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1、高等数学练习册答案(上)练习一答案 一、1、(?) 2、(?) 3、(?) 4、(?) 5、(?) 二、1(,，e) 2( ( 4(y1 三(1、C 2、A 3、B 4、A 5、D 四、1、(?，0) 、解: 即x、解:，即反函数为由 ex 于定义域为 练习二答案 一、1、(?) 2、(?) 3、(?) 4、(?) 5、(?) ,、(?) ,、(?) ,、(?) 二、 1、 -A 2、 , 3、不存在 ,、, 三、2、四、1、 0 2、0 3、1 4、五、1、证明:而 不存在。 2、证明:当n>N时，有 ?即 取 则 而 an不存在。 练习三答案 一、1、(?) 2、(?) 3、(?)
2、4、(?) 二、1、(1) 2 (2) 0?0 =0 (3) 2 5 ( 4lim 4 (5)lim) 2 (6)1 (7) n3 (8)不存在 3)不存在。 (9) 2 ( (11)lim (12) ) ) (13)lim x (14)lim sin x 2n (15)e (16) 5 1z 1 (17) (19) (18)lim 2 1cosx n111n n2n2 ? 而 lim2原式=1 、解: 不存在， 又 三、1、证明:用数学归纳法先证明xn单调增 又设 时， 那么 时，而 单调增 其次证有界 设 显然有 ? 有界 存在，设为A， 在 两边令有:得A=2 A= -1(舍去) 2、证
3、明:， 使 n>M取 x 在 上无界 对于 2 使 x>G 而 y x 当 时,不为无穷大 练习四答案 一、1、低 2、1/2，2 3、2，-8 4、1，-1 5、等价 、二、1、lim 3、 、lim 2sin2 x 、2sin2 、 lim xx2 x2)2 7、lim n 2sin2 x 2x2 8、 三、证明:若则:lim 即:即 反之，以上步步可逆 若则 练习五答案 一、1、 6 、 、令 2 1t 1 4、 2x 2x 1 2x2 1 x2e x2ex2sin2 5、 原式二、1、解:令则 由于 。 为可去间断点 为无穷间断点(第二类间断点) 2、解:令tgx=0 对
4、为f(x)可去间断点，而为f(x)的无穷间断点(第二类间断点) 而 f(0)没有定义 3、解: x=0为f(x)的可去间断点。 (0)在上连4、解: 续 三、解: f 为跳跃间断点(第一类) 同理也为跳跃间断点(第一类) 四、解: 要使f (x)在x=0连续 必须有 五、 1、证明:令又f(x)在-1，1上连续 在(-1，1)至少有一个零点， 即:f(x)=0在(-1，1)至少有一个根。 2、证明:令，显然f(x)在0，+?连续， 又f (0)=-b< 0 f (a+b)=a1-sin(a+b) 若 a+b=2k+ (则显然为根。 2 若 a+b?2k+(则?f(x)在(0，a+b)至少
5、2 有一个零点。总之，f(x)=0至少有一个正根，并且它不超过a+b。 3、证明:limf(x)存在,不妨没 当时 取 ，当时，即又f(x)在?f(x)在连续 ?f(x)在上有最大值M1 取 自测题(一)答案 一、1、() 2、() 3、(?) 4、() 二、1、(D) 2、(C) 3、(C) 4、(B) 5、(D) 三、1、N=10 3、4，10 4、一，跳跃 5、 四、1、(1) (2) (3)(不存在) (5)(4)x (6) 2、解:f(-1-0)=0 f(-1)=b f(-1+0) 使f(x)在x=-1连续 五、 1、证明: 单调减又 两边令得:存在。 在 舍去 2、证明:令F(x)
6、=f(x)-x 显然F(x)在a，b上连续 F(a)=f(a)-a 0 F(b)=f(b)-b 0 ?在(a，b) 即:使f() 练习六答案 1、4.52 解:(1) (2)3. 证明:4. 证明: 在处右连续,而 不存在。 5. 设 b应取什么值, 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a， 解:在处连续: 又在处可导. lim 6. 解:当x<0时， 当 x>0时，f( 当x=0时 7. 证明:?f(x)是偶函数， 令 又存在 练习七答案 1、(1)(2)1 (3) (4) (5) (6)(7 (8 (9) (10) (11) (12) (14)2(lnx) (15) (16
7、)(17) (18) (19) () (21) (22)(23) 1 2 2 2 2 1 (24) 22 3 2 (25) 11 (lnx)xlnx 22 2 22 126(lnx2)2 (26) xx (27) 11111 (28) )y (4x)24x (29e (30) (31)(32)、解:(1) 2 (2) 2 x 2 2 3、 (1 ) (2)、解: ?曲线上任一点的切线的斜率为曲线上该点的导数。 ?斜率由 ? 5、求曲线与x轴交点处的切线方程 x 解:由方程得交点 ? 而切线方程 、 解:(1)dx (2) 练习八答案 1、(1)(2)(3)(4)x (5)(6) (7)(8)d
8、(arcsin (9)(10)(11) x (12) (13)d(2、解:(1) (2) (3) (4)(5 (6) =f 3、解:令 4 4、解:(1)设，1设，则 0xln10， 2 (2)设，则 3x，令，2 5、解:(1)设则 2x 令 则 (2)设则令则练习九答案 1、解:(1)dy (2)dy )则则 (3) (4) 2、解 :() (2) (3) (4) 、解:(1)对等式两边取对数 对上式两边关于x求导 (3)等式两边取对数 对上式两边关于x求导 4、 解:对方程两边关于x求导 dy 由x=0代入方程得y=1 ，将x=0，y=1代入上式即得 5、解:对等式两边取对数 对上式两边
9、关于x求导 练习十答案 1、解:、解:3、解: 4、解: 5、解:(4)6、解:、解: d2yb8、解: 9、解: 10、解: inx 即 11、解: 阶段自测题(二)答案 一、1、(?) 2、() 3、() 4、() 5、() 二、1、2、不存在 3、cos2x 2xedx 4、 5、0 三、1、(A) 2、(D) 3、(C) 4、(B) 5、(D) 四、解:1、而 3、解:对等式 两边关于t求导 dyey 对等式两边关于t求导 dydy ? 当t=0时，得x=0，y=- dy ? 曲线在t=0处的切线方程的斜率为 ，?切线方程 4、5、 2 11 6、 7 、设 五、 1、证明:?是f(x
10、)以w为周期的周期函数 ? f对任意实数x，有(fx+w)=f(x)对等式两边关于x求导: 函数。 f,(x)也是以w为周期的周期? 取，当时，有 2、证明:? ? 故limf(x)在原点 右连续。 ? 练习十一答案 一、解:f(x)在闭区间-1，2上连续，在开区间(-1，2)上可导，且，故f(x)在-1，2上满足罗尔定理条件，存在，使，即-7=0， 不存在。 舍去) 3 二、 证:a=b时显然。设令则它在,，b上等是拉格朗日定理， 故，使即 但故即 三、证:设它在1，x上满足拉格郎日定理，故，使 故 四、证:设，由介值定理 至少有一正根，下证，至多有一实根，否则 ，使，由罗尔定理，使 ，这是
11、不可触的。 五、证:由罗尔定理，使，再，使六、解:对f(x)利用罗尔定理，得:(1) 01 型。原式=lim 11 (2)型。原式 2 2 (3) ( 型。原式 4) 型。原式 2 2 2 2 七、解:(1)型，原式=lim lnx ctgx 1 sinx 1 (2)型，原式(3)1型，原式 sin2xx lim lntg 2 1 (4)型，原式 xx 1x2sin 八、lim 2xsin而lim 不存在。 练习十二答案 一、解:(1)故当时，函数 单调增加，当 时，函数单调减少，当时，函数单调增加。 (2)，故当时，函数单调增加，当 时，函数单调减少。 二、解:(1)，令求得驻点:-2，0，
12、1。 ，极小值为f(1)= -13 (2) 从表中可看出，极大值为1 x ex 22 令，驻点为 33 从表中可看出，极大值为 极小值为 ，三、解:由题设有f()=0，即ao 故a=2，这时，故是极 33 小值。 1四、证:令，则，因此在上单调增加，所以当x 时， 0，即 五、解:(1)驻点，x= -1不可微点，比较驻点，不可 微点及端点值， 得为最小值，y(-2)=16为最大值。 (2) (8)=6。 1六、解:如图所示，设BC=h，AC=r，则圆锥的体积为， 因此最大值为y(6)=8，最小值为y 因为 1 所以 令，得h=0，R dh3dh3 4故h=R为(0，2R) 3 时， 时， 3d
13、h3dh 是V(h)在(0，2R)381 22R 此时 练习十三答案 一，解:(1)，令，考察的符号，知(， 为凹区间，,)为凸区间;及(,)是曲线( 的拐点。 (2)，故x=b处函数y为无穷大,y"也为无穷大,但该点y连续,95 故 为凸区间为凹区间;(b，a)为曲线的拐点。 二、(1) (2)(3)e; ，o，y=0 (6)作图如上(右): 三，解:定义域(，y是偶函数，图形y轴对称， ，驻点x=0，令得列表: 22 另外，由于)，在(上连续，故无垂直渐近线，由于 ，故也无水平渐近线和斜渐近线，作图如下(左): )， 是上的凹函数，故 (2)令，则当n>1时，在x>0
14、时是凹的 即 阶段自测题(三)答案 (2)1，1; (3)1; (4 一、(1)(5) 4 二、B;D;D;A;A ,0 三、解:1. (1)、原式 、原式 ，驻点，令，得， 因为，所以为极大值点 ，所以为拐点 )，所求直线为:所以极大值点与拐点的中点坐标为(,22 四、1、解 : 令则 当时单调上升当时(x)单调下降:所以当提出概念所用的时间小于13分钟时， 接受能力增强;当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低 (b)单调上升，学生的兴趣在增长。 (c) G x(在时取极大值，所以最难的概念应该在提出1 问题后的第13分钟时讲授。 (d) 因为G(13)=59.9，这个概念需要55的接受能力，小于最 大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。 2、解 :设AM与MB的公路总长为y ，则， 所以 去) ，令，得:(舍 只有唯一的驻点，所以在处取得最小值 五、证:1、令则 当x>0时，有，当x<0时，有故即