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1、2015高考数学直线、圆及其位置关系圆锥曲线与方程一轮复习测试题直线、圆及其位置关系 圆锥曲线与方程 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共8小题每小题5分共40分(在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1(到直线3x,4y，1,0的距离为3且与此直线平行的直线方程是( )( A(3x,4y，4,0 B(3x,4y，4,0或3x,4y,2,0 C(3x,4y，16,0 D(3x,4y，16,0或3x,4y,14,0 222(过点A(0,3)，被圆(x,1)，y,4截得的弦长为23的直线的方程是( )( 44A(y,x，3 B(x,0或y,x，3 334C(x,0
2、或y,x，3 D(x,0 32222xyyx3(若曲线，,1与曲线，,1的离心率互为倒数，则a等于( )( 259a9A(16 B(,16 8181C( D(, 16162224(设圆C:x，y,2ax,2y，a,0(a为常数)被y轴所截得的弦为AB，若弦AB所对圆心角为，则实数a,( )( 2A(1 B(?1 22C. D(? 2222xy2(已知双曲线5,1(a,0，b,0)的左顶点与抛物线y,2px(p,0)的焦点的距离为22ab4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(,2，,1)，则双曲线的焦距为( )( A(23 B(25 C(43 D(45 226(2012辽宁高考)将
3、圆x，y,2x,4y，1,0平分的直线是( )( A(x，y,1,0 B(x，y，3,0 C(x,y，1,0 D(x,y，3,0 22xy7(设A，A是椭圆，P是垂直于AA的弦的端点，,1的长轴的两个端点，P12121294则直线AP与AP交点的轨迹方程为( )( 11222222xyyxA.，,1 B.，,1 94942222xyyxC.,1 D.,1 494922xy28(2012浙江温州二模)抛物线y,2px(p,0)的焦点为F，其准线经过双曲线,22ab1(a,0，b,0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|,2p，则双曲线的离心率为( )( 105A. B(2 C.5 D
4、. 22二、填空题(本大题共7小题每小题5分共35分(将答案填在题中横线上) 22xy9(设双曲线,1(a,0)的渐近线方程为3x?2y,0，则a的值为_( 2a9122210(已知双曲线16y,mx,1(m,0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等5于_( 22xy?11(已知F(,c,0)，F(c,0)为椭圆，,1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF?PF,122212ab2c，则此椭圆离心率的取值范围是_( 12(“直线ax，2y，1,0和直线3x，(a,1)y，1,0平行”的充要条件是“a,_”( 22xy13(与双曲线,1有共同的渐近线，并且过点A(6,82)的双曲线的标准方程为9
5、16_( 214(过抛物线y,2px(p,0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，交其准线于C?点(若CB,3BF，则直线l的斜率为_( 215(已知抛物线C的方程为y,8x，设过点N(2,0)的直线l的斜率为k，且与抛物线C相交于点S，T，若S，T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，则Q点横坐标的取值范围为_( 三、解答题(本大题共6小题共75分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(12分)已知三条直线l:x,2y,0，l:y，1,0，l:2x，y,1,0两两相交，先画123出图形，再求过这三个交点的圆的方程( 22xy,52,17(12分)(2012天
6、津高考)已知椭圆，,1(a,b,0)，点P在椭圆上( 22a，a,ab52(1)求椭圆的离心率; (2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点(若点Q在椭圆上且满足|AQ|,|AO|，求直线OQ的斜率的值( 22xy18(12分)设F，F分别为椭圆C:，,1(a,b,0)的左、右焦点，过F的直线l12222ab与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60?，F到直线l的距离为23. 1(1)求椭圆C的焦距; ?(2)如果AF,2FB，求椭圆C的方程( 2219(13分)已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P到定直线l:x,22的距离之比2为. 2(1)求动点P的轨迹C的方程; ?(2)设M，N是
7、直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM?FN,0，求|MN|的最小值( 22x2y20(13分)已知椭圆C:，,1(a,b,0)的离心率e,，左、右焦点分别为F，221ab22F，抛物线y,42x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点( 2(1)求椭圆C的方程; 222(2)已知圆M:x，y,的切线l与椭圆相交于A，B两点，那么以AB为直径的圆是否3经过定点,如果是，求出定点的坐标;如果不是，请说明理由( 22xy21(13分)已知中心在原点的椭圆C:，,1的一个焦点为F(0,3)，M(x,4)(x,0)为221ab3椭圆C上一点，?MOF的面积为. 12(1)求椭圆C的方程; (2)是否
8、存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点,若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由( 参考答案 1(D 解析:设所求直线方程为3x,4y，m,0. |m,1|由,3解得m,16或m,14. 5即所求直线方程为3x,4y，16,0或3x,4y,14,0. 2(B 解析:当过点A(0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为23此时弦所在直线方程为x,0, 当弦所在的直线斜率存在时设弦所在直线l的方程为y,kx，3即kx,y，3,0. 因为弦长为23圆的半径为2 22所以弦心距为2,(3),1 |k，3|4由点到直线距离公式得,1解得k,.
9、223k，(,1)4综上所求直线方程为x,0或y,x，3. 322xyc43(D 解析:?曲线，,1的离心率为, 259a522yx5?曲线，,1的离心率为,1 a94?该曲线为双曲线a,0. 9,a581?e,解得a,. 3416224(D 解析:将已知圆的一般方程配方得(x,a)，(y,1),1由弦AB所对圆心角为2|AB|2222,可得|AB|,2R,2从而可得圆心(a,1)到y轴的距离为d,R,故a,?. ,222b5(B 解析:双曲线左顶点A(,a,0)渐近线方程y,?x(a,0b,0),抛物线焦点app,F0准线方程:x,(p,0)( ,22p由题意知|AF|,4?a，,4. 2又
10、?点(,2,1)既在渐近线上又在抛物线的准线上 p?,2?p,4则a,2. 2b又,1,?(,2) aa,2?b,1 22?在双曲线中c,a，b,5 ?双曲线的焦距为25. 226(C 解析:圆x，y,2x,4y，1,0可化为标准方程 22(x,1)，(y,2),4要使直线平分此圆则直线需过圆心(1,2)( 因此可通过代入法看哪一条直线过圆心(1,2)即可(经检验选项C满足条件(故选C. 7(C 解析:设交点为P(xy)A(,3,0)A(3,0)P(xy)P(x,y)( 12100200y,yy0?APP共线?,.? 11x,xx，30y，yy0?APP共线?,.? 22x,xx,3093y由
11、?解得x,y, 00xx22xy00代入，,1 9422xy化简得,1. 94pp,8(A 解析:由题意可得抛物线焦点F0准线x, ,22设点M坐标为(xy)( MMp,由抛物线定义可得x,2p M,23p?x,. M23p将x,代入抛物线方程得y,?3p MM23p,?点M坐标为?3p. ,2又?抛物线准线经过双曲线的左顶点 ,pp?,a,即a,. 2223pp3p2,将点M?3pa,代入双曲线方程得b, ,22823p2b810?e,1，,1，,. 22ap2422xy9(2 解析:?双曲线,1的渐近线方程为3x?ay,0?a,2. 2a922yx1,10(3 解析:双曲线的标准方程为,1
12、一个顶点坐标为0渐近线方程为,114216mmy,?x取其中一条mx，4y,0. 411由点到直线的距离, 25m，16又m,0解得m,3. ?322222，11. 解析:设P(xy)PF?PF,(,c,x,y)?(c,x,y),x，y,c,c，12，32222所以x，y,2c. 222xyb2222又，,1可得x，b,x,2c 222aba224a,a3c222整理得x,而0?x?a 2c2243ca,a322故0?a解得?e?. 2c32,a(a,1),23,0,12(,2 解析:由得a,2 (a,1)1?21,?两直线平行的充要条件是“a,2”( 2222642yxxy3613.,1 解
13、析:设方程为,将A点代入可得,. 643691691622yx?,4即,1. 643614(?22 解析:由抛物线定义|BF|等于B到准线的距离|BB|在?CBB中sin?BCB111|BF|1, |BC|3故直线l的斜率为k,?22. 15(,?，,6) 解析:设S(xy)T(xy)由题意得ST的方程为y,k(x,2)(显112222然k?0)与y,8x联立消元得ky，8y，16k,0 8则有y，y,yy,16. 1212k因为直线l交抛物线C于两点 2则,64,64k,0 8再由y,0y,0则,0 12k故,1,k,0 44,可求得线段ST的中点B的坐标为,，2, 2,kk414,所以线段
14、ST的垂直平分线方程为y，,x，,2 2,kkk4令y,0得点Q的横坐标为x,2,6 Q2k所以Q点横坐标的取值范围为(,?,6)( 16(解:由题意可知l平行于x轴l与l互相垂直( 213三交点ABC构成直角三角形经过ABC三点的圆就是以AB为直径的圆( ,x,2y,0x,2,解方程组得 ,y，1,0,y,1.,所以点A的坐标是(,2,1)( ,2x,x，y,1,01,解方程组得 ,y，1,0,y,1.,所以点B的坐标是(1,1)( 1,线段AB的中点坐标是,1 ,222又|AB|,(,2,1)，(,1，1),3 1922,所以所求圆的标准方程是x，(y，1),. ,24222aab552,
15、17(解:(1)因为点P在椭圆上故，,1可得,. aa222,5a2ba852222a,bb362于是e,1,所以椭圆的离心率e,. 22aa84(2)设直线OQ的斜率为k则其方程为y,kx设点Q的坐标为(xy) 00y,kx00,22由条件得并整理得 ,消去yx0y00，,122 ,ab22ab2x,.? 0222ka，b由|AQ|,|AO|A(,a,0)及y,kx 00,2a222222得(x，a)，kx,a整理得(1，k)x，2ax,0而x?0故x,代入?00000021，k2a222整理得(1，k),4k?，4. 2b2a832222由(1)知,故(1，k),k，4 2b55422即5
16、k,22k,15,0可得k,5. 所以直线OQ的斜率k,?5. 18(解:(1)设焦距为2c由已知可得F到直线l的距离3c,23故c,2.所以椭圆1C的焦距为4. (2)设A(xy)B(xy)由题意知y,0y,0直线l的方程为y,3(x,2)( 112212y,3(x,2),22联立, xy，,1 22,ab22224得(3a，b)y，43by,3b,0. 2,3b(2，2a)解得y, 1223a，b2(2,2a),3by,. 2223a，b?因为AF,2FB所以,y,2y 2212223b(2，2a)(2,2a),3b即,2? 222233a，ba，b22得a,3.而a,b,4所以b,5.
17、22xy故椭圆C的方程为，,1. 9522(x,2)，y219(解:(1)设点P(xy)依题意有,. 2|x,22|22xy整理得，,1. 4222xy所以动点P的轨迹C的方程为，,1. 42(2)?点E与点F关于原点O对称 ?点E的坐标为(,20)( ?MN是直线l上的两个点 ?可设M(22y)N(22y)(不妨设y,y)( 1212?EM?FN,0 ?(32y)?(2y),0 126即6，yy,0即y,. 122y1由于y,y则y,0y,0 12126?|MN|,y,y,y， 121y16?2y?,26. 1y1当且仅当y,6y,6时等号成立( 12故|MN|的最小值为26. 220(解:
18、(1)?椭圆C的离心率e, 2c2?,即a,2c. a22?抛物线y,42x的焦点F(20)恰好是该椭圆的一个顶点?a,2?c,1b,1. 2x2?椭圆C的方程为，y,1. 2(2)?当直线l的斜率不存在时( 6?直线l与圆M相切故其中的一条切线方程为x,. 36x,3由 ,2x2 ,1，y,26666,得AB ,33332,6,22则以AB为直径的圆的方程为，y,. x,33?当直线l的斜率为零时( 6?直线l与圆M相切故其中的一条切线方程为y,. 36,y,3由 ,2x2 ,1，y,2,66,66,得AB ,3333222,6,则以AB为直径的圆的方程为x，,. y，,33显然以上两圆的一
19、个交点为O(0,0)( ?当直线l的斜率存在且不为零时( 设直线l的方程为y,kx，m. 2x2,1,，y2由 , ,y,kx，m222消去y得(2k，1)x，4kmx，2m,2,0. 2,2,4km2m设A(xy)B(xy)则x，x,?x,x. 112212122222k，1k，122,2km22所以yy,(kx，m)(kx，m),kxx，km(x，x)，m,. 1212121222k，122,2k,23m?所以OA?OB,xx，yy,.? 121222k，1|m|622因为直线l和圆M相切所以圆心到直线l的距离d,整理得m,(1，2331，k2k)(? ?将?式代入?式得OA?OB,0显然
20、以AB为直径的圆经过定点O(0,0)( 综上可知以AB为直径的圆过定点(0,0)( 21(解:(1)因为椭圆C的一个焦点为F(0,3) 122所以b,a，9. 22xy则椭圆C的方程为，,1. 22aa，913因为x,0所以S,3x,解得x,1. ?MOF122故点M的坐标为(1,4)( 因为M(1,4)在椭圆上 1164222所以，,8a,9,0解得a,9或a,1(不合题意舍去) ,1得a22aa，922xy2则b,9，9,18所以椭圆C的方程为，,1. 918(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(xy)B(xy)两点 1122其方程为y,4x，m(因为直线OM的斜率k,4)( y
21、,4x，m,2222由，8mx，m,18,0. ,消去y化简得18xxy，,1 ,9182m,188m进而得到x，x,xx,. 12121818因为直线l与椭圆C相交于AB两点 22所以,(8m),418(m,18),0 2化简得m,162解得,92,m,92. 因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点 ?所以OA?OB,0 所以xx，yy,0. 12122又yy,(4x，m)(4x，m),16xx，4m(x，x)，m 1212121222,18)17(m32m22xx，yy,17xx，4m(x，x)，m,0. ，m121212121818解得m,?102. 由于?102?(,9292) 所以符合题意的直线l存在且所求的直线l的方程为y,4x，102或y,4x,102.