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1、高等数学上册学习心得第三章 中值定理及导数的应用此章节中主要有:罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式。在这一章中除了要掌握这些定理公式外还要熟练掌握导数运用的知识。 1(罗尔定理 如果函数在闭区间内连续在开区间内可导且f,a,=f,b,则至少有一点c使得在该点的导数为0。 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。2(拉格朗日中值定理。 如果函数在闭区间内连续在开区间内可导那么 至少有一点c使得f,c,=f,b,-f,a,/b-a成立。它的几何意义就是:如果连续曲线的弧AB上除两个端点外处处有不垂直与x轴的切线那么在弧上至少有一点c使曲线在该点的切线平行于弦AB。拉格朗日中值定理
2、是微分学中的最基本的定理有着广泛的应用。应用于不等式的证明 3(柯西中值定理。 如果函数f,x,及F,X,在开区间内可导在闭区间内连续且F,X,在开区间内处处不为0那么至少存在一点C使得等式f,b,-f,a,/F,b,-F,a,=f,C,/F,C,成立。 注:拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况。主要应用在书P90。 4(洛必达法则。 该法则主要用来解决型如0/0,?/?这类未定式的极限问题。 如果函数f,x,F,x,满足: ,1, 当x-a时 f,x,F,x,都趋进于a。,2, f,x,F,x,在点a的某个去心领域内都存在且F,x,不等于0, ,3, 导数商的极限存在。 则 函数的极限就
3、是导数商的极限,应该满足三个条件。,详见书P92的定理3.5,当导数商的极限不存在时应采用其他方法求原函数的极限,。其他未定式如:0*?-?0的0次方1的?次方?的0次方均可转化为0/0?/?型的未定式来计算。转化之后再用“函数的极限就是导数商的极限”。 5(泰勒公式。 泰勒中值定理:如果函数在含有x的开区间内具有直到,n+1,阶的导数则当x0在,ab,内时f,x,可以表示为,x-x0,的一个n次多项式与余项Rn,x,之和。表达式在书P98。 最基本的形式为f,x0,/2:*,x-x0,2。泰勒公式中的余项也称为拉格朗日型余项。当泰勒展开式中的x0=0时便得到泰勒公式的简单形式麦克劳林公式。
4、?在这一章中应该熟练掌握泰勒公式的书写及1阶或n阶麦克劳林展开式的书写。 详细介绍在书P99。 6(函数单调性的判别法。 判定定理:如果函数在闭区间内连续在开区间内可导则 若在开区间上导数大于0则函数单调递增。 若在开区间上导数小于0则函数单调递减。 讨论函数单调性的一般步骤是: ,1, 确定函数的定义域。 ,2, 求出导数并找出导数为0的点,该点的X值叫做驻点,和导数不存在的点。,3, 用上述各点将定义域划分为不同的区间再在各个小区间上判断导数的符号从而确定函数的单调性。,例题在书P103例15, 7(函数的极值及其求法。 极值就是说在定义域范围内一个小区间上的最大值和最小值。 极值的必要条
5、件:如果函数在x0处可导且在x0处取得极值则一定有极限为0。 极值的第一充分条件:设函数在x0的一个领域内可导且导数为0则: ,1, 如果对x0左侧邻近的点x有f,x,大于0右侧邻近的点x有f,x,小于0则f,x0,是f,x,的极大值。 ,2, 如果对x0左侧的邻近点x有导数小于0右侧邻近的点x有导数大于0则f,x0,是f,x,的极小值。 ,3, 如果对x0两侧的点x其导数恒为正或恒为负则说明f,x0,不是f,x,的极值。此定理表明如果在x0两侧的导数符号相反则f,x0,一定是极值如果x0两侧的导数符号相同则f,x0,一定不是极值。 极值的第二充分条件:设函数在x0处有二阶导数且f,x0,=0
6、f,x0,不等于0那么,1, 当f,x0,小于0时函数在x0处取得极大值。 ,2, 当f,x0,大于0时函数在x0处取得极小值。 ?什么叫做驻点,(它和极值点有关系)答:极值点的自变量x就是驻点。但是驻点不一定就是极值点的自变量x。 8(函数的最大值和最小值。 最大值就是在定义域内函数值最大的值最小值也一样。 ?求函数在闭区间上最值的一般方法:,1, 求出函数在开区间上的全部驻点和导数不存在的点x1x2x3x4等。 ,2, 计算并比较f,a,f,x1,f,x2,f,x3,f,x4,f(b)的大小,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值 9.曲线的凹凸与拐点. 设函数在a,b上连续,在(a,b)
7、上具有一阶,二阶导数,那么 ,1, 若在(a,b)内,二阶导数大于0,则函数在a,b上的图形是凹的。,2, 若在(a,b)内,二阶导数小于0,则函数在a,b上的图形是凸的。注:判断函数图形的凹凸性应该利用二阶导数大于或小于0来判断。 ? 一般把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点。在拐点处二阶导数是零。求拐点的一般方法是:,与高中判断函数单调性的方法差不多,二阶导数为零的点就是拐点。 ,1, 求出函数的二阶导数。 ,2, 求出二阶导数为0的点和不存在的点利用这些点把定义域分为几部分。 ,3, 考察二阶导数在各个区间上的符号从而确定函数的凹凸性及拐点。例题在书P114例2526。 求拐点的方法简
8、介:首先确定函数的定义域再求出一阶二阶导数然后令二阶导数为零求出X1X2。这两点将定义域分为几部分分别判断二阶导数的符号。10(函数图形的描绘 一般步骤是: ,1, 确定函数的定义域。 ,2, 求出函数的一阶和二阶导数。,3, 求出一阶和二阶导数为0的点和一阶和二阶导数不存在的点利用这些点来划分区间。列表讨论在各个部分上曲线的升降凹凸极值点拐点。,4, 如果曲线存在渐近线则要求出渐近线。 ,5, 综合以上结论与平滑的曲线画出函数的图形。 例题在书P116例2829。 ?本章中证明不等式的方法有多种主要有: ,1,利用拉格朗日中值定理证明。,对中值进行放缩,例题在书上P90 ,2,利用泰勒中值定
9、理,判断余项的符号,3,利用函数的单调性。 ,4,利用函数的极值与最值。,5,利用函数的凹凸性。,理论支持在书P112的定理3.2,. 11(曲率 弧微分公式在书P119的?部分。曲率的计算公式:平均曲率的极限就是曲线在点M处的曲率。,?s-0, 平均曲率k=|?a/?s|。其中?a表示切线转过的角度。?s表示增加弧的长度。经过多次推导可知:曲率的计算公式是? 曲率圆与曲率半径. 曲率圆的定义:设函数f(x)在M处的曲率为k,在点M处的曲线的法线上,在曲线凹的一侧取一点D,使|DM|=1/k=P,P表示曲率半径,以D为圆心,DM为半径的圆称为曲线在M处的曲率圆.DM为曲率半径. 注:,1,曲率与曲率半径的关系是:1/k=p。,2, 曲线与它的曲率圆在同一点处具有相同的切线曲率凹向因此可用曲率圆在带内处的一段圆弧来代替曲线弧。