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1、2011年高考数学 考点49 几何证明选讲考点49 几何证明选讲 一、选择题 1.(2011?北京高考理科?T5)如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F，E 延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论:?AD+AE=AB+BC+CA;C O AFAGADAE,AFBADG?;?.其中正确结论的序号 F G 是( ) A B D A.? B.? C.? D.? 【思路点拨】利用切割线定理、割线定理、弦切角定理. 【精讲精析】选A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE，故?正确;因为22222？,AEADAFAG，故?正确;AEAFAGA
2、DAFAG,？,AEADAFAG()0，AFBBFG,，FDGBFG？，,，,，AFBFDGADG？,AFBADG与 ,180， 不相似，故?不正确. 二、填空题 ,AEBC,，,ACD902(2011?陕西高考理科?T15B)(几何证明选做题)如图，?B=?D，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= ( 【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解( 42【精讲精析】答案: ,AEBC,，,ACD90因为，所以?AEB=， ACAD,又因为?B=?D，所以?AEB?ACD，所以, AEABABAC,，642222AE,2BEABAE,6242所以，在Rt?AE
3、B中，( AD123(2011?陕西高考文科?T15B)(几何证明选做题)如图，?B=?D， ,AEBC,，,ACD90，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ( 【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解( 【精讲精析】答案:2 ,AEBC,因为，所以?AEB=， ，,ACD90ACADABAC,，64又因为?B=?D，所以?AEB?ACD，所以，所以( ,AE,2AEABAD124.(2011?广东高考理科?,15)(几何证明选讲选做题)如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线OPCPB,7BC,5交圆于,且，是圆上一点使得，AB,AB,，,，BACAPB
4、，则 . 【思路点拨】利用相似三角形对应边成比例，求得的值. AB35【精讲精析】答案: ？，PAB,，ACB,又，BAC,，APB？,ABP,2ABPB？,AB,PB,BC,7，5,35？AB,35,ABC,从而. BCAB5.(2011?广东高考文科?,15)(几何证明选讲选做题)如图4，在梯形ABCD中，AB?CD，AB=4，CD=2. E,F分别为AD，BC上的点，且EF=3，EF?AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 . 【思路点拨】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解. 7【精讲精析】答案: 5S,GAB16,4延长AD、BC相交于点G.由已知GAB?GDC，GEF?G
5、DC,所以，,S4,GCDS,GEF9,， S4,GCD5S,3SS,S从而,所以梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为3:ABCD,GCDEFCD,GCD45712=,从而得梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 4556(2011?湖南高考理科?T11)如图2，A，E是半圆周上的两个三等分点，,BC直径BC=4，AD，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长 为_ 【思路点拨】本题主要考查平面几何的推理和证明.考查圆的切割弦以及三角形的相似和直角三角形的射影定理. 23,【精讲精析】答案:.连结AB、AO、CE、OE，则是边长为2的等边三角形，,ABD60,OAB,OCE3323AD=，所以
6、得到AF=. ,2,332CD7.(2011.天津高考理科.T12)如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，ABFEABCECE且若与圆相切，则线段的长为_ DFCFAFFBBE=2,:4:2:1.【思路点拨】利用相交线及切线的比例关系求解。 7【精讲精析】答案: 212AFFBDFFC? 设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为,所以82xx=?,又272 CEBEAECEx=?=,7.即2三、解答题 2011?江苏高考?,21A)(选修4-1:几何证明选讲)如图，圆与8.(O1AAB圆内切于点，其半径分别为与，圆的弦交圆于Orrrr(),OO2212211CAB点(不在上)， O
7、1第图21-AABAC:求证:为定值。 【思路点拨】本题考察的是圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质， 容易题。解决本题的关键是弦切角定理的应用 ABOBr11【精讲精析】由弦切角定理可得 AOCAOB,？, 21ACOCr2,ABCDE9.(2011?新课标全国高考理科?,22)如图，分别为的 ,ABCABAEAC边，上的点，且不与的顶点重合.已知的长为， m 2xxmn,，,140ADABAC的长为n,，的长是关于的方程的两个根. xBDEC(?)证明:，四点共圆; ，,:A90BDECmn,4,6(?)若，且，求，所在圆的半径. ,ACB,，,，ADEACBDE,ADE【思路点拨】第
8、(?)问的证明流程为连接? ,CBD,E四点共圆;第(?)问，利用平面几何的性质，设法寻求圆心位置，然后求得半径. ,【精讲精析】(I)连接DE，根据题意在?ADE和?ACB中， ADABmnAEAC，,，ADAE,即.又?DAE=?CAB,从而?ADE?ACB 因此?ADE=?ACB ACAB所以C,B,D,E四点共圆. 2(?) m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x=2,x=12.故 AD=2，AB=12. 12取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径
9、为DH. 10由于?A=90，故GH?AB, HF?AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5. 2故C,B,D,E四点所在圆的半径为5 210.(2011?辽宁高考理科?,22)(选修4-1:几何证明选讲) 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED( (I)证明:CD/AB; (II)延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明:A，B，G，F四点共圆( ，ECD,，EDC,，EBAI)可证【思路点拨】(，即得CD/AB;(II)利0，AFG，GBA,180用三角形全等及平行线的知识可证得，得结论( EC,ED，EDC,，ECD【精讲精析】(I)因为，所以. ，EDC,，EBA因为 四点在同一圆上，所以， A,B,C,D，ECD,，EBACDAB故，所以?. EF,EG，EFD,，EGCAE,BE(II)由(I)知，因为，故， ，FED,，GEC从而. ,EFA,EGB，FAE,，GBE连接，则，故. AF,BGCD，EDC,，ECD，FAB,，GBAAB又?，所以. 0，AFG，GBA,180所以. 故A,B,G,F四点共圆.