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1、习题一1. 下列函数是否相等,为什么?解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2. 求下列函数的定义域解: (1)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是.(2)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是-3,0)(0,1).(3)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是.(4)要使函数有意义,必须 即 即或,(k为
2、整数).也即 (k为整数).所以函数的定义域是, k为整数.3. 求函数的定义域与值域.解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍-1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1.4. 没,求解: ,5.设,求.解: 6. 设,求和.解: 7. 证明:和互为反函数.证:由解得,故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.8. 求下列函数的反函数及其定义域:解: (1)由解得,所以函数的反函数为.(2)由得,所以,函数的反函数为.(3)由解得所以,函数的反函数为.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函数的定义域为0,2,所以,函数的反函数
3、为.9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:解: (1)函数的定义域为(-,+), 当时,有,当时,有,故有.即函数有上界.又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.又由知,当且时,而当且时,.故函数在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+),且,使.取,则有,所以函数在定义域内是无界的.又当时,有故.即当时,恒有,所以函数在内单调递增.10. 判断下列函数的奇偶性:解: (1)是偶函数.(2)函数是奇函数.11. 设定义在(-,+)上,证明:(1) 为偶函数; (2)为奇函数.证: (1)设,则,有故为偶函数.(2)设则,
4、有故为奇函数.12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.设总费用为,则.13. 邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解: 当x能被20整除,即时,邮资;当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.综上所述有其中,分别表示不超过,的最大整数.14. 已知水渠
5、的横断面为等腰梯形,斜角=40,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解: 从而 .由得定义域为.15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?解: (1)是由复合而成.(2)是由复合而成.(3)是由复合而成.(4)是由复合而成.16. 证明:证: (1)由得解方程得,因为,所以,所以的反函数是(2)由得,得;又由得,所以函数的反函数为17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:解: 当时,.,当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1
6、,-1.18. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:解: ,要使,只须.取,则当时,必有.当时,或大于1000的整数.,要使只要即即可.取,则当时,有.当时, 或大于108的整数.19. 根据数列极限的定义证明:证: ,要使,只要.取,则当nN时,恒有.故.(2) ,要使只要,取,则当nN时,恒有.故.(3) ,要使,只要,取,则当nN时,恒有,从而.(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.20. 若,证明,并举反例说明反之不一定成立.证: ,由极限的定义知,当时,恒有.而 ,当时,恒有,由极限的定义知但这个结论的逆不成立.如但不存在.21. 利用
7、单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:证: (1),不妨设,则.故对所有正整数n有,即数列有上界.又显然有,又由得,从而即,即数列是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列有极限.设,则,于是,(不合题意,舍去),.(2) 因为,且,所以, 即数列有界又 由知与同号，从而可推得与同号，而 故, 即所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.设, 则，解得 (不合题意，舍去).所以 22. 用函数极限定义证明：证：(1),要使,只须,取，则当时，必有,故.(2),要使,只须,取，则当时，必有,故.(3) ,要使,只要取，则当时，必有,故.(4) ,要使,只须，取，则当时，必有故.(5
8、) ,要使,只要取，则当时，必有,故.23. 求下列极限：(7)若，求a和b.解：.由无穷大与无穷小的关系知， .24. 解:因为由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是 且 解得 .25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:其中为给定的正常数;解: 而,当时, .(2)记则有 即 而 故 即 .(3)即 而 故 .(4)而 故 .26. 通过恒等变形求下列极限：解： 而 而(14)令则当时，.所以(利用(13)题的结果).(16)令， 则而 所以27. 利用重要极限，求下列极限：解：(6)令，则当时，.28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：解：(1)令，则于是：即
9、即 即.(2)令，则于是即 即 故即 .(3)令，则于是 即 从而 故即 .(4)令，则于是：即 即.29. 当时，与相比，哪个是高阶无穷小量？解：当时，是比高阶的无穷小量.30. 当时，无穷小量与是否同阶？是否等价？解：当时，是与同阶的无穷小.当时，是与等价的无穷小.31. 利用或等价无穷小量求下列极限：解：(1)因为当时，所以(4)因为当时，,所以(5)因为当时，所以.(7)因为当时，,所以(8)因为当时，所以.(9)因为当时，,所以(10)因为当时，所以(11)因为当时，所以(12)因为当时，所以(13)因为而当时，故 又当x0进，所以(14)因为当时，故 所以32. 求下列函数在指定点
10、处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？ 在处; 在处.解： 因为 所以不存在.(2)因为不存在，所以不存在.33. 研究下列函数的连续性，并画出图形：解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续，又 而，在处连续，又，由，知在处右连续，综上所述，函数在0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2 (2) 由初等函数的连续性知在内连续，又由知不存在，于是在处不连续.又由及知，从而在x=1处连续，综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下：图1-3 (3)当x0时，由初等函数的连续性知在内连续，又由 知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下
11、：图1-4(4)当|x|=1时，当|x|1时，即 由初等函数的连续性知在(,1),(1,1),(1,+)内均连续，又由知不存在，从而在处不连续.又由 知不存在，从而在处不连续.综上所述，在(,1),(1,1),(1,+)内连续，在处间断.图形如下：图1-534. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：解：是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点.当时，.为可去间断点，分别补充定义f(0)=1,，可使函数在x=0,及处连续.();为无穷间断点(3)当时，呈振荡无极限，x=0是
12、函数的振荡间断点.(第二类间断点).(4)x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)35. 当x=0时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0处连续:解：补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.36. 怎样选取a, b的值，使f(x)在(,+)上连续？解：(1)在上显然连续，而 且,当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续.(2)在内显然连续.而当，即时，在处连续，因而在上连续.37. 试证：方程至少有一个小于1的正根.证：令，则在0,1上连续，且,由零点定理，使即即方程有一个小于1的正根.38. 试证
13、：方程至少有一个不超过的正根，其中.证：令，则在上连续，且 ,若，则就是方程的根.若，则由零点定理得.,使即即，即是方程的根，综上所述，方程至少有一个不超过的正根.39. 设在上连续，且,证明：方程在0，a内至少有一根.证：令,由在上连续知，在上连续，且若则都是方程的根，若，则，由零点定理知，至少,使,即，即是方程的根，综上所述，方程在内至少有一根.40.设在上连续，且，证明：至少存在一点，使.证：令,则在上连续，且若，则若,则,若,则,由零点定理，至少存在一点,使即.综上所述，至少存在一点，使.41. 若在上连续，,证明:在中必有，使.证: 由题设知在上连续，则在上有最大值M和最小值m，于是
14、,由介值定理知，必有，使.习题二1 设，求.解：，故.2(1) 设，求解：(2) 设求解：3下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么.(1) 解：故(2) 解：故(3) 解：故4讨论函数在点处的连续性和可导性.解：,故函数在处连续.又,故函数在处不可导.5设函数为了使函数在点处连续且可导，应取什么值？解：因要使在处连续，则有又要使在处可导，则必须，即故当时，在处连续且可导.6. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:(1) 解：因为所以此函数在处连续.又，故此函数在处不可导.(2) 解：因为故函数在处连续.又,故函数在处可导.(3) 解：因为,故函数在x=1处连续.又，故
15、函数在x=1处不可导.7. 如果为偶函数，且存在，证明：证明：故8求下列函数在处的左、右导数，从而证明函数在处不可导.(1) 证明：因，故函数在处不可导.(2) 证明：因，故函数在处不可导.(3) 证明：因，故函数在处不可导.9求下列函数的导数:(1) ;解：(2) ;解：(3) ;解：10已知求.解：当时，当时，当时， 故综上所述知11. 设,其中a为常数，为连续函数，讨论在处的可导性.解：.故当时，在处可导，且当时，在处不可导.12. 已知，求.解：当时，,当时，,故不存在.又 故不存在.综上所述知.13. 若，求.解：令，则,即14. 试求过点(3，8)且与曲线相切的直线方程.解：曲线上
16、任意一点处的切线斜率为.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：，且与曲线的交点可由方程组解得为(2，4)，(4，16)即为切点.故切线方程为：15. 证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.证明：在双曲线上任取一点则，则过点的切线方程为：令得切线与x轴的交点为，令得切线与y轴的交点为，故 16. 已知在点可导，证明：. 证明：17. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为：求：物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：解：速度函数v(t)；解：. 物体何时到达最高.解：令,得,即物体到达最高点的时刻为18. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t内，转过角
17、度，从而转角是t的函数：.如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻的角速度？解：设此角速度值为,则.19. 设表示重1单位的金属从加热到所吸收的热量，当金属从升温到时，所需热量为与之比称为到的平均比热，试解答如下问题：如何定义在时，金属的比热；解： 当(其中a, b均为常数)时，求比热.解：.20. 求下列函数在给定点处的导数：求；解：求和；解： 求.解： 故21. 求下列函数的导数：;解：;解： ;解： ;解：;解： ;解： ;解： .解：22.设，且所有的函数都可导，证明：证明：23. 求下列函数的导数： ; ; ; ; ；（a为常数）； ；
18、 ； ; ； ; ；为常数）.解： ; ; ; ; ； ; ； ；.24.求.解： 25. 若，求.解：26. 试求曲线在点（0，1）及点（1，0）处的切线方程和法线方程.解： 故在点（0，1）处的切线方程为：，即 法线方程为：，即在点（1，0）处的切线方程为：法线方程为：27. 设可导，求下列函数y的导数： 解： 解： 28. 求函数的反函数的导数.解：故反函数的导数为：.29. 已知的导数，且，求的反函数的导数.解：时故,从而.30. 求下列参数方程所确定的函数的导数： (a,b为常数)解： 解：31. 已知求当时的值.解：.32. 求下列隐函数的导数：； ；解：两边求导，得：解得 . 两
19、边求导，得：解得 . 两边求导，得： 解得 .两边求导，得： 解得 . 两边求导，得：解得 .33.用对数求导法求下列函数的导数：解： 解： 解：34. 求自由落体运动的加速度.解： 即为加速度.35. 求次多项式的阶导数. 解： 36. 设，求解：.37. 验证函数满足关系式证明：故38. 求下列函数的高阶导数：求；求；求.解： 39. 求下列函数在指定点的高阶导数：求；求，；求，.解： 故. 故，. 故，40. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数： ； ； . 解：两边对求导，得 . 两边对求导，得. 两边对求导，得 两边对求导，得 41. 已知存在，求：；.解： 42. 求由下列参数方
20、程所确定函数的二阶导数： (为常数)；设存在且不为零.解： .43. 设是由方程组所确定的隐函数，求.解：分别对已知方程组的两边关于求导，得：再对求一次导，得将代入上述各式，得44. 设函数在上连续，在内可导，且试证： .证明：.45. 设具有二阶连续导数，且，试证：可导，且导函数连续.证明：因具有二阶连续导数，故时，可导,又故 是可导的，且导函数为又因 故的导函数是连续的.46. 在括号内填入适当的函数，使等式成立： ；; ；; ; ；; .解： . . . . . . .47. 根据下面所给的值，求函数的及：当时；解：.当时.解：48. 求下列函数的微分：； ； .解：； ； ；49. 求
21、由下列方程确定的隐函数的微分： ； ； ； . 解： 对等式两端微分，得 即 于是 对等式两端微分，得 得 对等式两端微分，得 解得 对等式两端微分，得解得50. 利用微分求下列各数的近似值：；.解：利用近似公式，有.利用近似公式，有 取，令，而，则51. 设，且与相比是很小的量，证明：证明：利用近似公式，有.52. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中和均为可微函数：；.解： 53. 求下列函数的高阶微分：，求；，求；，求； ，求；(为常数)，求.解：, 故 由莱布尼兹公式，得 由莱布尼兹公式，得 两端求导，得等式两端再求导得 解得故54. 利用麦克劳林公式，按乘幂展开函数.解：
22、因为是的6次多项式，所以计算出：，故55. 利用泰勒公式求下列极限： (3) 解： (3) 令,当时，56. 求下列函数在处的三阶泰勒展开式： 解：所以故 57. 求函数在处的阶泰勒公式.解： 58. 求函数的阶麦克劳林公式.解： 59. 求函数的阶麦克劳林展开式.解：60. 设在的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：当在处的增量很小时，用增量比近似一阶导数的近似公式,其绝对误差的量级为，即不超过的常数倍.证明：在处泰勒展开式为, 则, 又知 ,故 ,即的绝对误差为.61. 利用四阶泰勒公式，求的近似值，并估计误差.解：62. 计算的近似值，使误差不超过.解：63. 球的半径以速率v改变，球
23、的体积与表面积以怎样的速率改变？解： 64. 一点沿对数螺线运动，它的极径以角速度旋转，试求极径变化率.解： 65. 一点沿曲线运动，它的极径以角速度旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 66. 椭圆上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？解：方程两边同时对t求导，得由. 得 代入椭圆方程得：，即所求点为.67. 一个水槽长12m，横截面是等边三角形，其边长为2m，水以3m3min-1的速度注入水槽内，当水深0.5m时，水面高度上升多快？解：当水深为h时，横截面为体积为 当h=0.5m时，.故有 ，得 (m3min1).68. 某人走过一桥的速度为4kmh-1，同时一船在
24、此人底下以8 kmh -1的速度划过，此桥比船高200m，求3min后，人与船相离的速度.解：设t小时后，人与船相距s公里，则且 (kmh 1)69. 一动点沿抛物线y=x2运动，它沿x轴方向的分速度为3 cms-1，求动点在点(2，4)时，沿y轴的分速度.解： 当x=2时， (cms1).70. 设一路灯高4 m，一人高m，若人以56 mmin-1的等速沿直线离开灯柱，证明：人影的长度以常速增长.证明：如图，设在t时刻，人影的长度为y m.则 化简得 (mmin1).即人影的长度的增长率为常值.71. 计算抛物线y=4xx2在它的顶点处的曲率.解：y=(x2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)
25、当x=2时， ，故 72. 计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.解：当x=0时，故 73. 计算正弦曲线y=sin x上点处的曲率.解：.当时，故 74. 求曲线y=ln(sec x)在点(x，y)处的曲率及曲率半径.解：故 .75. 求曲线x=acos3t，y= asin3t在t=t0处的曲率.解： ，故 且当t=t0时， .76. 曲线弧y=sin x (0x0，故知函数在内单调增加，而在内单调减少.(3) ；解: 函数定义域为，,故函数在上单调增加.(4) ；解: 函数定义域为,，则函数有驻点: ,在内， ，函数单调减少；在内， ，函数单调增加.(5) ；解: 函数定义域为，
26、函数的驻点为,在上，函数单调增加；在上，函数单调减少.(6) ；解: 函数定义域为,1) 当时， ，则；.2) 当时， ，则.综上所述，函数单调增加区间为，函数单调减少区间为.(7) .解: 函数定义域为.函数驻点为,在内， ,函数单调增加，在上， ,函数单调减少，在上， ,函数单调增加，在内， ,函数单调增加.故函数的单调区间为: ，.16. 证明下列不等式:(1) 当时， 证明: 令则,当时， 为严格单调增加的函数，故,即(2) 当时， 证明: 令,则,则为严格单调减少的函数,故,即为严格单调减少的函数,从而,即17. 证明：不等式证明：令在0，x上应用拉格朗日定理，则使得即,因为，则即设
27、证明：证明：令,在b，a上应用拉格朗日定理，则使得因为,则,即设证明：证明：令在b，a上应用拉格朗日定理，则使得因为，所以,即.设证明：证明：令，,应用拉格朗日定理，有即18. 试证:方程只有一个实根.证明:设，则为严格单调减少的函数，因此至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，也就是只有一个实根.19. 求下列函数的极值:(1) ；解: ,令，得驻点.又因，故为极小值点，且极小值为.(2) ；解: ,令，得驻点,故极大值为，极小值为.(3) ；解: ,令，得驻点.,故极大值为，极小值为.(4) ；解: ，令，得驻点.,故为极大值.(5) ；解: ，令，得驻点.故为极大值，为极小值.(6) ；解: ,令，得驻点且在定义域内有一不可导点，当时， ;当时， ,故为极大值点，且极大值为.因为函数定义域为，故不是极值点.(