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1、高等数学练习答案-总习题四总习题四 求下列不定积分(其中a, b为常数): dx 1. ; ,x,xe,exxdxe11e,1x 解 . ,dx,de,ln|，C,x,x2x2xx2e,ee,1e,1e，1x 2. ; dx,3(1,)x11111x 解 . dx,dx,dx,，,，C,323212x,(1)(1)(1)(1),xx,x,x2x 3. (a0); dx,66a,x233x111x，a3dx,d(x),ln|，C 解 . ,6632323333a,x(a),(x)6ax,a1，cosxdx 4. ; ,x，sinx1，cosx1 解 dx,d(x，sinx),ln|x，sinx|
2、，C. ,x，sinxx，sinxlnlnx5. dx; ,xlnlnx11 解 dx,lnlnxdlnx,lnx,lnlnx,lnx,dx,lnx,lnlnx,lnx，C. ,xlnxxsinxcosxdx 6. ; ,41，sinxsinxcosxsinx11122 解 . dx,dsinx,d(sinx),arctansinx，C,4422221，sinx1，sinx1，(sinx)4 7. tanxdx; ,4sinx422 解 tanxdx,dtanx,tanxsinxdtanx,2cosx4tanx12,dtanx,(tanx,1，)dtanx ,22tanx，1tanx，1113
3、3,tanx,tanx，arctantanx，c,tanx,tanx，x，c . 338. ; sinxsin2xsin3xdx,1 解 sinxsin2xsin3xdx,(cos3x,cosx)sin3xdx,211 ,cos3xsin3xdx，cosxsin3xdx,2211 ,cos3xd(cos3x)，(sin4x，sin2x)dx,641112. ,cos3x,cos4x,cos2x，C12168dx 9. ; ,6x(x，4)5dx11x116,(,)dx,ln|x|,ln(x，4)，C 解 . ,664x424x(x，4)x，4a，x 10. dx(a,0); ,a,x1a，xa
4、，xxdx,du,adx，dx 解 ,222222a,xa,xa,xa,xx22,aarcsin,a,x，C . adx 11. ; ,x(1，x)dx12,2dx,2ln(x，1，(x)，C,2ln(x，1，x)，C 解 . ,2x(1，x)1，(x)2 12. ; xcosxdx,11122xcosxdx,(x，xcos2x)dx,x，xdsin2x 解 ,24411111122,x，xsin2x,sin2xdx,x，xsin2x，cos2x，C . ,444448ax 13. ; ecosbxdx,解 因为 11baxaxaxaxecosbxdx,cosbxde,ecosbx，esinb
5、xdx ,aaa21b1bbaxaxaxaxax , ,ecosbx，sinbxde,ecosbx，esinbx,ecosbxdx,222aaaaa2a1baxaxax所以 ecosbxdx,(ecosbx，esinbx)，C,222aa，ba1ax,e(acosbx，bsinbx)，C. 22a，bdx 14. ; ,x1，ex，e,u1令dx11112 解 dln(u,1),2du,(,)du. ,2xuu,u，11u,1，e1xu,11，e,1 . ,ln|，c,ln，cxu，11，e，1dx 15. ; ,22xx,1dx1x,sect令 解 ,secttantdt,costdt,si
6、nt，C,222sect,tantxx,12x,1,，C . xdx 16. ; ,225/2(a,x)x,asint令dx1,acostdt 解 ,225/25(a,x)(acost)1112,dt,(tant，1)dtant ,444acosta113,tant，tant，C 443aa3xx11,，C . 4422322aa3a,xa,x()dx 17. ; ,42x1，x令x,tantdx12 解 ,sectdt ,442tant,sectx1，x32costcost ,dt,dsint,44sintsint1111()sin,dt,，C ,423sintsinsin3sinttt23
7、2(1，x)1，x,，C . 3xx318. ; xsinxdx,令x,t2xsinxdxtsint,2tdt,2tsintdt 解 ,22 ,2tdcost,2tcost，2cost,2tdt,22 ,2tcost，4tdsint,2tcost，4tsint,4sintdt,2 ,2tcost，4tsint，4cost，C,2xcosx，4xsinx，4cosx，C . 2 19. ; ln(1，x)dx,2x22ln(1，x)dx,xln(1，x),x,dx 解 ,21，x12,xln(1，x),2(1,)dx ,21，x2,xln(1，x),2x，2arctanx，C . 2sinx 2
8、0. ; dx,3cosx22sinxsinxtanx, 解 dxdtanx(tanx)dtanx,32cosx，cosxtanx11122,tanx,ln(tanx，1)，C . 2221. arctanxdx; ,1arctan,arctan,xdxxxxdx 解 ,1，x1,arctan,(1,) xxdx ,1，x,xarctanx,x，arctanx，C,(x，1)arctanx,x，C . x1，cos 22. ; dx,xsinx2cos1，cosxxxxx2 解 . dx,dx,2cscd,2ln|csc,cot|，C,xxsinx22222sincos223xdx 23. ;
9、 ,82(1，x)34x1111x44dx,dx,，arctanx，C 解 . ,82828442(1，x)(1，x)1，x提示: 已知递推公式 dx1xdx,，(2n,3) . ,22n222n,122n,1(x，a)2a(n,1)(x，a)(x，a)11x 24. dx; ,84x，3x，241182x,t令x1x1t4dx,dxdt 解 ,8484244x，3x，2x，3x，2t，3t，213t，2141,(1,)dt,(1,，)dt ,244t，2t，1t，3t，211,t,ln|t，2|，ln|t，1|，C 44441x，14,x，ln，C . 44x，2dx 25. ; ,416,
10、xdx1111,dx,(，)dx 解 ,42222816,x(4,x)(4，x)4,x4，x112，x1x ,(ln|，arctan)，C 842,x2212，x1x ,ln|，arctan，C. 322,x162sinx 26. ; dx,1，sinx2sin(1sin)sinsinsinx,xxx,x 解 dx,dx,dx,221sin，x1sincos,xxsinx1,(,1，)dx,secx,x，tanx，C . ,22cosxcosx，sinxx 27. ; dx,1，cosxx，sinxx，sinx1x1sinx 解 dx,dx,dx，dx,xxx1，cosx222222cosco
11、scos222xx,xdtan，tandx ,22xxxxtantantantan,x,dx，dx,x，C . ,22223cossinxx,xsinx 28. ; edx,2cosx3xcosx,sinxsinxsinxsinx 解 edx,x,e,cosxdx,e,tanx,secxdx,2cosxsinxsinx ,xedsinx,edsecx,sinxsinxsinx ,xde,secx,e，secxde,sinxsinxsinxsinx ,xe,edx,secx,e，secx,e,cosxdx,sinxsinx . ,xe,secx,e，C3xdx 29. ; ,3x(x，x)623
12、,令xtxt115 解 dx,6tdt,6(,)dt,6323，tt1，t(tt)，x(xx)tx . 6lnln,，C,，C661t，(1)x，dx 30. ; ,x2(1，e)x1，e,t令dx11111,dt,(,)dt 解 ,222xt,1t,1t(1，e)tt1,ln(t,1),lnt，C t1x,x,ln(1，e)，C . x1，e3xxe，e 31. dx; ,4x2xe,e，13xxxx,e，ee，e1xx, 解 dx,dx,d(e,e),4x2x2x2xxx2,e,e，1e,1，e1，(e,e)x,x,arctan(e,e)，C . ,arctan(2shx)，Cxxedx
13、32. ; ,x2(e，1)xxex1xdx,d(e，1),xd 解 ,x2x2x(e，1)(e，1)e，1x1x1x,，,，dxde ,xxxxx，e1e1e1e(e1)x11x,，(,)de ,xxx，e1ee1xxx,，lne,ln(e，1)，C xe，1xxex . ,ln(e，1)，Cxe，122ln(x，1，x)dx 33. ; ,222222, 解 ln(x，1，x)dx,xln(x，1，x),x,ln(x，1，x)dx,x222 ,xln(x，1，x),2ln(x，1，x),dx,21，x2222,xln(x，1，x),2ln(x，1，x)d1，x ,222222,xln(x，
14、1，x),21，xln(x，1，x)，21，x,ln(x，1，x)dx ,2222,xln(x，1，x),21，xln(x，1，x)，2dx ,2222 . ,xln(x，1，x),21，xln(x，1，x)，2x，Clnxdx 34. ; ,23/2(1，x)解 因为 令tanx,t11x2seccossin dx,tdt,tdt,t，C,，C,23/232(1)sec，xt1，xlnxxxlnxx1所以 dx,lnxd(),dx,23/2222x(1，x)1，x1，x1，xxlnx2 . ,ln(x，1，x)，C21，x21,xarcsinxdx 35. ; ,x,sint令122 解 1
15、,xarcsinxdxt,costdt,(t，tcos2t)dt,21111122,t，tsin2t,t，tsin2t,sin2tdt ,444441112,t，tsin2t，cos2t，C 448111222,(arcsinx)，x1,xarcsinx,x，C . 14243xarccosxdx 36. ; ,21,x3xarccosxx222 解 dx,xarccosx,dx,xarccosxd1,x,221,x1,x2222, ,x1,xarccosx，1,x,(xarccosx)dx ,12222 ,x1,xarccosx，1,x,(2xarccosx,x,)dx,21,x2222,x
16、1,xarccosx，2x1,x,arccosxdx,xdx ,1222323 ,x1,xarccosx,x,arccosxd(1,x) ,33122223232,x1,xarccosx,x,(1,x)arccosx,(1,x)dx ,33312222232331arccos(1)arccos,x,xx,x,xx,x，x，C 333911222,1,x(x，1)arccosx,x(x，6)，C. 39cotxdx 37. ; ,1，sinxcotx111dx,dsinx,(,)dsinx 解 ,1，sinxsinx(1，sinx)sinx1，sinx,ln|sin x|,ln|1，sin x|
17、，C,ln|csc x，1|，C . dx 38. ; ,3sinxcosxdx1cosx1,dcotx,dcotx,cotx,dcotx 解 ,322sinxcosxsinxcosxsinxcosxcosx1112,(，cotx)dcotx,ln|cotx|,cotx，C,ln|tanx|,，C . 1,2cotx22sinxdx 39. ; ,(2，cosx)sinxxu,tan 解 令, 则 22dx121，u,du,du ,222(2，cosx)sinx1,u2u1，u(u，3)u(2，)221，u1，u12u11112,du，du,ln(u，3)，ln|u|，C ,233u33u，3
18、1xx3 . ,ln|tan，3tan|，C322sinxcosx 40. dx; ,sinx，cosx22(sin,cos)sincossincossincoscossinxxxxxxxxxx 解 ,， dxdudxdx,2222sin，cosxxsin,cos2sin,12cos,1xxxx22sinxcosx,dsinx,dcosx ,222sinx,12cosx,11111,(1,)dsinx,(1,)dcosx ,22222sinx,12cosx,1112sinx,1112cosx,1,sinx,ln|,cosx，ln|，C 2222sinx，122cosx，112sinx，1,(sinx,cosx)，2ln|，C . 22cosx，1