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1、高等数学(同济第六版)上册_期末_含答案高等数学上册期末 填空题 3xecos2x,31. lim,x02sin2x,x,22.曲线的拐点是 y,xe(2,2e)fx(),x,03.设在处可导且则 ,limf(x)f(0),0,f(0)x,0x1,cos2x,4.曲线在处的切线方程为 y,，x(,1，)yx,，12222xx,15.曲线y,有垂直渐近线 和水平渐近线 y,12x,12xxxx,6.设可导，则 f(u)dy,y,sinf(e)sin2f(e),f(e),edx4x27.edx, 2(e，1),0fxhfxh，,()(3)00,128.若，则 limf(x),30h,0h，,pxd
2、x9. 若收敛，则p,1p,1,1的范围是 px2，3x，1lim(),10. ex,x2，11F(2x)，c11.设f(x)dx,F(x)，c，则f(2x)dx, ,222xxxlnx，lnx，cxf(x)dx,12.设的一个原函数是，则 f(x),4221,x,x,01f(x)dx,f(x),13.设，则 ,16xx,0,22x14.过点且切线斜率为的曲线方程为 (1,3)y,x，1sinx,x,0x,15.已知函数，则当 时，函数是无穷小;当 f(x)f(x),x,a,x,0,x,0x,01a, 时，函数f(x)在处连续，否则为函数的第 (一)类间断点。 1f(x)dx,F(x)，cf(
3、arcsinx)dx,16.已知F(arcsinx)，c，则 ,21,x1 1323x,01,cosx17.当时，与是等价无穷小，则 a,(1，ax),123xsint,dt,0t18.是连续函数，则 f(x)1,a,x0,3x,a,x0,1112,19.在上连续，且，则 f(1),0,f(x)dx,1xf(x)f(x)dx,f(x)0,1,00211121,提示: xf(x)f(x)dx,xf(x)df(x),xf(x),f(x)d(xf(x)0,0001112,，移项便得。 ,f(x)f(x)，xf(x)dx,f(x)dx,xf(x)f(x)dx,000x21x,(e,1)20.，则 ，
4、,(x),xedxe,(1),(1),022df(x)11,21.，则 ,f(x),2xdxx1122,f(x),2x,f(x),提示: 2x2x,322.曲线在点处的切线平行于直线，则 y,f(x)(2,f(2)y,3x，1f(2),fxxfx1，,()()00,23.设，则 limx,0,f(x),arctanx0x,0x2x(1，x)00x，3y,2ln,324.的水平渐近线是 y,3xxx25.函数的导数为 y,xx(lnx，1)，,21x,xedx,26. ,0221xsinx1(x，)dx,27. 2,11，x，,11dx,28.广义积分 3,12x2x1(1,),129.的积分曲
5、线中过的那条曲线的方程 _ f(x),x2212(e，1)sxs,30.设为曲线y,xlnx与x,1,x,e及轴所围成的面积，则 41,f(2x)，cf(2x)dx,31. ,211y,1,x,0,x,y,ln(e,)32.曲线的全部渐近线为 ex2 32233.曲线与所围图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积 ,yy,xy,x10534.点到平面的距离为 (0,1,1)2x，y,2z，2,03,10,35.设向量，则当 时，;当 a,ba,2i,j，k,b,4i,2j，,k,。 2,a/b1222,22,x，y，z,1,x，y,本题不作要求36.空间曲线在平面上的投影曲线方程为 xoy,4222z
6、xy,3(，),z,0,5,2,(,)37.设，则 219 a,b,ab,2a,3b,3,a38.设向量，则在上的投影为 b22a,2,1,2,b,3,4,5,1,39.已知向量和向量共线，则 ,m,15,n,a,mi，5j,kb,3i，j，nk5,31040.设平行四边形二边为向量，则其面积为 a,1,3,1,b,2,1,3,31，向量的方向余弦为， 41.设点A(4,0,5),AB,214ABcos,cos,14142B，则点坐标为 cos,(10,2,1)1422,3x，2y,12本题不作要求42.曲线绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程为 ,z,0,222 3x，3z，2y,12,a/ba
7、,b,0a,2,b,3,43.设且，则 ,6,a，b,x，1,x,0,05,f(x),0,x,0,f(x，1)dx44.设= ,2,62,x,x,0,x,sinx,(x),sin(x,t)dt,(x),45. ,0二.选择题 ,nC1.设lim,2005，则,的值为( ) ,n,nn(，1),2004112004112004C.,A.,2004,D.,B., 20052005200520052005200520053 1,2,xcos,0,x,1x,02.设，在处( ) Afx(),x,x,1,x,0,A.B.C.D.连续，不可导 连续，可导 可导，导数不连续 为间断点 ,x,03.曲线在处的
8、切线与轴正方向的夹角为( ) By,，sinxx2,C.0D.1 AB.244.设在上连续，内可导，则至少存在一点，有 Af(x)0,1(0,1)f(0),1,f(1),0,(0,1)设利用定理FxxfxRolle()(),f()f()f()f(),B.C.D., A.f(),f(),f(),f(),232B5.若，则( ) a,3b,0f(x),x，ax，bx，c,0A.B.C.D.无实根 有唯一实根 三个单实根 重根 D6.函数在处取得极大值，则( ) x,xf(x)0,C.D. 或不存在 A.f(x),0B.f(x),0f(x),0,f(x),0f(x),000000sinxD7.设的导
9、函数为，则的一个原函数为( ) f(x)f(x)A.1，sinxB.x，sinxC.1，cosxD.x,sinx ,tf(t)A8.设,则( ) dt,lnf(t),cost,f(t)A.tcost,sint，cB.tsint,cost，cD.tsint，c C.t(cost，sint)，c2x2,C9.设连续，则( ) F(x),f(t)dtf(x)F(x),042442 A.f(x)B.xf(x)C.2xf(x)D.2xf(x)C10.下列广义积分收敛的是( ) ，,，,，,，,1x1ln1.AdxBdx. Cdx Ddx ,2,eeeelnxxx(ln)xxlnxx，,dxC,11.广义
10、积分( ) x,x,0ee，,B.,D.AC. 发散 24C12.下列函数中在区间0,3上不满足拉格朗日定理条件的是( ) 4 2x2 A.2x，x，1B.cos(1，x)C.C.ln(1，x)2(1,x)C13.求由曲线,直线所围图形的面积为( ) y,lnxx,0,y,lna,y,lnb(b,a,0)22A.a,bC.b,aD.b，a B.b,a11,xx14.若，则( ) f(x)edx,e，cBf(x),1111A., B. C.D.,22xxxx15.点关于坐标原点的对称点是( ) A M(3,2,1)A.(,3,2,1)B.(,3,2,1)C.(3,2,1)D.(,3,2,1),C
11、a16.向量与向量的位置关系是( ) a，bA.B.C.D.共面 平行 垂直 斜交 Ax，Cz，D,0B17.设平面方程为，其中均不为零，则平面( ) A,C,DA.B.C.D.平行于轴 平行于轴 经过轴 经过轴 yyxxAx，By，Cz，D,0,1111C18.设直线方程为且，则直线( ) A,B,C,D,B,D,0,111122ByD，,022,A.B.C.D.过原点 平行于轴 垂直于y轴 平行于轴 xzx，3y，4zC,19.直线和平面的位置关系为( ) 4x,2y,2z,3,2,73A.B.C.D.斜交 垂直 平行 直线在平面上 fxfa(),()20.已知，则在x,a处 (B) li
12、m,12x,axa(,),CAB.导数存在且 .取极大值 .取极小值 f(x)f(a),0f(x)f(x)D.导数不存在 f(x)三.计算题 1tlntdtxlncos111,2xcosxlimlim(，sin),1. # 2. 42x,x,00xx2x811,22x2lim(cosx)0lim(x，1,x,1)e3. 4. ，x,x05 ,x25. lim(1)tan,xx,12,xx1,6. 求=1 lim，,0xxlnxxx(1，lnx)xxlnx0解:一)原式， ,lim,limx,lime,e,1，,x0x0x0lnx，1xlnxe,1xlnx二)原式 ,lim,？limxlnx,0
13、,？e,1xlnx,x,0，,x0x0xlnx。 ,12xx27.设为连续函数，计算 limf(t)dtf(x)af(a),ax,a,xax8. sin(lnx),cos(lnx)，c sin(lnx)dx,2,a,22249.1，cos2xdx 10.xa,xdx a 22,00162xcosxcoscosx,xxx，(sin),sinlnsin，11.设，求 yy,(sinx)xsin2lnyx2t,2xcosxdx12.设，求 edt，costdt,0dy,00,22,13.设在上连续，求积分 f(cosx)cosx,f(cosx)sinxdxf(x)0,1,2,22提示:原式 ,f(c
14、osx)cosxdx，sinxdf(cosx),22,222,f(cosx)cosxdx，sinxf(cosx),f(cosx)cosxdx ,2f(0),2223,1x35x,22dxlnx,4x，8，arctan，c14. 2,4，8xx222,(),xft,dy,315.设，其中可导，且，求 ff(0),0,3tdxy,f(e,1),t,0xarcsinx2arcsinx,，ln1,x，c16.dx 3,21,x22(1,)x,24sinx,sinxdx17. ,0,22,sinxcosxdx,sinxcosxdx,1提示:原式 ,006 ln22,1x18. 发散 19. 2(1,)e
15、,1dxdx2,004(1,)x,1dx334220. 21. arccos，c,(x，4)cosxdx,2,2xxx,12ln22111ln3x2x3,22. 23. dxln(3)xc，,，ln2x,edx,0x242，12xdx,xx24. 25.dx ,，eecarctanx2x,12xe(1，e)x,，xxcln26.设，求 f(x)f(e),1，x13335327. xcosxdx,，xxxcsincos,3arcsinx2,，arcsin1lnxxxc28. dx,22,x1x33dx12229. ,，,，(1)(1)xxc,3x，1,x,11dx1030.,，lnln1xxc
16、10,10x(1，x),31.已知的一个原函数为，求xf(x)dx f(x)(1，sinx)lnx,，,，xxxxxxcosln1sin(1sin)ln,11,x1x2xlndx,，,，ln(1)xxc32. ,，1x21，xln(x，1)33. dx,，,，2ln(1)44arctanxxxxc,x,xsinae,12,dx34. 35.dx xxsincos,220024，ee，,xax本题不作要求36.已知为连续函数，令 ,(x)2xt,(t1)(u)dudt,00,x0,x,0f(x),试讨论f(x)在处的连续性与可微性。 2,ln(1x)，,0,x0,连续，可微 12f(1),2xf
17、(x)dxf(x)0,1,(0,1)37.设在上可导，且满足，证必存在一点，使 ,07 ,f(),。 ,提示:利用积分中值定理和Rolle定理f(),38.设在上连续，单调减且取正值，证:对于满足的任何有 f(x)0,10,1,。 ,f(x)dx,f(x)dx,0,提示:,fxdxfxdxfxdxfxdxfxdx()()()()(),，,00, ,，,fxdxfxdx()()(),0,39.设在上连续，单调不减且，试证: f(x)0,，,)f(0),0x1,n,tf(t)dt,x0,n,0在上连续且单调不减。() 0,，,)F(x),0,x,0,x,0,11x40. , xln(1，e)dx,
18、13xt,111122,txx 原,，,，,，(ln(1)ln(1)ln(1)tedtxexdxxedxxdx,1111,21x21,1,t,41.设，求xf(x)dx。 (1)ef(x),edt,01422,ba,11,x,0,xtx,1b,232tt,xdtxdx,(a,b)42. 43. ,220a11ab,xtx,x,0,23,212(1，x)f(x)dx44.设在上连续，且对，求 f(x)(,，,),x,y,f(x，y),f(x)，f(y),1提示:为奇函数fx(),2sinx4,45.Idx ,x,1，e42222,xxsinsinsin(11)sinxxexex，,提示:fxfx
19、(),(),xxxx1111，eeee2sin1x222 ,sinsin()()sinxxfxfxx,x12，e,124原,sinxdx,242xttesintdt,1,0lim,46. 6xx,0xe3,Prjr,1447.设向量，向量满足，且 a,2,3,1,b,1,2,3,c,2,1,2r,a,r,brc8 ,求向量。 14,10,2r48.1)求过轴和点的平面方程， (,3,1,2)x，3y,0z2)求过三点的平面方程。 P(2,3,0),Q(,2,3,4),R(0,6,0)3x，2y，6z,12,049.求过点且垂直于平面的平面方程。 P(2,1,1),Q(1,2,3)2x，3y,5
20、z，6,09x,y，3z,16,0x,4y，3zL:,50.求过点且通过直线的平面方程。 A(3,1,2)8x,9y,22z,59,052151.求与平面平行且与三坐标所构成的四面体体积为的平面方程。 12x，y，2z，5,03 2x，y，2z,23,0x，2z,1,0,52.求过点且与直线平行的直线方程。 L:M(2,4,0),y,3z,2,0,x,2y,4z, ,231522(,)在平面上的投影。 53.求点A(,1,2,0)x，2y,z，1,0333x，5y，z,0,L:54.求过直线且与平面成角的平面方程。 x,4y,8z，12,0,4x,z，4,0,x，20y，7z,12,0z,4本
21、题不作要求55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面的距离，该动点轨迹表示何种曲面, 22 旋转曲面 x，y，8z,16,x四.列表讨论函数的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。 y,x,e1,x,sinx,0,x,(x),f(t)dt五.设，求在内的表达式。 f(x),(,，,),2,0,0,x0orx,0,x0,x,1,(x)f(t)dt(cosx1),0x, ,02,1,x,xd,(x,t)f(t)dt,f(x),f(a)六.设f(x)在(,，,)内连续，证明。 ,0dx22七.设 D:y,2x,x,a,x,2,y,0;D:y,2x,y,0,x,a,0,a,2129 1.试求绕轴
22、旋转得旋转体体积;绕轴旋转得旋转体体积; yDxVDV11222.问当为何值时得最大值,并求该最值。 aV，V12129454a,1， )V,(32,a)V,(V，V,a2max1125522,八.已知，求。 f(x)f(sinx),cos2x，tanx2sinxu22,f(sinx),1,2sinx，,f(u),1,2u，提示:， 21,sinx1,u2 f(x),x,lnx,1，cY 2九.设与相交于第一象限(如图)。 y,cy,2x,x1.求使得两个阴影区域面积相等的常数; II c2.在1的情况下，求区域I绕轴旋转的旋转体体(b,c) x积。 C I III I X 提示:， s,s,
23、s,sIIII，IIIII，III0 bb1222cdx(2xx)dxcbb,，又c,2b,b， ,0033,1333y,x,x,b,c,， ,41224222,y,2x,x,41,V,。 2402,f(x)dx,，2,f(x),x,f(x)cosxdx十.设，证:。 ,002,A,2f(x)cosxdx,A提示:设， ,0A十一.设直线与直线及所围成的梯形面积为，求，使这块面积绕x轴旋y,ax，bx,0,x,1y,0a,b转所得体积最小。 (a,0,b,0)211aa22()(),()V,ax，bdx,，ab，bA,ax，bdx,，b提示:， ,0032a,0,b,A时，体积最小 22十二.
24、求抛物线(0,1)在内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最y,x，1y,x，1小。 10 2x，122提示:切线， Y,(,x，1),2x(X,x),A(,0),B(0,x，1)2x2211(1)3x，2,， (1)()0s,x，dx,sx,x,0223x234所求切线为 y,x，33xz，1,y，2,十三.求通过直线与平面的交点，且与平面 x，y，z,1523x，4y，4z，7,垂直相交的直线方程。 2x,3y，4z，5,02,34xdx十四.证明x3,1,0在区间内有唯一的实根。 (0,1)2,0x1，xdx提示:令F(x),3x,1,F(0),F(1),0，再证唯一性。 2
25、,01，xx1n,nn本题不作要求 十五.设可导，且f(0),0,F(x),tf(x,t)dt，证: f(x),0F(x)1,lim,f(0) 2n,x0x2nnnnxtu,0xx111nnn,提示:Fxtfxtdtfudufudu,()()()() n,00xnn22x(1，x)x(1x)，十六.设满足求。 f(x)dx,x,x,0,f(x)f(2)提示:对求导f(x)dxx,00,2aa132322a,0xsin(x)dxxf(x)dx,xf(x)dx,f(x)十七.证:连续，并求。 ,000222xt,aaa1132222xfxdxxfxdxtftdt,所求值为()()()1 ,0002
26、22x,t,2十八.求f(x),(2,t)edt的最大、小值。 最小值为最大值为1,1，e,01,2xf(2x)dx已知十九.求。 f(0),1,f(2),3,f(2),5,02，,，,sinx,sinx,dx,dx二十.已知求。 2,002x2x1提示:用分部积分，先将凑入微分 2x21x2,t同题41xf(x)dxf(x),edt二十一.设,求。 ,01xlnt112f(x),dt,x,0,f(x)，f(),(ln)x二十二.求。 ,12x1，t11 ,二十三.1)设在上连续，在内可导，且，证: f(x)0,1(0,1)f(0),0,0,f(x),11123。 (f(x)dx),f(x)d
27、x,00提示:可利用已知条件知fx()1,bb222)设，证:。 (f(x)dx),(b,a)f(x)dxf(x),Ca,b,aaxx22设Fxftdtxaftdtxab()()()()(,),aa提示: ,Fx()0bb123)设，且，证: f(x)dx,dx,(b,a)f(x),Ca,bf(x),0,aaf(x)xx12 提示:设FxftdtdtxaFx,()()()(),aaft()bb4) 设,且严格单调增加，证:(a，b)f(x)dx,2xf(x)dx。 f(x),Ca,b,aaxx 提示:设FxtftdtaxftdtFx()2()()()(),，,aabM2,f(x)dx,(b,a
28、)5) 设在上可导，且，证:。 f(x)a,bf(x),M,f(a),0,a2提示:有微分中值定理:xabfxfafxaax,()()()()(,),bbfxdxfxadx()()(),aa二十四. 设在上连续，在内可导，且 f(x)0,(0,),f(x)cosxdx,f(x)sinxdx,0，证明:一个，使得。 ,(0,)f(,),0，,00,sinx,0f(x)sinxdx,0证:在内，由可知，在内不能恒正或负，由于的连(0,)f(x)(0,)f(x),0续性可知在内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。 f(x)(0,)x,(0,)x,x反证:若是的唯一零点，则当, f(x)00,sin(x,x)f(x)dx,0sin(x,x)f(x)就恒正或负，于是， 00,0,sin(x,x)f(x)dx,(sinxcosx,cosxsinx)f(x)dx而 000,00,cosxsinxf(x)dx,sinxcosxf(x)dx,0，矛盾， 00,00所以f(x)(0,)在内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。 12