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1、高等数学复旦大学出版社习题答案三习题三 5fxx()lnsin,1. 验证:函数在上满足罗尔定理的条件，并求出相应的，使,66,f()0,. 555fxx()lnsin,证:在区间上连续，在上可导，且，,(,)ff()()ln2,66666655,f()0,即在上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点使.,(,),6666cosx5,f()0,事实上，由得故取，可使. ,fxx()cot0,x,(,),2sinx266,2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件,有没有满足定理结论中的, 2,xx, 01,? ; fx() 0,1 ,0, 1, x,fxx()1, 0,2 ,?
2、 ; sin, 0xx,? fx() 0, . ,1, 0, x,fx()fxxx()2(01),0,1解:? 在上不连续，不满足罗尔定理的条件.而，即,f()0,在(0，1)内不存在，使.罗尔定理的结论不成立. xx,1, 12,? fx(),1, 01.,xx,f(1)fx()(0,2) 不存在，即在区间内不可导，不满足罗尔定理的条件. 1, 12,x, 而 fx(),1, 01.x,f()0, 即在(0，2)内不存在，使.罗尔定理的结论不成立. ff(0)1(,)=0fx()0, ? 因,且在区间上不连续，不满足罗尔定理的条件. ,fxxx()cos(0,)f()0, 而,取，使.有满足
3、罗尔定理结论的,2. ,2故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件. fxxxxxx()(2)(1)(1)(2),，3. 函数的导函数有几个零点,各位于哪个区间内, fffff(2)(1)(0)(1)(2)0,，则分别在,2，,1，,1，0，解:因为0，1，1，2上应用罗尔定理，有,(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),1234,fx()使得.因此，至少有4个零点，且分别ffff()()()()0,1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),位于内. 34. 验证:拉格朗日定理对函数在区间0，1上的正确性. fxxx()2,，fx() 验证:因为在0，1上连续，
4、在(0，1)内可导，满足拉格朗日定理的条件. 2,fff(1)(0)()(10),由得 322,，,11解得，即存在使得拉格朗日定理的结论成立. ,33,fx()fafx()0,()0,fbfa()(),5. 如果在a，b上连续，在(a，b)内可导且证明:. ,fx()证明:因为在a, b上连续，在(a，b)内可导，故在a，x上应用拉格朗日定理，,fxfa()(),，,(,),()axaxb则，使得, ,f()0,xa,fxfa()()0,fbfa()(),于是,故有 ,fafcfb()()(),fx()acb,6. 设，且,在a，b内存在，证明:在(a，b)内至少,f()0,有一点，使. ,
5、fx()fx() 证明:在a，b内存在，故在a，b上连续，在(a，b)内可导，且,fafcfb()()(),，故由罗尔定理知，使得，,(,)acf()0,，,(,)cb112,fx()使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，f()0,(,),21212,f()0,f()0,，使，即在(a，b)内至少有一点，使. ，,(,)12fx()fafb()()0,7. 已知函数在a，b上连续，在(a，b)内可导，且，试证:在(a，,b)内至少有一点，使得 ,ffab()()0, (,),，,. xFx()FaFb()()0,证明:令在a，b上连续，在(a，b)内可导，且，Fxfx()()e,，,(,)
6、abF()0,由罗尔定理知，使得，即,即ff()e()e0,，,ffab()()0, (,).,，, 8. 证明恒等式: 2x 2arctanarcsinxx，, (1).21，x2x, 证明:令fxx()2arctanarcsin,，21，x2212(1)22，,xxx,fx(),，,2221(1)，xx2x21(),2 1，x22 0,2211，xx2xfxC(),fx(),f(1),故，又因,所以,即 2arctanarcsinx，,.21，x,fxx()sin,gxxx()cos,，9. 对函数及在上验证柯西定理的正确性. 0,2,fx()gx()gxx()1sin0,验证:，在上连续
7、，在内可导，且，满0,(0,)22足柯西定理的条件. ff()(0),f(),2cos,2,由 ,得 , cot(),g(),21sin42,gg()(0),2,2故满足柯西定理的结论. ,2arctan(0,)222fx(),ab(1)n,(,)ab10. 设在上有阶连续导数，在内有阶导数，且n(1)n,(,)ab,试证:在内至少存在一点，使fbfafafa()()()()0.,？()n. f()0,fx(),ab证明:首先，对在上应用罗尔定理，有，即，使得aab,(,)aab,11,fx(),ab;其次，对在上应用罗尔定理，有，即， fa()0,aab,(,)aaab,12112,(,)a
8、bn,1使得一般地，设在内已找到个点其中fa()0; ,？aaa,？2121n,(1)n,(1)n,使得，则对在上应用fa()0,aaaab,？,fx()0,ab121n,n,1n,1()n使得. 罗尔定理有,(,)(,),ababf()0,n,111. 利用洛必达法则求下列极限: sin3xlnsinx? ; ? ; limlim3x,tan5x(2)xx,2xe1,xsinsinxa,lim? ; ? ; limxx,0xa,x(e1),xa,1，ln(1)mmxa,x? lim; ? ; limnn,x,，,xaxa,arcxcotlnxlimsinlnxx? ; ? ; lim，x,0
9、x,0cotxxe11x,? ; ? ; lim()lim(ln)x，,0x,0xx,e1x12xx? ; ? ; lim(1sin)，x,xlim(arctan),，,xx0332limlnln(1)xx,，lim(1)xxxx，,? ; ? ; ，x,，,x,01xxsinsinxee,2xlim()lim? ; ? ; ,x,0x0xxx,sin111xx，x? lim(1). ,xe03cos33x解:? 原式=. ,lim2x,5sec55x21cot1csc1xx,? 原式=. ,limlim4-2428x,xx,22xxe1e11,? 原式=. limlimlim,xxxx,00
10、0xxxxxxe1e2ee22,，cosx? 原式=. ,limcosaxa,1m,1mxmmn,lim,? 原式=. an,1xa,nxnx1,()221，x，1xx,? 原式=limlim1. 2xx,，,，,1xx，,2，1x12xsinx? 原式=. ,limlim02，xx,00,xxcsc1xlnx? 原式=. ,limlim0，xx,00,xxxcsccsccot22xxxx2xxeeee,xx2ee1,lim=lim 原式? =limx2,xx00,x0xx(e1),x22xx4ee3, . =lim,x,022x? 原式= lim(1ln),x，,0xx 令 yx,(1ln)
11、11,()x,ln(1ln)xx,1lny,limlnlimlim，xxx,00011,2 xxx1, limlim0，xx,001x,1ln,x0 ?原式=. lime1y,，x,02x? 令，则 yx,(arctan)211，,xlnlnarctan2xx，arctan1y,limlnlimlimxxx,，,，,，,11, 2xx2x12, lim2x,，,xx，arctan12, ?原式=. e1xyx,，(1sin)? 令，则 cosx，ln(1sin)x，1sinx ,limlnlimlim1yxxx,000x1,e=e ?原式=. 1lnxx,x? 原式=lim=lim()0 ,l
12、im(ln)limxx，xx,00xx,0011,2xx1113，,1123xxx? 原式 ,limx,，,1x2,11111,23423，,，,xxxx =lim(1)(23)=23x,，,xxx33sinsinxxx,sinxe(e1),e(sin),xx0? 原式 ,lim=lim=e=1,x,0x0xx,sinxx,sin12sinxxy,()? 令，则 x11cosx,xx,lnsinlnsinxxlimlnlimlimy,2xxx,000xx2xxxxxxcossincossin, limlim, 23xx,002sin2xxx2cossincos1xxxxx, limlim.,2
13、2xx,00666xx1,6?原式=. e11111xxxyx,，yx,，,? 令，则lnln(1)1 (1)xe1,1xx，,ln(1)x1，ylimlnlimlim,2xxx,000 xx2111, lim.x,0，x21212. 求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有( ). 12xsinkxx? ; ? ; limlim(1)，x,，,0xsinxxxx,ee,xx,sin? ; ? lim.limxx,x,x,，,ee，xx，sin1112xx,sin2sincos11xxx解:? ?不存在,(因，为有界函数) ,cossinlimlimxx,00xxxxsincos12xsin1x
14、 又, ,xlimlimsin0xx,00xxsin故不能使用洛必达法则. xxx,sin1cos? ?不存在, limlim,xx,xxx，sin1cossinx1,xx,sinx, 而limlim1. xx,sinxxx，sin1，x故不能使用洛必达法则. xxxxxx,eeeeee,，,? ? limlimlim,xxxxxx,xxx,，,，,，,eeeeee，,，利用洛必达法则无法求得其极限. xxx,2ee1e,而limlim1,. xxx,2xx,，,，,ee1e，故答案选(2). 2xmxn，lim513. 设,求常数, 的值. mnx,11x,2xmxn，2lim510，,mn
15、解:要使,成立，则,即 lim()0xmxn，,x,1x,11x,2xmxnxm，2又 limlim25,，,mxx,11x,11mn,3,4得 fxhfxfxh()2()()，,，,fx()14. 设二阶可导，求. lim2h,0h解: ,fxhfxfxhfxhfxh()2()()()()，,，,，,limlim,2hh,00hh2,1()()()()fxhfxfxhfx，, lim,，h,02hh,fxhfxfxhfx()()()()，,1 mlim， li,hh,00hh,21, ()(),，fxfx2, ().,fx15. 确定下列函数的单调区间: 32(1) ; yxxx,26187
16、(,),，,解:所给函数在定义域内连续、可导，且 2, yxxxx,，,612186(1)(3),(,1),(1,3),(3,),，,y,在内，分别取+，+可得函数的两个驻点:xx,1,312(,1,3,),，,1,3,号，故知函数在内单调增加，在内单调减少. 8(2) ; yxx,，,2 (0)x8,x,0解: 函数有一个间断点在定义域外，在定义域内处处可导，且，则函数y,22x,y,02,)，,2,)，,(0,2yx,2有驻点，在部分区间内，;在内0，故知函数在内单(0,2调增加，而在内单调减少. 2yxx,，ln(1)(3) ; 1,(,),，,(,),，,y,0解: 函数定义域为，,故
17、函数在上单调增加. 21，x3(4) ; yxx,，(1)(1)12,(,),，,解: 函数定义域为,，则函数有驻点: ,在yxx,，,2(1)(21)xx,1,211,y,0y,0内， ，函数单调减少;在内， ，函数单调增加. (,)，,22nx,(5) ; yxnx,e (0,0)nxnxxn,11,0,)，,解: 函数定义域为， ynxxxnxeee(),xxn,0,0,ny,0,n，,y,0函数的驻点为,在上，函数单调增加;在上，函数单调减少. yxx,，sin2(6) ; (,),，,解: 函数定义域为, ,xxxnnn，,，,sin2, , ,Z,2y, ,xxxnnn,sin2,
18、 , .Z,2,yx,，12cos21) 当时， ，则 xnn,，,21,; yxxnn,，0cos2,23,. yxxnn,，0cos2,232,yx,12cos22) 当时， ，则 xnn,21, yxxnn,0cos2,2261,. yxxnn,0cos2,26kk综上所述，函数单调增加区间为， , ()，,kz223kk函数单调减少区间为. , ()，,kz232254(7) . yxx,，(2)(21)(,),，,解: 函数定义域为. 4453,yxxxx,，,，,5(2)(21)4(2)(21)2 34,，,(21)(1811)(2)xxx111函数驻点为, xxx,2123218
19、1,y,0在内， ,函数单调增加， (,，,2111,y,0在上， ,函数单调减少， ,21811,y,0在上， ,函数单调增加， ,218,2,)，,y,0在内， ,函数单调增加. 111111故函数的单调区间为: ，. (,)，,22181816. 证明下列不等式: sintan2;xxx，,(1) 当时， 0,x22(1cos)(coscos1),，xxx,fxxxx()sintan2,证明: 令则, fx(),2cosx,fxfx()0,(),fxf()(0)0,当时， 为严格单调增加的函数，故, 0,x2sin2tan2.xxx,即 2x,x01,xesin1.，,，(2) 当时，
20、x22x,x,x,()=esin1，,证明: 令,则, fxxfxxx()=ecos,，,2,xx,fx(),则为严格单调减少的函数,故fxxx()=esin1e(sin1)0,，,fxf()(0)0,fx()fxf()(0)0,即为严格单调减少的函数,从而,即2x,xesin1.，,， x2x 证明:不等式17. ? ,，,ln(1) (0)xxx1，xfxx()ln(1),，,(0,),x证明:令在0，x上应用拉格朗日定理，则使得 ,fxffx()(0)()(0), xxx0,xx即ln(1)，,x,因为，则, ,11x,1，x即 ,，,ln(1) (0)xxx1，xabn,0,1.? 设
21、证明: nnnn,11 nbababnaab()().,n，,(,).ba证明:令,在b，a上应用拉格朗日定理，则使得 fxx(),nnn,1 abnabba,(), (,)nnn,111ba,因为,则, nbabnabnaab()()(),nnnn,11即 nbababnaab()().,ab,0? 设证明: abaab, ,ln.abbfxx()ln,，,(,).ba证明:令在b，a上应用拉格朗日定理，则使得 1 ,lnln()abab,1111abab,ba,因为，所以, , ()ab,abababaab,即. ,lnabbx,0? 设证明: 1 11.，,，xx2xx,0,证明:令，,
22、应用拉格朗日定理，有 fxx()1,，,fxffxx()(0)()(0), (0,), xx,fxfxf()()(0),，,，11,， 2,21，1即 11.，,，xx2sinxx,18. 试证:方程只有一个实根. fxxx()sin,fxx()cos10,fx()fx()证明:设，则为严格单调减少的函数，因此f(0)0,fx()fx()x,0x,0至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，sinxx,也就是只有一个实根. 19. 求下列函数的极值: 2(1) ; yxx,，23,yx,22y,0x,1解: ,令，得驻点. ,y,20y(1)2,x,1又因，故为极小值点，且极小值为
23、. 32(2) ; yxx,232,y,0解: ,令，得驻点, yxx,66xx,0,112,yy,0,0yx,126, xx,01y(1)1,y(0)0,，极小值为. 故极大值为32(3) ; yxxx,，261872,解: , yxxxx,，612186(3)(1),y,0令，得驻点. xx,1,312,yy,0,0yx,1212, xx,13y(1)17,y(3)47,故极大值为，极小值为. yxx,，ln(1)(4) ; 1,y,0x,0解: ，令，得驻点. y,101，x1,y(0)0,yy,故为极大值. ,02x,0，x(1)42(5) ; yxx,，232,解: ， yxxxx,
24、，,444(1),y,0令，得驻点. xxx,1,0,11232,yxyy,，,124, 0,0, xx,10y(1)1,y(0)0,故为极大值，为极小值. (6) ; yxx,，,113,y,0(,1,解: ,令，得驻点且在定义域内有一不可导点，y,1x,1x,21421,x33335,y,0y,0当时， ;当时， ,故为极大值点，且极大值为. x,x,x,y(),144444x,1x,1因为函数定义域为，故不是极值点. 13，xy,(7) ; 245，x125,x12,y,0解: ,令，得驻点. x,y,235(45)，x1212121,y,0y,0当时， ;当，,故极大值为. x,x,y
25、()205,555102344xx，(8) ; y,2xx，1,，xx(2)x，1,解: , y,y,，3222(1)xx，xx，1,y,0令，得驻点. xx,2,01222(22)(1)2(21)(2),，xxxxxx,y, 23(1)xx，,yy,0,0, xx,208y(0)4,故极大值为，极小值为. y(2),3x(9) ; yx,ecosx,解: , yxx,e(cossin),y,0令，得驻点. xkk,，,？ (0,1,2,)k4x,yy,0,0， yx,2esinxkxk,，,，2(21)44k，224yx,()e故为极大值点，其对应的极大值为; xk,，2 k22k24k，(
26、21)24yx,()e为极小值点，对应的极小值为. xk,，(21) k，2121k，241x(10) ; yx,1111ln,xxx,解: yxxx,(ln), 2xx,y,0令，得驻点. x,e,y,0y,0当时， ，当时， , x,ex,e1e故极大值为y(e)e,. xx,(11) ; y,，2eeln2xx,y,0解: ,令，得驻点. y2ee,x,2xx,yy,，,2ee,0, ln2x,2ln2故极小值为. y()22,223(12) ; yx,2(1)21,(,),，,y,0解: ，无驻点. y的定义域为，且y在x=1处不可导，当x1时，y,33x,1,y,0y(1)2,当x0
27、时，函数的最大值为，最小值为; ,aa,22bb,y(0)0,y,当a0，试证:的最大值为. fx(),，11，1，axxa,11,，,0x,11,，xxa,11fx(),证明: ，,0xa,11，,，xxa,11，,xa,11，,xxa,11,fx()0,，,当x0时，; 22，11,，xxa11,fx(),，当0xa时，, 22，11，,xxa2，alim()0fx,，且. 又ffa(0)(),x,1，afx()而的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得 2，a42，afx(),故 . ,0max,1，a21，aa26. 在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高
28、. 2h2r,解:设圆柱体的高为h, 则圆柱体底圆半径为， 422,h232Vhrhh, r,44,23,V,0hr,.令, 得 323r即圆柱体的高为时，其体积为最大. 3227. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am，问底宽x为多少时，才能使所用建造材料最省? 解:由题设知 21x,xya，, ,2,212ax,a18得 yx,xx812题图 截面的周长 12112aalxxyxxxxxx()2,，,，,，,，,2424xx 2a,lx()1,，,24x8a,x,lx()0,令得唯一驻点，即为最小值点. 4，8ax,即当时，建造材料最省. 4，28.
29、甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短, 解:所需电线为 222Lxxxx()11.5(3)(03),，, 22 xxxx2.25(3)(3)1，,，,Lx(),22xx，,12.25(3)13题图 在0x2时，即曲线在内是凹的; ,(,2,y,0当x2时，即曲线在内是凸的. ,2因此(2，2e)为唯一的拐点. 4x; (3) (1)eyx,，32xx,解: yxyx,，,，,4(1)e, e12(1)0(,),，,故函数的图形在内是凹的，没有拐点. 2(4) y=ln (x+1); 222(1)xx,yy, 解: 2221(1)，xx,y
30、,0令得x=,1或x=1. ,y,0当,1x1或x1时，即曲线在内是凹的; ,y,0当0x0) 1, fxxfxx()ln1,()0(0),，, x，yfx,()则曲线是凹的，x?y，有 ,xyR,fxfy()()，xy，, f,2,2xyxy，1即 ， ln(lnln),，xxyy222xy，即 . xxyyxylnln()ln，,，233. 求下列曲线的拐点: 23 (1) ,3;xtytt,，222d33d3(1)ytyt，,解: , 23d2d4xtxt2dy,0令，得t=1或t=,1 2dx则x=1，y=4或x=1，y=,4 2dy,0当t1或t,1时，曲线是凹的， 2dx2dy,0
31、当0t1或,1t0，不失一般性，当时，即时，,0， 3tan3,2dx332dy当或时，即或时，,0, tan3,tan3,2dx33,233233故当参数或时，都是y的拐点，且拐点为及. ,aa,aa,333232,x,134. 试证明:曲线有三个拐点位于同一直线上. y,2x，12,，xx21,y,证明:， 22(1)x，2(1)(23)(23)xxx，,，, y,23(1)x，,y,0令，得 xxx,，,1,23,23,x,(,1)y,0当时，; ,y,0当时; x,(1,23),y,0当时; x,，(23,23),y,0当时, x,，,(23,),，1313(23,),(23,),，因
32、此，曲线有三个拐点(,1，,1)，. 44111,13123,因为 =0 4,，13123，4因此三个拐点在一条直线上. 3235. 问a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=ax+bx的拐点, 2解:y=3ax+2bx, y=6ax+2b 依题意有 ab，,3, ,620ab，,39解得 . ab,223236. 试决定曲线y=ax+bx+cx+d中的a，b，c，d，使得x=,2处曲线有水平切线，(1，,10)为拐点，且点(,2，44)在曲线上. 32解:令f(x)= ax+bx+cx+d 联立f(,2)=44，f (,2)=0，f(1)=,10，f (1)=0 可解得a=1，b=,3，c=,
33、24，d=16. 2237. 试决定中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. ykx,(3)22,解: ykxxykx,4(3),12(1) ,y,0令，解得x=?1，代入原曲线方程得y=4k， 只要k?0，可验证(1，4k)，(,1，4k)是曲线的拐点. 11,，那么拐点处的法线斜率等于，法线方程为. ,8k,yx,yx,18k8k由于(1，4k)，(,1，4k)在此法线上，因此 122, 得(舍去) 321, 321kk,4k,8k12故 . k,832,38. 设y=f(x)在x=x的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而fxfx()0,()0,000,，试问x=x是否为极值点?为什么,又是否为拐点,为什么, fx()0,(,()xfx0000,答:因，且，则x=x不是极值