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1、高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题六答案详解高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题六答案详解 高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数: (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: 解:由得代入方程得 故是方程的解. 解: 代入方程得 故是方程的解. 解:代入方程得 故不是方程的解. 解: 代入方程得 C2 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解: 证:方程两端对x求导: 128 得 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证:方程两端对x求导:
2、 得 (*)式两端对x再求导得 将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线: 解:当时，y=5.故C=-25 故所求曲线为: 解: 当x=0时，y=0故有 又当x=0时，故有 故所求曲线为: 5. 求下列各微分方程的通解: 解:分离变量,得 dy yl xdx 129 积分得 xx 得 ecx. 解:分离变量，得 积分得 得通解: eyey 解:分离变量，得 积分得 得通解为 解:分离变量，得 cosx 积分得 得通解为 解:分离变量，得 dy 130 积分得 12 得通解为 解: 积分得 得通解为 解:分离变量，得 积分得 即
3、为通解. ( 解:分离变量，得 积分得 得通解为: 6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 解:分离变量，得 积分得 以代入上式得 2 故方程特解为 2 解:分离变量，得 dy sinx 131 x 积分得 将 代入上式得 故所求特解为 2. 7. 求下列齐次方程的通解: 解: 令 dx 原方程变为 dx 两端积分得 lnc 即通解为: (2)xdy x; 解:dy xlnx 令 x， 则dy dx 原方程变为 dudx 积分得 lny 即方程通解为 132 2 解: x 令 x， 则 原方程变为即 xdu x 积分得 12 y2 故方程通解为 1) 3 解: 令 x, 则 dx 原方
4、程变为 即 3u2 积分得 以y x代替u，并整理得方程通解为 (5)dy 133 解: 令 x， 则 dx 原方程变为 分离变量,得 积分得 以y222arcyxanx代替u，并整理得方程通解为到 y 解: dx即 令x ， 则 原方程可变为 即 ydv 分离变量，得 y 积分得 即 c y2 以代入上式，得 即方程通解为 c2. 8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解: dy2y 解: 令，则得 分离变量，得 积分得 即 得方程通解为 以x=0，y=1代入上式得c=1. 故所求特解为 解:设， 则dyd dx 原方程可变为 x 积分得 12 得方程通解为 以x=1，y=2代入上式得c=
5、e2. 故所求特解为 9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解: 解:设，则原方程化为 dY2 令 1) 代回并整理得 解: 作变量替换，令 136 Y 原方程化为 令则得 分离变量，得 积分得 即 代回并整理得 解:作变量替换则dy 原方程化为 dv 代回并整理得 (4)dy 137 解:令则du dx 原方程可化为 du1 分离变量，得 积分得 1 故原方程通解为 10. 求下列线性微分方程的通解: 解:由通解公式 ; 解:方程可化为 由通解公式得 解: 解: 解:方程可化为 138 解:方程可化为 11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解: (1)dy 解: 以代入上
6、式得， 故所求特解为 解: 以x=1,y=0代入上式，得 2e. 故所求特解为 12. 求下列伯努利方程的通解: 139 解:令，则有 dz 即为原方程通解. 解:令 即为原方程通解. 13. 求下列各微分方程的通解: 解:方程两边连续积分两次得 解:积分得 解:令则原方程变为 140 故 2 解:设， 则 dy 原方程可化为 pdp 即 由p=0知y=c，这是原方程的一个解. 当时，dp 1) ec2) x; 解: 1 解: 解:令则得 141 得 x 故 解:令，则 dy. 原方程可化为 dydy 14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 解:令，则 dy, 原方程可化为 y3dy
7、2c1 由知，从而有 142 由得 故 或 解:令，则 原方程可化为 x2 则 以代入上式得 则 当x=1时，y=0代入得 故所求特解为 解: 当，得 以x=0,y=0代入上式得 故所求特解为 2). 解:令，则 143 原方程可化为 dp 以代入上式得 以x=0,y=1代入上式得c故所求特解为 解:令，则 dy. 原方程可化为 dy 即 积分得 1212y 2c1 以代入上式得则 2 以x=0,y=0代入得c ， 故所求特解为 2 即 即 144 解:令 dy 原方程可化为 pdp1 1 13 以代入得 3 故 3 由于故，即 dy y4 1 积分得 以x=0,y=1代入得 4 故所求特解为
8、 15. 求下列微分方程的通解: 解:特征方程为 解得 故原方程通解为 解:特征方程为 解得 故原方程通解为 145 解:特征方程为 4解得 r5 5 故原方程通解为 解:特征方程为 解得 故原方程通解为 解:特征方程为 解得 故原方程通解为 解:特征方程为 解得 故原方程通解为 16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 解:特征方程为 解得 通解为 146 由初始条件得 故方程所求特解为 解:特征方程为 解得 r1 通解为 2 由初始条件得 故方程所求特解为 )e2x. 解:特征方程为 解得 通解为 n5x 由初始条件得 故方程所求特解为 解:特征方程为 解得 通解为 7 由初始条件得
9、 故方程所求特解为 17. 求下各微分方程的通解: 解: 2 得相应齐次方程的通解为 1 令特解为代入原方程得 x, 解得故 x 故原方程通解为 解: 对应齐次方程通解为 令代入原方程得 比较等式两边系数得 则 7 故方程所求通解为 148 解: 对应齐次方程通解为 令代入原方程得 解得 则 故所求通解为 解: 相应齐次方程的通解为 令，代入原方程并整理得 得 则 4xecos2x 故所求通解为 解: 149 相应齐次方程通解为 令代入原方程得 得 则 故所求通解为 解: 对应齐次方程通解为 令代入原方程得 2 故原方程通解为 2x2e2x. 18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: ; 解:特征方程为 得 对应齐次方程通解为 令代入原方程并整理得 得 3 故通解为 将初始条件代入上式得 150 故所求特解为 33sin2x. 解: 对应齐次方程通解为 令代入原方程求得 7 则原方程通解为 72e 由初始条件可求得 c11 故所求特解为 7e2x. *19. 求下列欧拉方程的通解: 解:作变换，即t=lnx, 原方程变为 即 d2y 特征方程为 故 解:设，则原方程化为 d2y 特征方程为 ? 151 故?所对应齐次方程的通解为 又设为?的特解，代入?化简得 故 152