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1、2010年高考数学冲刺复习资料2010年高考数学冲刺复习资料(共分五大专题) 专题二:函数与导数的交汇题型分析及解题策略 命题趋势，考试要求，考点透视 1(了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法( 2(了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数( 3(掌握有理指数幂的运算性质(掌握指数函数的概念、图象和性质( 4(掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质( 5(能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题( 6(了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点
2、处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念( mxx 7(熟记基本导数公式(c，x(m为有理数)，sinx，cosx，e，a，lnx，logxa的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则(了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数( 8(理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值( 专题二:函数与导数的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高
3、考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查
4、函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解. 【考试要求】 1(了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法( 2(了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数( 3(掌握有理指数幂的运算性质(掌握指数函数的概念、图象和性质( 4(掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质(5(能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性
5、质解决某些简单的实际问题( 6(了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念( mxx 7(熟记基本导数公式(c，x(m为有理数)，sinx，cosx，e，a，lnx，logxa的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则(了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数( 8(理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值( 【考点透视】 高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相
6、结合.其主要考点: (1)考查利用导数研究函数的性质(单调性、极值与最值); (2)考查原函数与导函数之间的关系; (3)考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点:?以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值;?与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题;?利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题. 【典例分析】 题型一 导函数与原函数图象之间的关系 如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f,(x)的图象有密切的关系: 1(导函数f,(x)在x轴上、
7、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系: (1)若导函数f,(x)在区间D上恒有f,(x),0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f,(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D; (2)若导函数f,(x)在区间D上恒有f,(x),0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f,(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间. 2(导函数f,(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系:导函数f,(x)图象的零点是原函 数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点; 如果在零点的左侧为负，右侧为正，则
8、导函数的零点为原函数的极小值点. 【例1】 如果函数y,f(x)的图象如右图，那么导函数y,f,(x)的图象可能是 ( ) 【分析】 根据原函数y,f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后相间出现. 【解】 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正?负?正?负,只有答案A满足. 【点评】 本题观察图象时主要从两个方面:(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间,哪些下降区间,;(2)观察导函数f,(x)的图象哪些区间在大于零
9、的区间,哪些部分昌小于零的区间, 【例2】 设f,(x)是函数f(x)的导函数，y,f,(x)的图象如图所示，则y,f(x)的图象最有 可能是 ( ) 【分析】 先观察所给出的导函数y,f,(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y,f,(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象. 【解法1】 由y,f,(x)的图象可以清晰地看出，当x?(0,2)时，y,f,(x),0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C. 【解法2】 在导函数f,(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x
10、,0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x,0时取得极小值，只有C适合，故选C. 【点评】 (1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点;(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势. 题型二 利用导数求解函数的单调性问题 若f(x)在某区间上可导，则由f,(x),0(f,(x),0)可推出f(x)为增(减)函数，但反之则3不一定，如:函数f(x),x在R上递增，而f,(x)?0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f,(x)?0(?0)，且f,(x)在(a，b)的
11、任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单0调性的主要题型:(1)根据函数解析式，求函数的单调区间;(2)根据函数的单调性函数求解参数问题;(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题. 32【例3】 (08全国高考)已知函数f(x),x，ax，x，1，a?R(?)讨论函数f(x)的单调区间;(?)设函数f(x)在区间(,，,)内是减函数，求a的取值范围( 【分析】 第(?)小题先求导函数f,(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间;第(?)小题根据第(?)小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围. 322【解】 (?)由
12、f(x),x，ax，x，1，求导得f,(x),3x，2ax，1， 22当a?3时，?,4(a,3)?0，f,(x)?0，f(x)在R上递增， 2当a,3，f,(x),求得两根为x,，则 函数f(x)在区间(,?，)上递增，在区间(，)上递减， 在区间(，?)上递增. 2(?)由(?)得，且a,3，解得a?2. 【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a，因此解答第(?)小题时注意分类讨论.第(?)小题的解答是根据第(?)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第(?)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式来求解. 题型三 求函
13、数的极值问题 极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型:(1)根据函数解析式求极值;(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解. 53【例4】 (08?四川)设x,1和x,2是函数f(x),x，ax，bx，1的两个极值点.(?)求a和b的值;(?)略. 【分析】 先求导函数f,(x)，然后由x,1和x,2是f,(x),0的两个根建立关于a、b的方程组求解. 42【解】 因为f,(x),5x，3ax，b， 53由x,1和x,2是函数f(x),
14、x，ax，bx，1的两个极值点，所以f,(1),0，且f,(2),0， 即，解得a,，b,20. 【点评】 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系:对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a和b的值. 【例5】 (08陕西高考)已知函数f(x),(c,0，且c?1，k?R)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x,c(?)求函数f(x)的另一个极值点;(?)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M,m?1时k的取值范围( 【分析】 先求导函数f,(x)，然后令f,(,c),0及一元二次方程根与系数的关系可解决第(?
15、)小题;而解答第(?)小题须对k与c进行分类讨论进行解答. 【解】 (?)f,(x),， 2由题意知f,(,c),0，即得ck,2c,ck,0，即c,1， (*) 2?c?0，?k?0(由f,(0),0，得,kx,2x，ck,0， 由韦达定理知另一个极值点为x,1( (?)由(*)式得c,1，当c,1时，k,0;当0,c,1时，k,2( (?)当k,0时，f(x)在(,?，,c)和(1，?)内是减函数，在(,c，1)内是增函数( f(1),0，m,f(,c),0， 由M,m,，?1及k,0，解得k?. (?)当k,2时，f(x)在(,?，,c)和(1，?)内是增函数，在(,c，1)内是减函数(
16、 ?M,f(1),0，m,0，而M,m,1,?1恒成立( 综上可知，所求的取值范围为(,?，,2)?,，?)( 【点拨】 第(?)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(?)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键. 题型四 求解函数的最值问题 函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间a，b上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型:(1)根据函数的解析式求函数的
17、最大值;(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题. 2【例6】 (08浙江高考)已知a是实数，函数f(x),x(x,a).(?)略;(?)求f(x)在区间0，2上的最大值. 【分析】 首先求函数f,(x)，再解方程f,(x),0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值. 2【解】 (?)f,(x),3x,2ax(令f,(x),0，解得x,0，x,( 12当?0，即a?0时，f(x)在0，2上单调递增，从而f(x),f(2),8,4a( max当?2，时，即a?3时，f(x)在0，2上单调递减，从而f(x
18、),f(0),0( max当0,2，即0,a,3，f(x)在0，上单调递减，在，2上单调递增， 从而f(x),， max综上所述，f(x),. max【点评】 本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f,(x),0的根含有参数，在确定函数单调区间时要注意对参数a的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的. 题型五 导数与数学建模的问题 此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解
19、决实际问题的能力，这是高考中的一个热点. 【例7】 (08?湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为 V(t),， (?)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i,1,t,i表示第1月份(i,1，2，12),同一年内哪几个月份是枯水期, (?)求一年内该水库的最大蓄水量(取e,2.7计算). 【分析】 根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第(?)小题;而第(?)小题则须先求函数V,(t)，然后利用导数与函数最值关系求解. 22【解】 (?)?当0,t
20、?10时，V(t),(,t，14t,40)e，50,50，化简得t,14t，40,0， 解得t,4或t,10，又0,t?10，故0,t,4. ?当10,t?12时，V(t),4(t,10)(3t,41)，50,50，化简得(t,10)(3t,41),0， 解得10,t,，又10,t?12,故10,t?12. 综合得0,t,4,或10,t?12;故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月. (?)由(?)知:V(t)的最大值只能在(4，10)内达到. 由V,(t),e(,t，t，4),e(t，2)(t,8) 令V,(t),0，解得t,8(t,2舍去). 当t变化时，V,(t)与V(t)
21、的变化情况如下表: t (4，8) 8 (8，10) V,(t) ， 0 , V(t) ? 极大值 ? 2由上表，V(t)在t,8时取得最大值V(8),8e，50,108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米. 【点评】 本题第(?)主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第(?)主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第(?)确定函数定义域. 【例8】 (2006年福建卷)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)2关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=x,x+8 (0,x?120
22、).已知甲、乙两地相距100千米.(?)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升,(?)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为多少升, 【分析】 第(?)小题直接根据所给函数的解析式进行计算;第(?)小题须根据条件建立耗油量为h(x)关于行驶速度x的函数关系式，再利用导数的知识进行解答. 【解】 (I)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时， 3 要耗没(40,40+8)2.5=17.5(升). 答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (II)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h
23、(x)升， 32依题意得h(x)=(x,x+8)?=x+,(0,x?120)， h,(x)=,=(0,x?120)，令h,(x)=0得x=80， 当x?(0,80)时，h,(x),0,h(x)是减函数;当x?(80,120)时，h,(x),0,h(x)是增函数, ?当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值. 答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【点评】 解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.