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1、1 北京市西城区北京市西城区 20182018 届高三数学届高三数学 5 5 月模拟测试（二模）试题月模拟测试（二模）试题 理理 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1若集合 |01Axx， 2 |20Bx xx，则下列结论中正确的是 （A）AB （B）AB R （C）AB（D）BA 2若复数z满足(1i)1z，则z （A） 1i 22 （B） 1i 22 （C） 1i 22 （D） 1i 22 3下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是 （A） 1 y x （B） 2 yx
2、（C） | | 2 x y （D）cosyx 4某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧面积是 （A）12 （B）4 10 （C）12 2 （D）8 5 5向量, ,a b c在正方形网格中的位置如图所示 若向量ab与c 共线，则实数 （A）2（B）1（C）1（D）2 6已知点(0,0)A，(2,0)B若椭圆 22 :1 2 xy W m 上存在点C，使得ABC为等边三角形， 则椭圆W的离心率是 （A） 1 2 （B） 2 2 （C） 6 3 （D） 3 2 2 7函数 2 ( )1f xxa则“0a”是“ 0 1,1x ，使 0 ()0f x”的 （A）充分而不必要条件（B
3、）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 8在直角坐标系xOy中，对于点( , )x y，定义变换：将点( , )x y 变换为点( , )a b，使得 tan , tan , xa yb 其中 ,(,) 2 2 a b 这样变 换就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线 则四个函数 1 2(0)yx x， 2 2 (0)yxx， 3 e (0) x yx， 4 ln(1)yx x在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内 的四条曲线（如图）依次是 （A），（B）， （C），（D）， 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题
4、5 分，共 30 分 9已知圆C的参数方程为 2cos , sin x y （为参数） ，则圆C的面积为_；圆心C到直线 :340lxy的距离为_ 10 24 1 ()x x 的展开式中 2 x的系数是_ 11在ABC中，3a ，2b ， 3 A，则cos2B _ 12设等差数列 n a的前n项和为 n S若 1 1a ， 23 SS，则数列 n a的通项公式可以是 _ 3 13设不等式组 1, 3, 25 x xy xy 表示的平面区域为 D 若直线0axy上存在区域 D 上的点， 则 实数a的取值范围是_ 14地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安
5、全 出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E 疏散乘客时间（s） 120220160140200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数( )(1tan ) sin2f xxx （）求( )f x的定义域； （）若(0,)，且( )2f，求的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，/ABCDEF， ABAD2CDDAAFFE，4AB （）求证：/DF平面
6、BCE； （）求二面角CBFA的余弦值； 4 （）线段CE上是否存在点G，使得AG 平面BCF？ 请说明理由 17 （本小题满分 13 分） 在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病为了解 这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业病， 使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到 如下统计图： （）求样本中患病者的人数和图中a，b的值； （）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人，求这 2 人中有患病者的概率； （III）某研究机构提出，可以选取常数 * 0 0.
7、5 ()XnnN，若一名从业者该项身体指标检 测值大于 0 X，则判断其患有这种职业病；若检测值小于 0 X，则判断其未患有这种职 业病从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病写出使 得判断错误的概率最小的 0 X的值及相应的概率（只需写出结论） 18 （本小题满分 14 分） 已知直线:1l ykx与抛物线 2 :4C yx相切于点P （）求直线l的方程及点P的坐标； （）设Q在抛物线C上，A为PQ的中点过A作y轴的垂线，分别交抛物线C和直线l于 M，N记PMN的面积为 1 S，QAM的面积为 2 S，证明： 12 SS 5 19 （本小题满分 13 分） 已知函数 ln
8、 ( ) x f xax x ，曲线( )yf x在1x 处的切线经过点(2, 1) （）求实数a的值； （）设1b ，求( )f x在区间 1 , b b 上的最大值和最小值 20 （本小题满分 13 分） 数列 n A： 12 ,(2) n aaan的各项均为整数，满足：1 (1,2, ) i ain，且 123 1231 22220 nnn nn aaaaa ，其中 1 0a （）若3n ，写出所有满足条件的数列 3 A； （）求 1 a的值； （）证明： 12 0 n aaa 6 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1C 2A 3D 4B
9、 5D 6C 7A 8A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9， 6 5 106 11 1 3 122n （答案不唯一） 13 1 ,3 2 14D 注：第 9 题第一空 3 分，第二空 2 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分） 解：（）因为函数tanyx的定义域是 |, 2 xxkkRZ， 所以( )f x的定义域为 |, 2 xxkkRZ 4 分 （）( )(1tan ) sin2f xxx sin (1) sin2 cos x x x 5 分 2 sin22sinxx 6
10、 分 sin2cos21xx 7 分 2sin(2)1 4 x 7 8 分 由( )2f，得 2 sin(2) 42 9 分 因为 0，所以 7 2 444 ， 10 分 所以 2 44 ，或 3 2 44 11 分 解得 4 ，或 2 （舍去） 13 分 16 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 /CDEF，且CDEF， 所以 四边形CDFE为平行四边形， 所以 /DFCE 2 分 因为 DF 平面BCE， 3 分 所以 /DF平面BCE 4 分 （）在平面ABEF内，过A作AzAB 因为 平面ABCD 平面ABEF，平面ABCDI平面ABEFAB， 又 Az 平面ABEF，AzAB，
11、所以 Az 平面ABCD， 所以 ADAB，ADAz，AzAB 如图建立空间直角坐标系Axyz 5 分 由题意得，(0,0,0)A，(0,4,0)B，(2,2,0)C，(0,3, 3)E，(0,1, 3)F 所以 (2, 2,0)BC ，(0, 3, 3)BF 设平面BCF的法向量为( , , )x y zn， 则 0, 0, BC BF n n 即 220, 330. xy yz 8 令1y ，则1x ，3z ，所以 (1,1, 3)n 7 分 平面ABF的一个法向量为 (1,0,0)v， 8 分 则 5 cos, |5 n v n v n v 所以 二面角CBFA的余弦值 5 5 10 分
12、 （）线段CE上不存在点G，使得AG 平面BCF，理由如下： 11 分 解法一：设平面ACE的法向量为 111 (,)x y zm， 则 0, 0, AC AE m m 即 11 11 220, 330. xy yz 令 1 1y ，则 1 1x ， 1 3z ，所以 ( 1,1,3) m 13 分 因为 0m n， 所以 平面ACE与平面BCF不可能垂直， 从而线段CE上不存在点G，使得AG 平面BCF 14 分 解法二：线段CE上不存在点G，使得AG 平面BCF，理由如下： 11 分 假设线段CE上存在点G，使得AG 平面BCF， 设 CGCE ，其中0,1 设 222 (,)G xyz，
13、则有 222 (2,2,)( 2 , , 3 )xyz ， 所以 2 22x， 2 2y， 2 3z，从而 (22 , 2,3 )G， 9 所以 (22 ,2, 3 )AG 13 分 因为 AG 平面BCF，所以 /AGn 所以有 2223 113 ， 因为 上述方程组无解，所以假设不成立 所以 线段CE上不存在点G，使得AG 平面BCF 14 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）根据分层抽样原则，容量为 100 的样本中，患病者的人数为 3.4 10040 8.5 人 2 分 10.100.350.250.150.100.05a ， 10.100.200.300.40b 4 分 （）
14、指标检测数据为 4 的样本中， 有患病者400.208人，未患病者600.159人 6 分 设事件 A 为“从中随机选择 2 人，其中有患病者” 则 2 9 2 17 C9 (A) C34 P， 8 分 所以 25 (A)1(A) 34 PP 9 分 （）使得判断错误的概率最小的 0 4.5X 11 分 当 0 4.5X 时，判断错误的概率为 21 100 13 分 18 （本小题满分 14 分） 10 解：（）由 2 1, 4 ykx yx 得 22 (24)10k xkx 2 分 依题意，有0k ，且 22 (24)40kk 解得 1k 3 分 所以直线l的方程为1yx 4 分 将 1k
15、代入，解得 1x ， 所以点P的坐标为(1,2) 5 分 （）设 ( , )Q m n， 则 2 4nm，所以 12 (,) 22 mn A 7 分 依题意，将直线 2 2 n y 分别代入抛物线C与直线l， 得 2 (2)2 (,) 162 nn M ， 2 ( ,) 22 n n N 8 分 因为 22 (2)444441 | 16216164 nnnnmnmn MN ， 10 分 22 1(2)(88)(44) | 21616 mnmnn AM (88)(444)1 164 mmnmn ， 12 分 所以 | |AMMN 13 分 又 A为PQ中点，所以PQ，两点到直线AN的距离相等，
16、11 所以 12 SS 14 分 19 （本小题满分 13 分） 解：（）( )f x的导函数为 2 2 1 ln ( ) xax fx x ， 2 分 所以(1)1fa 依题意，有 (1)( 1) 1 12 f a ， 即 1 1 12 a a ， 4 分 解得 1a 5 分 （）由（）得 2 2 1ln ( ) xx fx x 当0 1x时， 2 10x，ln0x，所以( )0fx，故( )f x单调递减 所以 ( )f x在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减 8 分 因为 1 01b b ， 所以 ( )f x最大值为(1)1f 9 分 设 111 ( )( )( )()
17、lnh bf bfbbb bbb ，其中1b 10 分 则 2 1 ( )(1)ln0h bb b ， 故 ( )h b在区间(1,)上单调递增 11 分 12 所以 ( )(1)0h bh， 即 1 ( )( )f bf b ， 12 分 故 ( )f x最小值为 11 ( )lnfbb bb 13 分 20 （本小题满分 13 分） 解：（）满足条件的数列 3 A为：1, 1,6 ；1,0,4；1,1,2；1,2,0 3 分 （） 1 1a 4 分 否则，假设 1 1a ，因为 1 0a ，所以 1 1a又 23 ,1 n aaa，因此有 123 1231 2222 nnn nn aaaa
18、a 123 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) nnn 123 222211 nnn ， 这与 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 矛盾！ 所以 1 1a 8 分 （）先证明如下结论：1,2,1kn ，必有 12 12 2220 nnn k k aaa . 否则，令 12 12 2220 nnn k k aaa ， 注意左式是2n k 的整数倍，因此 12 12 2222 nnn kn k k aaa 所以有： 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 12 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) n kn kn k 12 22221 n kn kn k 1， 13 这与 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 矛盾！ 所以 12 12 2220 nnn k k aaa 10 分 因此有： 1 12 123 12 121 23 1221 0, 20, 420, 2220, 2220. kk kk nn nn a aa aaa aaaa aaaa 将上述1n 个不等式相加得 12 121 (21)(21)(21)0 nn n aaa ， 又 123 1231 22220 nnn nn aaaaa ， 两式相减即得 12 0 n aaa 13 分