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1、高等数学试题及答案一、填空题:(每小题2分，共20分) 2x,ax，6lim,5，则a,_1( 若。 x,1x,11,x,(12)0,xxfxxk()0_,在点连续，则。( 设函数 2,kx,0,f(x)3( 设在点处可导，则x0fxfxx(),(,)00。 lim,_,x,0x,2y,y(x)4( 设由方程所确定的隐函数为，则xy,2dy,_。 ,，y,x，2cosx，05( 函数在区间上的最大值为_。 ,2，1f(x)6( 设函数的一个原函数是，则。 f(x),_x01kxk,_7( 若，则。 edx,328( 由围成的平面图形绕轴旋转一周所得y,x，y,0，x,1x_的几何体的体积为。
2、22x，z,19( 坐标面上的圆绕轴旋转一周所生成的旋转ozzox_曲面的方程为。 x,2yz,1(4，1，3),10( 过点且平行于直线的直线方程为215_。 二、 单项选择题:(每小题2分，共20分) x,0 1、当时，与等价的无穷小量是( ) xsinx3A.x(x，1)B. x2C.sinxD.ln(1，x)2、下列极限不正确的是( ) 1111xxxxA.lime,1B.lime,0C.lime,，,D.lime,0 ,，0xx,00xx,fx()ff 3、设 (0),0，且(0)存在，则lim,()x,0x1 A.f(x)B.f(0)C.f(0)D.f(0)2f(x)f(x)4、设
3、可微，则 d(e),()f(x)f(x)A.edxB.f(x)edx f(x)B.f(x)dxD.f(x)dex(0，,)5、设常数，函数在内零点的个数为k,0f(x),lnx,，ke( ) A.3B.0C.2D.1 ,x,x若f(x)dx,F(x)，C，则ef(e)dx,(),、 ,xxA,Fe，CB,Fe，C.().(),x F(e)xCFe，CD，C.().xf(x)f(x)7、若的导函数是sinx，则有一个原函数为( ) A.x,sinxB.x,cosx C.x，sinxD.x，cosx8、下列积分中其值为,的是( ) 112A.xsinxdxB.xsinxdx,1,1 21C.xdx
4、D.cosxdx,1,12xd29、 sin(1)()tdt，,0dx44A.2xsin(x，1)B.sin(x，1) 44C.sin(t，1)D.2tsin(t，1),a，b,a,b10、若两个非零向量满足，则( ) a与b,.Aa与b垂直Ba与b平行, ,C.(a,b),D.(a,b),43三、 计算题(,个小题，共44分) 111、(,分)求, lim()x,1xx,ln12,arctanxx,0,、(,分)设函数. f(x),，求f(x),ln(1，x),xcosxx,0,2xarctanxdx,、(,分)求 2,1，x4x,、(,分)求dx ,01，x,x22,、(,分)求 ecos
5、xdx,04,、(,分)设 ， y,x，2x求(1)函数的增减区间及极值; (2)函数的凹凸区间及拐点。 (1,2,1),、(,分)求过点而与两直线 x，2y,z，1,02x,y，z,0, 和 ,x,y，z,1,0x,y，z,0,平行的平面的方程。 四、 应用题(10分) 2y,0(1,1)求由直线与曲线及它在点处的法线所围图形的面y,x积。 五、 证明题(,分) f(x) 设函数在上连续，在内可导，且，试证存在f(x),0，,a,ba,bba,()fe,e,(a,b)，使得 ,e(,)b,af一、填空题:(每小题2分，共20分) 12y,2,，1.72.3.2cos4.5.36.xxdx00
6、2326xex ,xyz41,222，,7.38.9.110.xyz2215二、单项选择题:(每小题2分，共20分) 1. D 2. D 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. B 9. A 10. A 三、计算题(7个小题，共44分) 11,x1lnxx111,x1.(6limlimlimlim分)原式,x,1x,1x,1x,1x1,(x1)lnxxlnxx1lnx112,，,，lnx，x,2.(6分) ff(0)(0)0,，2x,x,04,1，xfx(),1,，,cossin0xxxx,1，x,13(.6分)原式,(1,)arctanxdx,arctanxdx,arctan
7、xd(arctanx)2,1，xx12,xarctanx,dx,(arctanx) 2,21，x1122,xarctanx,ln(1，x),(arctanx)，C2224(.6分)令x,t(t,0)，从而x,t，dx,2tdt24222xtt1dx,2tdt,2dt,2(t,1，)dt ,00001，t1，tt，11，x22t,2,t，ln1，t,2ln320,2x2x2x2225(.6分)原式,edsinx,esinx,sinx,2edx,000,2x2x2x222,e，2edcosx,e，2ecosx,2cosx,2edx,000 ,2x2,e,2,4ecosx,dx,01,故原积分,(e
8、,2)5(,0)(0,),，,6.(8分) (1) 函数的定义域为 8,x,2,x,0;(2) 驻点为不可导点为 y,1,3x24,(3) y,;4x(4)列表如下: x 2 ,0)(0,2)(2,)，,(- , ， 0,y + + + + ,y yfx,()f(2)3, 极小值 ,0)(2,)，, 单调增加区间为(-，; (0,2) 单调减少区间为; f(2)3, 为极小值; ,0)0,)，, 凹区间为(-，(;无拐点。 7(6分)直线的方向向量为(1，-2，-3); l1直线的方向向量为(0，-1，-1); l2所求平面的法线向量为(1，-1，1). xyz,，,0所求平面的方程为 . 四、应用题(1个小题，10分) 12 在(1，1)处法线斜率为，法线方程为 ,yx,213 yx,，22法线与轴交点为(3，0)， x所求面积为 13132Sxdxxdx,，,，(),0122五、证明题(6分) x设，则 gxe(),fbfaf()()(),fbfaf()()(),，即. ,ba,gbgag()()(),eee,(,)ab又因为存在,使得 ,fbfabaf()()()(), ,()()()baff,所以 ,即结论成立. ,ba,eee,