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1、2011年高考宁夏数学文科试题解析(新课标卷)2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分。第?卷1至2页。第?卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第?卷 注意事项: 1(答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2(每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ( 3(第?卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的。 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合M 0,1,2,3,4 ,N 1,3,5 ,P M N,则P的子集共有 (A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个 解析:本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然P= 1,3 ，子集数为22=4 故选B(2)复数5i 1,2i (A)2,i (B)1,2i (C),2,i (D),1,2i 解析:本题考查复数的运算，属容易题。 解法一:直接法5i 1,2i 5i,1,2i, ,1,2i,1,2i, ,2,i，故选C 解法二:验证法 验证每个选项与1-2i
3、的积，正好等于5i的便是答案。 (3)下列函数中，即是偶数又在,0, ,单调递增的函数是 ,xA. y x3 B. y x,1 C. y ,x2,1 D. y 2 解析:本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题 可以直接判断:A是奇函数，B是偶函数，又是,0, ,的增函数，故选B。 (4).椭圆x2 16,y2 8 1的离心率为 - 1 - A. B. 3 112 C. 3 D. 2 ca 224 22 解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e= , 故选D。也可以用公式e 1, 2 a 22 1, 816 12 . e 22 故选D。 (5)执行右面得程序框图，如果输入的N是6，
4、 那么输出的p是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 解析:本题考查程序框图，属于容易题。 可设P1 1,K1 2 则P2 2，K,2 3 PPPP 3 6，K ,3 4 5 4 24，K ,4 5 120，K,5 6 720，K,6 7 6 6 输出720.故选B (6)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A) (B) 31 12 (C) 23 (D) 34 解析:本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C. 他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共
5、3中，故概率为 39 13.故选 A。 (7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2 = - 2 - (A),4 5 (B), (C) (D) 553345 解析:本题考查三角公式，属于容易题。 易知tan =2，cos = 1 5.由cos2 =2cos -1=,23 5 故选B (8)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为 解析:本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。 由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D (9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴
6、垂直。l与C交于A,B两点，AB=12，P为C的准线上一点，则 ABP的面积为 (A)18 (B)24 (C)36 (D)48 解析:本题考查抛物线的方程，属于中等题。 易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C。 (10)在下列区间中，函数的零点所在的区间为 解析:本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选C。 (11)设函数，则 (A)y=在单调递增，其图像关于直线 - 3 - 对称 (B)y=在单调递增，其图像关于直线 2 对称 4 (C)y= f (x) 在(0，)单调递减，其图像关于直线x = )单调递减，其图像关于直线
7、x = 2 2 对称 对称 (D)y= f (x) 在(0， 22 解析:本题考查三角函数的性质。属于中等题。 解法一:f(x)=2sin(2x+ 其图像关于直线x = 2 )=2cos2x.所以f(x) 在(0， )单调递减， 对称。故选D。 解法二:直接验证 由选项知(0，)不是递增就是递减，而端点值又 2 有意义，故只需验证端点值，知递减，显然x = 故选D。 4 不会是对称轴 2 (12) 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x ,1，1 时 f (x) =x,那么函数y = f (x) 的 图像与函数y =lgx的图像的交点共有 (A)10个 (B)9个 (C)8个 (D)1个
8、解析:本题考查函数的图象和性质，属于难题。 本题可用图像法解。易知共10个交点 - 4 - 第?卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。 二(填空题:本大题共4小题，每小题5分。 (13)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= 。 解析:本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。 解法一:直接法 (a+b)(ka-b)=0展开易得k=1. 解法二:凭经验 k=1时a+b, a-b数量积为0，易知k=1. (14)若变量x，y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为
9、。 解析:本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。 易得z=x+2y的最小值为-6。 (15)?ABC中B=120?，AC=7，AB=5，则?ABC的面积为 。 解析:本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。 有余AB2 AC 15 42,BC 2,2AC BCcos0 所以BC=3，有面积公式得S=3 (16)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的3 16 ，则这两个圆锥中，体积 较小者的高与体积较大者的高的比值为 。 解析:本题考查球 R2,大圆锥的高为3R 24 R 1 3 22 316 所以rR 32，
10、则小圆锥的高为，所以比值为 三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) - 5 - 已知等比数列 an 中，a2 13 ，公比q 13 。 1,an 2 (I)Sn为 an 的前n项和，证明:Sn (II)设bn log3a1,log3a2, ,log3an，求数列bn的通项公式。 解析:本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。 n,1 n (I) a n 1 1 3 3 1 S 3 n 1 1,1 1,1nn 3 3 121, 3 Sn 1,an 2 (II)bn log3a1,log3a2, ,log3an =-(1+2+3+ 数列bn n(n
11、,1) +n)=- 的通项公式为bn=- 2n(n,1) 2 (18)(本小题满分12分) 如图，四棱锥P,ABCD中，底面ABC为D平行四边形。 DAB 60,AB 2AD,PD 底面ABCD 。 (I)证明:PA BD (II)设PD AD 1，求棱锥D,PBC的高。 解:(? )因为 DAB 60 ,AB 2AD, 由余 弦定理得BD 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD 又PD 底面ABCD，可得BD PD 所以BD 平面PAD. 故PA BD (?)过D作DE?PB于E，由(I)知BC?BD,又PD?底面ABCD，所以BC?平面PBD，而DE 平面PBD，故DE?BC,所以DE
12、?平面PBC 由题设知PD=1，则BD=3,PB=2，由DE)PB=PD)BD得DE= 32 , 即棱锥 - 6 - D,PBC的高为3 2 (19)(本小题12分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方(分别称为A分配方和B分配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果: (?)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率; (?)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为 估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产
13、的上述100件产品平均一件的利润。 解:本题考查概率的基本知识，属于容易题。 (?)由实验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为 所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3。 由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为 所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. (?)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率当且仅当 t?94,由试验结果知，t?94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为 - 7 - 22,8100=0.332,10100=0.42， 1100 4 ,-
14、2,54 2,42 4 =2.68(元) (20)(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线y x2,6x,1与坐标轴的交点都在圆C上 (?)求圆C的方程; (?)若圆C与直线x,y,a 0交与A，B两点，且OA OB，求a的值。 解析:本题考查圆的方程和直线和圆的关系。 (?)曲线y x2,6x,1与坐标轴的交点为(0,1)(3 22,0) 故可设圆的圆心坐标为(3，t)则有3,解得t=1,则圆的半径为所以圆的方程为 2 2 ,t-1, 2 ,22,+t 2 2 3 2 , ,t,1, 2 2 3 ,x,3,y,1, 1 2 9 (?)设A(x1,y) B(x2,y)其坐标满足方程
15、组 x,y,a 0 2 2 2 ,x,3,y,1, 9 2 2 消去y得到方程2x,(2a,8)x,a,2a,1 0 由已知可得判别式?=56-16a-4a>0 由韦达定理可得x1,x2由OA OB可得x1x2, 2x1x2 ,a(x1, 4,a，x1x2 2 2 ,2a,12 ? yy 1 2 0.又 y 1 x 1 ,a y 2 x 2 ,a。所以 x2),a 2 0 ? 由?可得a=-1,满足?>0，故a=-1。 (21)(本小题满分12分) 已知函数f(x) x,2y ,3 0。 alnxx,1 , bx )，曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 - 8 - (
16、?)求a、b的值; (?)证明:当x 0，且x 1时，f(x) lnx x,1。 解析:本题考查导数的基本概念和几何意义， (x,1,lnx)b,22(x,1)x(?)f(x) f(1) 1, 由于直线x,2y,3 0的斜率为,，且过点(1,1)，故 1即 2 f(1) , 21 b 1, a1 ,b , 22 解得a 1，b 1。 (?)由(?)知f(x)= f(x),lnx x,1 1 1,lnxx,1,21x,所以 x2 2lnx, ,1 x 考虑函数 则h(x)=2 x,22,22,1, ,x,1,x lnx x,1 lnx22x 所以x?1时h(x),0而h(1)=0故 x ,0,1
17、,时h(x)>0可得f(x) x ,1，, , h(x)<0可得f(x) 从而当x 0，且x 1时， 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 (22)(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选 x,1lnxf(x) 。 x,1 - 9 - 讲如图，D，E分别为 的边AB，AC上的点，且不与 ABC的顶点重合。已知AE的长为m，AC的长为n，AD,AB的长是关于x的方程x2,14x,mn 0的两个根。 (?)证明:C，B，D，E四点共圆; (?)若 A 90 ，且m 4,n 6，求C，B，D，E所在圆的半径。 解析:(?)连结
18、DE,根据题意在?ADE和?ACB中，ADAB=mn=AEAC 即AD AC AE AB,又?DAE=?CAB,从而?ADE,?ACB 因此?ADE=?ACB,所以C,B,D,E四点共圆。 (?)m=4,n=6,方程x2,14x,mn 0的两根为2,12.即AD=2，AB=12 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连结D,H,因为C,B,D,E四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于?A=90 故GH?AB,HF?AC.从而HF=AG=5，DF=5，故半径为52. (23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 x 2cos y 2,2sin 0( 为参数) M是C1上的动点，P点满足 (?)求C2的方程 ,P点的轨迹为曲线C2 (?)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB. (24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x) x,a,3x,其中a 0。 (?)当a 1时，求不等式f(x) 3x,2的解集 (?)若不等式f(x) 0的解集为 x|x ,1 ，求a的值 - 10 - 3与C1