、 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数(因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数(可以分三个步骤来解决这个问题: 第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法; 第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法; 第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法( 根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出
6、 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有 432=24 种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示( 由此可写出所有的三位数: ，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243， 123312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。 同样，问题 2 可以归结为: 从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法, 所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, a
7、db, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有432=24种. 树形图如下 a b ; , , ; , , ; , , , , , , ; 2(排列的概念: nmmn,从个不同元素中，任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一(nm列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 (说明:(1)排列的定义包括两个方面:?取出元素，?按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:?元素完全相同，?元素的排列顺序也相同 3(排列数的
8、定义: nmnmmn,从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，m用符号表示注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从个不同元素中，任取个元素按nmAn照一定的顺序排成一列，不是数;“排列数”是指从个不同元素中，任取()个元素的所有排nmmn,(m列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列 An4(排列数公式及其推导: 2由的意义:假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个aaa,？nA12,nn空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，2所有不同的填法的种数就是排列
9、数(由分步计数原理完成上述填空共有种填法，?Ann(1),n2= Ann(1),n33由此，求可以按依次填3个空位来考虑，?=， AAnnn(1)(2),nnmm求以按依次填个空位来考虑， mAAnnnnm,，(1)(2)(1)？nn排列数公式: m Annnnm,，(1)(2)(1)？n,() mnNmn,n说明:(1)公式特征:第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 m少1，最后一个因数是nm,，1，共有个因数; nm,(2)全排列:当时即个不同元素全部取出的一个排列 nn全排列数:(叫做n的阶乘) Annnn,(1)(2)21!？n另外，我们规定 0! =1 . 451813例1(用计
10、算器计算: (1)A; (2)A; (3)AA,. 18131018解:用计算器可得: 51813AAA,由( 2 ) ( 3 )我们看到，(那么，这个结果有没有一般性呢,即 181813nA!nmn,. A,nnm,()!Anmnm排列数的另一个计算公式: mAnnnnm,，(1)(2)(1)？ nnAnnnnmnm(1)(2)(1)()321,，,？n!n=. ,nm()!nm,()(1)321nmnm,？Anmn!m即 = An()!nm,322例2(解方程:3( AAA,，26xxx，1解:由排列数公式得:， 3(1)(2)2(1)6(1)xxxxxxx,，,2?，? ，即， x,33
11、17100xx,，,3(1)(2)2(1)6(1)xxxx,，,2,解得 或，?，且，?原方程的解为( x,5x,3x,5xN,x,3xx,2例3(解不等式:( AA,6999!9!解:原不等式即， ,6(9)!(11)!,xx162，化简得:， 也就是xx,，,211040,(9)!(11)(10)(9)!,xxxx,解得x,8或x,13，又?29,x，且， xN,2,3,4,5,6,7所以，原不等式的解集为( ,(2)!nnmnm,例4(求证:(1);(2)( AAA,135(21)？nnnnnm,2!,nn!nmnm,证明:(1),A，?原式成立 ,AAnmn()!nnnm,()!nm(
12、2)!2(21)(22)4321nnnn,？(2) ,nn2!2!,nnn2(1)21(21)(23)31nnnn,？ ,n2!,nnnn!13(23)(21),？右边 135(21),？n,n!?原式成立 m,Amn,说明:(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中，且这些限制条件，mnN,n要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围; mAnnnnm,，(1)(2)(1)？(2)公式常用来求值，特别是均为已知时，公式mn,nn!m=，常用来证明或化简 An()!nm,1231n,例5(化简:?;? 11!22!33!，？nn，？2!3!4!n11111111?解:原式 1,，,，,，,1!？2!2!3!3!4!(1)!nn,n!nnnnnn，,，,，1!1!nnnn，,，,!1!?提示:由，得， ，,，,n1!1原式 ，n,111说明:( ,nnn!(1)!,