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1、高等数学 上册 答案第二章 导数与微分 第二章 导数与微分 ex ，x 0，1.讨论 f(x) 在x 0处的可导性. x,1 ，x 0 2.讨论 f(x) x, cosx 在x 处的连续性与可导性( 3.设 f(x) x,ag(x)，其中g(x)在x a处连续且g(a) 0，讨论f(x)在x a处的连续性与可导性( 4.1 f(x)在x0处可导，且f (x0) a，求极限limn f(x0,),f(x0) (n 2n x (f(x0,2x),f(x0,x) 5.已知 f (x0) ,5，求limx 0 使函数 6.试确定常数a,b的值,cos3x ，x 0， f(x) x be,a，x 0，
2、在x 0处可导( ax,b x 07.设 f(x) 确定a,b的值使f(x)在x 0处可导( ln(1,x) x 0 x2 f(x,2t),f(x) 8.设 (x) lim，其中f(x)二阶可导,求 (x)( t 0t x 0，9.设 f(x) x求f (x) e,1 ，x 0， arctanx ，ax ,x 0， e 10.求 a,b之值，使f(x) 在t 0点可微(2 b(1,x),x 0 11.设 (x)在x a点连续,f(x) (x)ln(1,x,a),试求f (a)( 点可导,并求f ( )( 12.设 (x)在x 点连续(证明f(x) (x)sinx在x第 1 页 共 10 页 第
3、二章 导数与微分 13.对任意两个实数x1与x2,f(x)满足f(x1,x2) f(x1) f(x2)且f (0) 1,f(x) 0(证明f(x)在(, ，, )可导,且f (x) f(x). 14.设函数f(x)对任意x均满足f(1,x) 2f(x),在0点可导 且f(0) 1(f (0) c(c为已知常数)(求f (1)( 15.设 y sinx,cosx,tanx,cotx,cscx.求y 16.设 y arctanx,tanx,secx(求y (x) 17.设 y ln3x,arcsinx,tanx(求y ( 18.设 y xa,ax (a 0,是常数)(求y 19.设 y sinx,
4、cosx,ax(a 0，a 1)，求y (x) 20.设 y 21.设 y 1 ,arctanx,cscx,x(a 0),求y (axcosx1x ,cotx(求y( 22.设 y e(3sinx),，求y (x)(3x,xlnx 23.设 y tanx,x,cosx,sinx 求y x ln4xlnxx 25.设 y x24.设 y xlnx,e (求y (，求y 2x3,x tsint 26.设 y ,求y (t)(1,sint xax27.设 y (a 0)，求y ( x,sinx28.设 y 3x3,log10,tanx 求y (x)( x 30.设 y secx lnx,x 2 求y
5、 ( 29.设y exsinx,log2(求y (x 31.设 y 3x cscx,arccotx，求y ( 32.设 y arccosx,2x lnx(求y ( 第 2 页 共 10 页 第二章 导数与微分 33.设 y tanx lnx,x2 2x secx,arctane(求y ( 34.设 y x,lnx1 ,cos(求y ( xx,13 35.设 y csc(cotx)， 求y ( 37.设 y e36.设 y (x,1) (2x,3) cosx(求y (32,x 2 sin2x，求y ( 38.设 y tan(cosx)，求y ( 39. 40.设 y cosx2,1,tan2x
6、2，求y ( 41.设 y sinnx,sinnx，求y (x)( 43.设 y ,sinx,ex2(求y ( 44.设 x t2 tant,t,sin(lnt)，求x (t)( 45.设 y tan1 x2,cotx 求y ( 46.设 y log(2x) 3,sinex x ex,e，求y (x)( 47.设 y sin(lnx),esinx,cos 3，求y ( 48.设 y cos1 1,x，求y ( 49.设 y 3t2 1,t2,tan(2t)，求y (t)( 50.设y ln(x2,3) 1,x，求y ( 51.设 y sincosx，求y ( 第 3 页 共 10 页 设 x
7、3sin(2t,1)，求x (t)( 42.设 y ex，求y ( 第二章 导数与微分 52.设 y arcsin1 x,，求y (x 53.设 y arctan(ax2,b)(求y ( 54.设 x sint sect2,arcsin(求x (t)( 55.设 y ln2(1,tan2x)，求y ( 56.设 y a,x ln,x(a 0),求y ( 2 57.设 y ln(tan(3x)(求y ( 58.设 y cotx,sinax(a 0常数),求y ( 59. 设 y 23x ln(2x),x2,求y ( 3x60. 设 y lntanx,e，求y ( 61. 设 y lncoshx，
8、求y ( 62. 设 y ln(lnx),sec(2x)(求y ( 63. 设 y lncosx，求y ( 2 64. 设 y e,lnsinx，求y ( 265. 设 y lnx，求y ( 66. 设 y ln(2x) cos3x,arctan 67. 设 y ()32 ，求y ( 3 22x,tanx,sine，求y ( 2 68. 设 y 10xtan2x，求y (x)( 69. 设 y sin2xcos2x,2x，求y ( 2 x70. 设 y lncose,cosx,csc3x，求y ( 第 4 页 共 10 页 第二章 导数与微分 71. 设 y ln1,cos2x，求y ( x2
9、 3x72. 设 y log2(x,2),sin1 x ,求y (x)( 73. 设 y lnx,1，求y ( x,1 274. 设 y sin(cosx) cos(sinx)，求y ( 2 75. 设 y x2,x,esinx，求y ( cosx76. 设 y (sinx),2tanx，求y ( ,sec3x，求y ( 77. 设 y (cosx)sinx 78.设 f(x) ex，g(x) sinx d f(g(x) ,dg f(x) 求 d d g f(x) ,f g(x) dx dx 79. 设 y 3 x 0，求函数的导数x (y)( lnx 3x80. 设 y 3x,4e,求反函数
10、的导数 x (y)( 81. 设 y ln2,cosx (0 x )求反函数的导数x (y)( 2,cosx2 x2 82. 设y x，x 0，求反函数的导数x (y)( 2 83. 设 y 12,xxe ，0 x 2，求反函数的导数x (y)( 2 84. 设 y 4 3arctg2x,1 3 ，求反函数的导数x (y)( 第 5 页 共 10 页 第二章 导数与微分 85. 设 y x(x e),求反函数的导数 x (y)( 86. 设 (x)是y arcsin( 2) x (, ，0)的反函数,求 (x)(87. 设 f(x) x1x x， x 1 2求f, (1)及f, (1)( ,x
11、,2x，x 1 sinx，x 0 88. 设 f(x) 求f (x)( x3 x,，x 06 89. 设 f(x) ln(1,sinx)，x 0， x ，x 0，求f (x)( ln(1,x3)，x 0， 90. 已知f(x) 2求f (x)( 1 xsinx ，x 0 1,sinx，x 0,试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f (x)(91. 已知f(x) 2 cosx，x 0 ln(1,x)，x 092. 试讨论f(x) sinx的可导性,并在可导处求出f (x)( e ，x 0 2sinx ，x 0， 93. 已知f(x) 试讨论f(x)的可导性 1,arctanx，x 0， 并在可导
12、处求出f (x)( (,1)，f, (,1),f, (1)及f, (1)(94. 设 f(x) x,x,求f, 1,x， 当, x 1， 95. 设 f(x) (1,x)(2,x)，当1 x 2，求f (x)( ,(2,x) ，当2 x , ， x2,2x，x 0，96. 设 f(x) 求常数a,b,使得f(x)在x 0连续且可导 ax,b，x 0， 第 6 页 共 10 页 第二章 导数与微分 sinx ,x 0 2 97. 设 f(x) ,试求f, (0)、f, (0)和f (x)(2 cos2x，x 0 sinx ，x 0 98. 试讨论f(x) 1,e的可导性,并在 0 ，x 0 可导
13、点处求f (x)( 99. 设 y f(log3), (cos2x)(x 0其中f(u)，x (v)都是可导函数,求f (x)( lnf(e3x,tanx)100. 设 y ，其中f(u) 0，f对u可导,求y (x)( lnx 101. 设 y f(ln,sinx)，f(u)为可导函数,求f (x)( 102. 设 y lnf(,sinx) e，其中f(u) 0，且可导(求y (x)( 103. 设 y arctanf(f(e) f(x)(f(u)为可导函数,求y (x)( 23x2 x f(u) 1，f(u)为可导函数,求y (x)(104. 设 y arcsin(f(e) 105. 设
14、y tan(f(tanx)，f(u)为可导函数,求y (x)( 106. 设 f(u)为可导函数,y f(sine),33xcosf(x)3x ,求y (x)( 107. 设 f(x)处处可导,g(x) cot(sinf(x)求g (x)( 108. 若 f (x) e，y f(lnsinx) 0 x ,x2 2求y (x)( 109. 设 y f(secx) sec( (tanx),其中f(u)， (u) 可导函数,求y (x)( 110. 设 y f(arcsin1 )x 1，其中f(u)可导,求y (x)(x f(secx) , (tanx)，其中f(u)，111. 设 g(x) arc
15、cos (v)都是可导函数,且f(u) 1,求g (x)( 第 7 页 共 10 页 第二章 导数与微分 112. 设 y logu(x)v(x)，其中u(x),v(u)均为x的可导函数，u(x) 0，v(x) 0，u(x) 1,求y (x)( 113. 设 y (sinx)f(cosx) ，其中f(u)为可导函数,求y (x)( 0 ，x 0，114. 设 f (0) 存在,g(x) 2试证明 xlnx，x 0， f g(x) 在x 0处可导,并求其值( 115. 设 y arcsinx,cose,求y (x)( 116. 设 y arccot x,sin(3x)2求y ( 21,x y 。
16、 117. 设 y arctan(1,sinx),sinx,求 118. 设 y sinln(a,exsinx ),a2,x2，a 0,求y ( 2119. 设 y (arccotx),x lnx求y ( 2 120. 设 y arcsin(lnx),tanx，求y ( 121. 设 y 11,xarccosxln,，求y (x)( 221,x,x x,x122. 设 y arcsin3,arctanx,tane，求y ( 1,x2 123. 设 y arcsin,arctanx,求y ( 1,x2 124. 设 y (cosx),3f(x)，其中f(x)为可导函数 ,求y (x)(xx 12
17、5. 设 y x sin(lnx),cos(lnx) ,求y (x)( 126. 设 y cosln( 1,x),lnx,求y (x)(2 xa2 22127. 设 y x,a,ln(x,x2,a2)，a 0求y ( 22 第 8 页 共 10 页 第二章 导数与微分 128. 设 y ln ,ln) ,求y ( xxx 1 11 129. 设 y ln(cosx,sinx,2cosx),求y (x)( 130. 设 y xx242 131. 设 y e arctanx,求y (arctan1 x,(sinx)x，求y ( 132. 设 y ln1,cosxcosx,(求y (x)( sinx
18、2sin2x sinx133. 设 y (x) ,arctan(1,x),求y ( xsinx134. 设 y (arcsinx),e ,cos3x 求y ( 135. 设 y (sinx)x,arctanx，求y ( tanx136. 设 y (arctanx) 137. 设 y (sinx) 2,lntanx，求y ( cosx,coslnx，求y ( 2138. 设 x y,y，u (x,x) 确定y y(u), 求dy (du 139. 设 y 1,tan(1,sin2x)求y (x)( ,cos4x2 2xlnxecos2x140. 设 y arccos(cosx),x,(lnx),
19、x，求y (x)( 11,x4,14,tan,x4,求y (x)(141. 设 y arctan,x,ln 424,x,1 142. 设 y (arccosx)ln(arccosx),ln(arccosx),cose,求y (x)( 2 2 143. 设有一个球体，其直径以0.02米/秒的速率在减少，当其直径 为4米时，问其体积及表面积的变化率是多少, 144. 设f(x)的一阶导数连续,试讨论 (x) x2f(x)在 x 0处的二阶导数是否存在? 第 9 页 共 10 页 第二章 导数与微分 145.设 (x)的一阶导数连续,且 (0) 0试讨论f(x) x (x)在x 0点处的二阶可导性(
20、 ax2,bx,c，x 0146. 设 f(x) 求a,b,c的值,使f(x)在x 0处二阶可导 ln(1,x) ，x 0 x2tanx，x 0，147. 设 f(x) 试讨论f(x)在x 0 0 ，x 0， 处的二阶导数存在性( xsin2x， x 0，148. 设 f(x) 讨论f(x)在x 0处的 0， x 0 二阶导数是否存在( f(x) xsinx，求f (x)(149. 设 1 4xsin ，x 0， 150. 设f(x) 求f (x)与f (0).( x 0 ，x 0， 151. 设 f(x)在x a处二阶可导且f (a) f(a) 0, f(x)sin(x,a)f (a) 1,求lim(x a(ex,ea)32 152. 设 f(x)在x 0处二阶可导,且f(0) f (0) 0 f(x)cos2xlim ,1(求f (0)(2x 0sin3x cosx x 0153. 设f(x) 2求a,b,c,的值 ax,bx,c x 0 使f(x)在x 0处二阶可导( x e ， x 0，154.设 f(x) 2求a,b,c,的值使 ax,bx,c，x 0 f(x)在x 0处二阶可导( 第 10 页 共 10 页