《最新高等工程数学练习题及答案（DOC）优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高等工程数学练习题及答案（DOC）优秀名师资料.doc（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高等工程数学练习题及答案（DOC）高等工程数学练习题 (2012年12月16) 1. 位男士和位女士排成一行，要求男女相间，求有多少种不同的排法, nn把n个男、n个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2?(n!) 个 个人围圆圈坐下做游戏，求不同的坐法数,若某两人不愿坐在一起，有多少种不同的2. n坐法? 若有3人总是坐在一起，又有多少种不同的坐法, A: Q(n ,n)=(n-1)!; B: Q(n ,n)- Q(n-1,n-1) *2=(n-1)!- (n-2)! *2 C: Q(n-2,n-2) *3= (n-3)! *3 3. 书架上有一
2、部24卷的百科全书，现要从中取出5本，使得没有两本书是连续的，问有多少种不同的取法, C(24-5+1,5)=C(20,5) j,14. 设 (1)证明最大元素恰为的子集的个数是;(2)证明:2jAn,，1,2,3,(1).？21mm，122221.，,？ A、最大元素恰为的子集的个数，相当于前j-1个元素，每个元素出现或不出现的情况构j成的所有子集的数量，每个元素出现或不出现2种可能，因此j-1个2相乘即为所有的情况，j,1即。 2B:等比数列a1=2,q=2 右侧为1+(2*(1-2m)/1-2)=2(m+1)-2+1=2(m+1)-1=左侧 2222nnnnn2,，,？5. 证明等式:
3、,012nn,C(n 0)*C(n 0)=C(n 0)*C(n n); C(n 1)*C(n 1)=C(n 1)*C(n n-1); C(n k)*C(n k)=C(n k)*C(n n-k) ,K=0n C(n k)相当于(0 0)到直线(n 0)(0 n)上的某点(n-k,k)的路径 C(n n-k) 相当于直线(n 0)(0 n)上的某点(n-k,k)到(n n)的路径 根据乘法原理 C(n k)*C(n n-k)相当于(0 0)点通过直线(n 0)(0 n)上的某点(n-k,k)到(n n)的路径 左侧为(0 0)点通过直线(n 0)(0 n)上所有点到(n n)的路径相加 由于(0
4、0)点到达(n n)的所有路径均通过直线(n 0)(0 n)，所以根据加法原理左侧为(0 0)点到(n n)的所有路径即等于(2n n) 6. 证明恒等式: nrnrnrnmrmnr,，,，,，11221, ，,？,mmmmm011220,(-r-1,0)到(-1,i)路径为c(r+i,i) 1 (-1,i)到(0,i)路径为1 (0,i)到(n-m,m)路径为c(n-i.m-i) 根据乘法原理，c(r+i,i) c(n-i.m-i)为(-r-1,0)经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径 左侧为i取0至m，(-r-1,0)经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径
5、之和， 右侧围(-r-1,0)到(n-m,m)点的路径 左右相等 rn,7. 求不定方程的非负整数解的个数;设，求不定xxxxrnrZ，,？(,)123n，方程的正整数解的个数. C(n+r-1,r) C(n+r-n-1,r-n)=c(r-1,r-n),相当于每盒先放一个球，球数量变成r-n，再求解。 8. 求集合完全可重排列数. Sabcd,3,4,3,4n=14 r=14 N=14!/(3!*4!*3!*4!) 9. 试求个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案? n相当于n个球放入6个不一样的盒子，C(n+6-1,n) 10. 设凸边形的任意三条对角线不共点, 试求这个凸边形的对角线交于多
6、少个点? nn每个交点只有两个对角线通过，对应了4个顶点所组成的一个组合，不同的交点对应的组合也不相同，故共有C(n,4)个交点 AB11. 求由组成的长为的允许重复的排列中, 至少出现一次的排列的ABCD,nn(4),数目. |A|=|B|=3n |AB|=2n |S|=4n =4n-2*3n+2n 12. 在10个数的全排列中: (1) 恰有4个数在原来位置上的排列数; (2) 至少有31,2,3,10？3个数在原来位置上的排列数; (3) 恰有个数不在原来位置上的排列数; (4) 奇数都在奇数位上, 偶数都在偶数位上, 但没有一个数在原来位置上的排列的个数. 1、C(10,6)D6 2、
7、10!-C(10,8)D8 相当于减去1、2个数的错排 3、C(10,3)D3 4、相当于2组5个数错排的乘法D5*D5 13. 求解下列递推关系式: aaa，,14490; (1) nnn,12X2+14X+49=0 X=-7是二重根 An=(A+Bn)(-7)n aaaaa,，,12270,1,1. (2) nnn,12012 X2-12x+27=0 X=3 x=9 An=a3n+b9n a+b=-1 3a+9b=1 a=-5/3 b=2/3 an=-5*3(n-1)+2*3(2n-1) aaaan，,61280,(3),nnnn,123 (3) ,aaa,1,2,4012,X3+6x2+
8、12X+8=0 X3+4x2+2x2+8x+4x+8=0 X2(x+2)+4x(x+2)+4(x+2)=0 (X+2)(x2+4x+4)=0 (X+2)(x+2)2=0 (x+2)3=0 X=-2是三重根 An=(a+bn+cn2)(-2)n 1=(a+0+0)1 2=(a+b+c)*(-2) 4=(a+2b+4c)4 a=1,b=-4,c=2 an=(1-4n+2n2)*(-2)n aaaaan，,3520,(4),nnnnn,1234 (4) ,aaaa,1,2,1,10123,X4+x3-3x2-5x-2=0 X4+x3-3x2-3x-2x-2=0 X3(x+1)-3x(x+1)-2(x
9、+1)=0 (x+1)(x3-3x-2)=0 (x+1)(x2-3)(x+1)-(x2-1)=0 (x+1)( (x2-3)(x+1)-(x+1)(x-1)=0 (x+1)(x+1)(x2-3-x+1)=0 (x+1)(x+1)(x+1)(x-2)=0 X1=x2=x3=-1,x4=2 An=(a+bn+cn2)(-1)n+d2n a+d=1 2d-a-b-c=2 4d+a+2b+4c=1 8d-a-3b-9c=1 a=16/27,b=-53/18,c=7/6,d=11/27 an=(16/27-53n/18+n2(7/6)(-1)n+(2n)(11/27) 3 n (5) ; aa,45,1
10、nn设an=p5n P5n-4p5n-1=5n P=5 所以an=5 (n+1) (6) . aan,，41nn,1An=pn2+qn Pn2+qn-p(n-1)2-q(n-1)=4n+1 P=2,q=3 An=2n2+3n 14. 求从1到500的正整数中被3或7整除的数的个数. 容斥原理: |A?B|=|A|+|B|-|A?B| ?500/3+?500/7-?500/21=166+71-23=214 15. 求1,2,3,5,7,9五个数字组成的位数的个数, 要求其中1,2出现偶数次, 3,5出现奇数次, n7,9没有限制. G(x)=(1+x2/2!+x4/4!+)2*(x+x3/3!+
11、x5/5!+)2*(1+x+x2/2!+x3/3!+)2 =(ex+e(-1)2/2*(ex-e(-1)2/2*(ex)2 =(1/16)*(e6x-2e2x+e(-2)x) an=(6n-2(n+1)+(-2)n)/16 16. 复习第二类数的性质. 复习资数中鸽笼原理部分的例题. Stirling17. 四位小朋友排成一行, 但不愿排在第二位, 不愿排在第三位和第四位, xxxx,xx123412x不愿排在第一位, x不愿排在第二位和第三位, 求不同的排法数. 34A1=x1在第二位、a2=x2在第三和第四位、a3=x3在第一位、a4=x4在第二位和第三位 |A1?a2?a3?a4|=n-
12、|a1?a2?a3?a4| =4!-(|a1|+|a2|+|a3|+|a4|-|a1?a2|-|a1?a3|-|a1?a4|-|a2?a3|-|a2?a4|-|a3?a4|+|a1?a2?a3|+|a1?a2?a4|+|a1?a3?a4|+|a2?a3?a4|-|a1?a2?a3?a4|) =4!-(3!+2*3!+3!+2*3!-2*2!-2!-2!-2*2!-(2!+2*2!)-2*2!+2+1+1+(2+1)-1) =24-(6+12+6+12-4-2-2-4-6-4+2+1+1+3-1) =4 SS18. 设集合的基数为, 求的值. |Sn,|2|2n S19. 设集合S,1,2,3,
13、4,5,6,7的一个分划是1,2,3,4,5,6,7, 试写集合上对应于以上分划的等价关系. Ia? ZRRZn,xyZxRyxyn,(mod)20. 设是正整数, 在上规定关系为: , 证明是4 上的一个等价关系. xRy,x?y(modn),n|x-y| 1、自反:n|x-x|,xRx 2、传递:xRy,x-y=kn,yRz,y-z=ln ,x-z=kn+y+ln-y=(k+l)n,n|x-z|,xRz 3、对称:xRy,x-y=kn，y-x=-kn,n|y-x|,yRx 所以R是上的一个等价关系 Z，21. 证明代数系统与同构, 其中和分别是普通的数的加法和乘法. ，,()R,+()R,
14、设映射f:R-R+为f(x)=10x 对于任何y?R+ 存在x=lgy使f(x)=y,所以f是R-R+的满射;任意x，y?R，如果10x=10y,则x=y，所以f是R-R+的单射，所以f是R-R+的双射，又由于f(x+y)=10(x+y)=10x*10y=f(x)*f(y),所以f是R到R+的同构映射，即R?R+ S22. 设, 试写出的对称群和交代群. AS,1,2,3,4SymS()4对称群: (1),(23),(24),(12),(34),(13),(14),(243),(234),(123),(124),(134),(132),(143),(142),(1234),(1342),(12
15、43),(1324),(1432),(1423),(12)(34),(13)(24),(14)(23) 交代群: (1),(243),(234),(123),(124),(134),(132),(143),(142),(12)(34),(13)(24),(14)(23) 12345678910,23. 试把置换表成不相交循环的乘积, 并表示p,10175489263,成对换的乘积. (1,10,3,7,9,6,8,2)(4,5)=(1,2)(1,8)(1,6)(1,9)(1,7)(1,3)(1,10)(4,5) 24. 试证明和均为循环群, 并分别求出其一个生成元. (,)Z，(,)Z，n整数
16、加群的e为0，a(-1)=-a , an=na a=1 时 1n=n n?Z 所以整数加群是无限循环群 其中一个生成元是1 a=-1 时 an=-n n?Z 所以-1是其另一个生成元 模n加群元素为0,1,2,n-1 ak=(ka)mod(n) a=1时 1k=(k)mod(n) 10=0,11=1,12=2,1(n-1)=n-1 k?Zn 1k?Zn 所以模n加群是循环群 1是他的一个生成元 (,)Z，,25. 证明是域的充分必要条件是n为素数. n反证法: 若n=ab a,b?(Zn，+,.) a1 b1 则a是左零因子，b是右零因子 这与Zn是域，故没有零因子矛盾; 证有任意a?(Zn，+,.)逆元 n是素数 1an (a,n)=1 存在u，v使得 au+nv=1 在Zn中 nv=0 即au=1 a的逆元存在为u 5 26. 试构造一个4阶的域, 并写出乘法群的生成元. + 0 1 x 1+x 0 0 1 x 1+x 1 1 0 1+x x x x 1+x 0 1 1+x 1+x x 1 0 * 0 1 x 1+x 0 0 0 0 0 1 0 1 x 1+x x 0 x x+1 1 1+x 0 1+x 1 x x0=1 x1=x x2=x+1 x是乘法群的生成元 6