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1、(WORD)-高考数学压轴题突破训练-函数(含详解)高考数学压轴题突破训练-函数(含详解) 高考数学压轴题突破训练:函数 1. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f,x, x,8，g,x, x,12，及任意的x 0，当甲公司投入x万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于f,x,万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险;当乙公司投入x万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g,x,万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题: (1)请解释f,0,g,0,;(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽
2、可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费, (3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费:若甲先投入a1 12万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1;而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2;同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2, ,如此得当甲调整宣传费为an时，乙调整宣传费为bn;试问是否存在liman，limbn的值，若存在写出此极限值(不必证明)，若不存在，说明理由. n n 2. 已知三次函数f(x) x,ax,bx,c在y轴上的截距是2，且在(, ,1),(2, )上单调递增，在(,1， 2)上单调递减. (?)
3、求函数f (x)的解析式; (?)若函数h(x) 3. 已知函数 (x) 5x,5x,1(x R)，函数y f(x)的图象与 (x)的图象关于点(0,)中心对称。 (1)求函数y f(x)的解析式; (2)如果g1(x) f(x)，gn(x) fgn,1(x)(n N,n 2)，试求出使g2(x) 0成立的x取值范围; (3)是否存在区间E，使E xf(x) 0 对于区间内的任意实数x，只要n N，且n 2时，都有232f (x),(m,1)ln(x,m)，求h(x)的单调区间. 3(x,2)12 gn(x) 0恒成立, 4(已知函数:f(x) x,1,a(a R且x a) a,x (?)证明
4、:f(x)+2+f(2a,x)=0对定义域内的所有x都成立. (?)当f(x)的定义域为a+ 21,a+1时，求证:f(x)的值域为,3，,2; 2 (?)设函数g(x)=x+|(x,a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 . 0,x 5. 设f(x)是定义在0,1上的函数，若存在x (0,1)，使得f(x)在上单调递增，在x,1上单调递减，则称f(x) 为0,1上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的0,1上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法. (1)证明:对任意的x1,x2 (0,1)，x1 x2，若f(x1) f(x2)，则(0,x2)为含峰区间;若
5、f(x1) f(x2)，则(x1,1)为含峰区间; (2)对给定的r(0 r 0.5)，证明:存在x1,x2 (0,1)，满足x2,x1 2r，使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于0.5,r; 6. 设关于x的方程2x,ax,2 0的两根分别为 、 , ,，函数f(x) 2*4x,a 2x,1 (1)证明f(x)在区间, , ,上是增函数; (2)当a为何值时，f(x)在区间 , 上的最大值与最小值之差最小 7. 已知函数f(x) 134x,ax,b(a,b R)在x 2处取得的极小值是,. 33 (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若x ,4,3时，有f(x) m,m, 8. 已知二
6、次函数f(x) ax,bx,1(a 0,b R),设方程f(x),x有两个实数根x1、x2. (?)如果x1 2 x2 4，设函数f(x)的对称轴为x,x0,求证x01; (?)如果0 x1 2，且f(x),x的两实根相差为2，求实数b 的取值范围. 9. 函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件:?对任意x R，有f(x) 0; ?对任意x、y R，有f(xy) f(x);?f() 1. 则 (1)求f(0)的值; (4分) y2210恒成立，求实数m的取值范围. 313 (2)求证:f(x)在R上是单调增函数; (5分) (3)若a b c 0,且b ac，求证:f(a),f(c) 2f(
7、b). 10. 已知函数f(x) x,4x,ax,1在区间0，1上单调递增，在区间1，2上单调递减; (1)求a的值; (2)求证:x=1是该函数的一条对称轴; (3)是否存在实数b，使函数g(x) bx,1的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点,若存在，求出b的值;若不存在，请说明理由. 11. 定义在区间(0， )上的函f(x)满足:(1)f(x)不恒为零;(2)对任何实数x、q,都有f(x) qf(x). (1)求证:方程f(x)=0有且只有一个实根; (2)若abc1,且a、b、c成等差数列，求证:f(a) f(c) f(b); (3)(本小题只理科做)若f(x) 单调递增，且mn0
8、时，有f(m) f(n) 2f(2q24322m,n)， 求证:3 m 2,2 2312. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x 10x(单位:万元), 成本 函数为C (x) = 460x + 5000 (单位:万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) f (x). 求:(提示:利润 = 产值 成本) (1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本
9、题中的实际意义是什么, (a 0且a 1)( (1) 试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间; 13. 已知函数f(x)(2) 已知当x 0时，函数在 上单调递减，在, )上单调递增，求a的值并写出函数的解析式; (3) (理)记(2)中的函数的图像为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴,若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由( (文) 记(2)中的函数的图像为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形,若是，请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是，请说明理由( 14. 已知函数f(x) logax和g(x) 2loga(2x,t,2),(a 0,a 1,t R)
10、 的图象在x 2处的切线互相平行. (?) 求t的值; (?)设F(x) g(x),f(x)，当x 1,4 时，F(x) 2恒成立，求a的取值范围. 15. 设函数f(x)定义在R,上，对任意的m,n R，恒有f(m n) f(m),f(n)，且当x 1时，f(x) 0。试解决以下问题: (1)求f(1)的值，并判断f(x)的单调性; (2)设集合A (x,y)|f(x,y),f(x,y) 0 ,B (x,y)|f(ax,y,2) 0,a R ，若A B ，求实数,a的取值范围; (3)若0 a b，满足|f(a)| |f(b)| 2|f( 16. (理科)二次函数f(x)=x,ax,b(a、
11、b R) (I)若方程f(x)=0无实数根，求证:b0; (II)若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证:f(,a)= (III)若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得f(k) (文科)已知函数f(x)=ax,bx,c，其中a N,b N,c Z. (I)若b2a,且 f(sinx)(x?R)的最大值为2，最小值为,4，试求函数f(x)的最小值; (II)若对任意实数x，不等式4x f(x) 2(x,1)恒成立,且存在x0使得f(x0) 2(x 220a,b)|，求证:3 b 2,2212(a,1); 41. 42*,1)
12、成立，求c的值。 17. 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足:对任意x、y (-1,1)都有 (I)求证:函数f(x)是奇函数; (II)如果当 时，有f(x)0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明; 。 (III)设-1a2a，且f(sinx)(x?R)的最大值为2，最小值为,4，试求函数f(x)的最小值; 22(2)若对任意实数x，不等式4x?f(x)?2(x，1)恒成立，且存在x0，使得f(x0)2(x0，1)成立，求c 的值。 20. (理)已知f(x)=In(1+x2)+ax(a?0) (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:(1+111)(1+) (1+)e(n
13、?N*),n?2其中无理数e=2.71828 ). 44423n (文)设函数f(x) 为o,-a. (1)求证:0?13ax,bx2,cx(a b c)，其图象在点A(1,f(1),B(m,f(m)处的切线的斜率分别3b1; a (2)若函数f(x)的递增区间为s,t，求s-t的取值范围. 21.设函数f(x) ,13x,2ax2,3a2x,b(0 a 1) 3 (1)求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值; (2)当x?a+1, a+2时，不等|f (x)| a，求a的取值范围. 22. 已知函数f(x) x,16,7x，函数g(x) 6lnx,m. x,1 (1)当x
14、 1时，求函数f(x)的最小值; (2)设函数h(x)=(1,x)f(x)+16，试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数. 23. 已知二次函数f(x) ax,bx,c,直线l1:y ,t,8t(其中0 t 2.t为常数);l2:x 2.若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示. (?)求a、b、c的值; (?)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式; (?)若g(x) 6lnx,m,问是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交 点,若存在，求出m的值;若不存在，说明理由.
15、 22 24. 已知f(x) x(x,a)(x,b)，点A(s,f(s), B(t,f(t) (I) 若a b 1,求函数f(x)的单调递增区间; (II)若函数f(x)的导函数f (x)满足:当|x|?1时，有|f (x)|?3恒成立，求函数f(x)的解析表达式; 2 (III)若0a,1时，,m 1，由h (x) 0得x ,1时，在(1，2)，(2，+?)上单增;在(,m，1)单减.12分 3.解:(1)f(x) 5x,5x (6分) (2)由g2(x) 5g1(x),5g1(x) 0解得g1(x) 0或g1(x) 1 即5x,5x 0或5x,5x 1 解得x 0或x 1或22225,5,
16、5 x (12分) 1010 (1) 由xf(x) 0 xx 0或x 1 ， 又(5,5,5,) xx 0或x 1 ， 1010 当x (5,55,2,)时，g2(x) 0，g3(x) 5g2(x),5g2(x) 0， 1010 5,5,5,)，命题成立。(14分) 1010?对于n 2,3时，E ( 以下用数学归纳法证明E (5,55,)对n N，且n 2时，都有gn(x) 0成立 1010 假设n k(k 2,k N)时命题成立，即gk(x) 0， 那么gk,1(x) fgk(x) 5gk(x),5gk(x) 0即n k,1时，命题也成立。 ?存在满足条件的区间E ( 4.解:(?)证明:
17、f(x),2,f(2a,x) 25,55,)。 1010x,1,a2a,x,1,a ,2,a,xa,2a,x x,1,aa,x,1x,1,a,2a,2x,a,x,1 ,2, 0 a,xx,aa,x ?结论成立 4分 ,(a,x),11 ,1,a,xa,x 1111当a, x a,1时,a,1 ,x ,a,1 a,x ,2 ,1 222a,x 1,3,29分 ,3 ,1, ,2 即f(x)值域为a,x(?)证明:f(x) (?)解:g(x) x,|x,1,a|(x a) (1)当x a,1且x a时,g(x) x,x,1,a (x,), 如果a,1 ,221223,a 411 即a 时，则函数在
18、a,1,a)和(a, )上单调递增 22 g(x)min g(a,1) (a,1)2 11113如果a,1 ,即当a 且a ,时,g(x)min g(,) ,a 22224 1时，g(x)最小值不存在11分 2 1252(2)当x a,1时g(x) x,x,1,a (x,),a, 24 1315如果a,1 即a 时g(x)min g() a, 2224当a , 如果a,1 1即a 3时g(x)在(, ,a,1)上为减函数g(x)min g(a,1) (a,1)213分 22 353当a 时(a,1)2,(a,) (a,)2 0242 综合得:当a 当131当a 时(a,1)2,(,a) (a,
19、)2 0 242113且a 时 g(x)最小值是,a 2241335 a 时 g(x)最小值是(a,1)2 当a 时 g(x)最小值为a, 2224 1当a ,时 g(x)最小值不存在 2 5.解:(1)证明:设x为f(x)的峰点,则由单峰函数定义可知, f(x)在0,x上单调递增, 在x,1上单调递减, * 当f(x1) f(x2)时,假设x* (0,x2),则x1 x2x*,从而f(x) f(x2) f(x1),这与f(x1) f(x2)矛盾,所以* x* (0,x2),即(0,x2)为含峰区间. 当f(x1) f(x2)时,假设x* (x1,1),则x* x1 x2,从而f(x) f(x
20、1) f(x2),这与f(x1) f(x2)矛盾,所以* x* (x1,1),即(x1,1)为含峰区间.(7分) (2)证明:由(1)的结论可知: 当f(x1) f(x2)时, 含峰区间的长度为l1 x2; 当f(x1) f(x2)时, 含峰区间的长度为l2 1,x1; 对于上述两种情况，由题意得 x2 0.5,r ? 1,x 0.5,r1 由?得1,x2,x1 1,2r,即x2,x1 2r， 又因为x2,x1 2r，所以x2,x1 2r ? .5,r，x2 0.5,r， ? 将?代入?得x1 0由?和?解得x1,0.5,r，x2,0.5,r， 所以这时含峰区间的长度l1 l2 0.5,r，
21、即存在x1,x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5,r ,2(2x2,ax,2)6.解:(1)证明:f(x) ， 22(x,1) 由方程2x,ax,2 0的两根分别为 、 , ,知 2 x , , ,时，2x2,ax,2 0，所以此时f(x) 0， 所以f(x)在区间, , ,上是增函数 (2)解:由(,)知在, , ,上，f(x)最小值为f( )，最大值为f( )， f( ),f( ) 4 ,a4 ,a,22 ,1 ,1 ( , )a( , ),4,4 22 ,( , )2,2 ,1 a2 ,4， 4a , ， ,1，可求得 , 2 f( ),f( ) a2a2,4 (,4,4)42 a
22、2,16， 2a1,2,14 所以当a 0时，f(x)在区间 , 上的最大值与最小值之差最小，最小值为, f (2) 4,a 0 a ,4 2 7.解:(1)f(x) x,a，由题意 ， 84 b 4f(2) ,2a,b , 33 2 令f (x) x,4 0得f(x)的单调递增区间为(, ,2)和(2, ). (2) f(x) 13 x,4x,4 ，当x变化时，f (x)与f(x)的变化情况如下表: 所以x ,4,3时，f(x)max 求得m (, ,3 2, ). 2810102822 .于是f(x) m,m,在x ,4,3上恒成立等价于m,m,， 3333 8.解:(?)设g(x) f(
23、x),x ax2,(b,1)x,1,且a 0, ?由条件x1 2 x2 4,得g(2) 0且g(4) 0(2分)即4a,2b,1 0 ?3,4a 1,2a得a 1.(5分)对3,4a b 1,2a可得 4 2 8 4 2 31(4,4a b ,2a.42 分) 16a,4b,3 0 1, 1b3(8分) b11 , 2,. x , 1, 1, ,1.04a2a8a2a4a 4 8 (?)由g(x) ax2,(b,1)x,1 0可知x1x2 1 0即x1与x2同号. a 0 x1 2,x1 2 x2 4, x2,x1 2,(11分) (b,1)24 (x2,x1) (x2,x1),4x2x1 ,
24、 4 2a,1 (b,1)2,1. 2 aa 2 2 由g(2) 0即4a,2b,1 0代入有2b,1)2,1 3,2b b 1. 4 9.解:解法一:(1)令x 0,y 2，得:f(0) f(0)1分 2 f(0) 0 f(0) 14分 3 3 (2)任取x1、x2 (, , )，且x1 x2. 设x1 1p1,x2 1p2,则p1 p2 1111 f(x1),f(x2) f(p1),f(p2) f()p1,f()p2 8分 33331 f() 1,p1 p2 3 f(x1) f(x2) f(x)在R上是单调增函数 9分 (3)由(1)(2)知f(b) f(0) 1 f(b) 1 f(a)
25、ccf(b ) f(b)b bca,c bacbbf(c) f(b ) f(b)b11分 f(a),f(c) f(b),f(b) 2f(b)ba 而a,c 2ac 2 2b2 2f(b)a,c b 2f(b)2b b 2f(b) yf(a),f(c) 2f(b)15分 解法二:(1)?对任意x、y?R，有f(xy) f(x) f(x) f(x 1) f(1)1分 ?当x 0时f(0) f(1)2分 ?任意x?R， f(x) 03分 f(0) 14分 (2) f(1) 1, f(1) f(3 1) f(1)3 16分 333x0 f(x) f(1)x是R上单调增函数 即f(x)是R上单调增函数;
26、 9分 aca,c(3)f(a),f(c) f(1),f(1) 2f(1)11分 而a,c 2ac 2b2 2b 2f(1)a,c 2f(1)2b 2f(b) f(a),f(c) 2f(b) 10.解:(1) ?f(x)在 0，1 上单调递增，在 1，2 上单调递减， 当x 1时，f(x)取得极大值，?f/(x) 0,即(4x3,12x2,2ax)|x 1 0，?a 4， 的对称点的坐标为B(2,x0,f(x0), (2)设点A(x0,f(x0)是f(x)上的任一点，它关于x 1 ?f(2,x0) f(x0) x 1是y f(x)的图象的一条对称轴。 由g(x) bx2,1与f(x) x4,4
27、x3,4x2,1的图象恰有2个不同的交点对应于方程bx2,1 x4,4x3,4x2,1恰有2个不同即的 x4,4x3,4x2,bx2 0 x 0是一个根，当x 0时b 4，当x 0时方程有等根得b 0?b=4或b=0为所求. 11.解:(1)取x=1,q=2,有 f(12) f(2)即f(1) 0 1是f(x) 0的一个根，若 q存在另一个实根x0 1，使得f(x1) 0对任意的x1(x1 (0, )成立，且x1 x0(q 0),有f(x1) qf(x0) 0, f(x0) 0恒成立， f(x1) 0,与条件矛盾， f(x) 0有且只有一个实根x 1 (2) a b c 1,不妨设a b1,c
28、 b2， qq ，则q1 0，q2 0?f(a) f(c) f(b1) f(b2) q1q2 f(b)，又a+c=2b, qq2 (a,c)2 ?ac-b=, 0 42即acb2 bq1,q2 q,q b2, 0 q1,q2 2, q2q1 12 1 f(a)f(c) f2(b) 2 2 (3) f(1) 0,f(x)在(0, )单调递增，当x (0,1)时f(x) 0;当x (1, )时，f(x) 0. 又f(m) f(n), f(m) f(n),f(m) ,f(n), m n 0, f(m) ,f(n). 令m=b1,n=b2,b 1,且q1q2 0 qq m,n 则f(m)+f(n)=(
29、q1,q2)f(b)=f(mn)=0 mn 1.0 n 1 m, f(m) 2f ,且 2 m,nm,nm 1, mn 1, f(m) 2f(), f(m) 22 22,222 m,n 2 m,n f m 2 2 2即4m=m,2mn,n 4m,m,2 n,由0n1得0 4m,m,2 1, m 1， 2 3 m 2,2 12.解:(1) P(x) = R (x) C (x) = 10x + 45x + 3240x 5000 (x N且x 1, 20); 2分 2 MP (x) = P ( x + 1 ) P (x) = 30x + 60x +3275 (x N且x 1, 20). 4分 2 (
30、2) P(x) = 30x + 90x + 3240 = 30( x +9 )(x 12) (x N且x 1, 20) 7分 当1 x 0, P(x)单调递增, 当 12 x 20时, P(x) 0 , P ( x ) 单调递减. ? x = 12 时, P(x)取最大值, 10分 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大. 11分 2 (3) 由MP(x ) = 30( x 1) + 3305 (x N且x 1, 20). ?当1x2 x1,x2 ,a, a2,4b 1 x1x2 b,a2,1 b x,x 1,42 1 f(,a) b 12(a,1) (5分) 4 (III)设mx1x
31、22a0, a 1,c ,2. f(x) x,3x,2. 2 f(x)min ,17 (7分) 4 2(2) 4x f(x) 2(x,1), 4 f(1) 2(1,1) 4, f(1) 4.(1分) a,b,c 4,即b,4 ,(a,c).(1分) 又 f(x) 4x,即ax2,(b,4)x,c 0恒成立. (b,4),4ac 0,即(,a,c)2,4ac 0, (a,c)2 0, a c.(2分) b 4,2a 0,a 2,又a N. a 1或a 2.(1分)* 当a 2时,c 2, b 0, f(x) 2x2,2. 不存在 x0使f(x0) 2x0,2. 当a=1时，c=1, b 2, f
32、(x) x,2x,1. 此时存在x0,使f(x0) 2(x0,1).故c 1.(2分) 17.解:(I)证:令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0), 222 故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)= ?f(-x)=-f(x) ?函数f(x)的奇函数 4 (II)设-1x1x21，则 因此 ?函数f(x)在(-1，1)上是减函数 8 (III) 由 得x2 9 是(-1，1)上的减函数， 当a=0时， ，原不等式的解集为x|x2 10 当-1a2中原不等式的解; 若x1,x1+ 故原不等式的解集为 12 当0a1时，x2，则a(x-1)1,x1+ 故原不等式的解集为x| ? 18
33、.解:(1)?奇函数f(x)的图像上任意两点连线的斜率均为负 ，1且x1 x2有 ?对于任意x1、x2 ,1 f(x1),f(x2) 03分 x1,x2 从而x1,x2与f(x1),f(x2)异号 ?f(x)在,1，1上是减函数5分 (2) f(x,c)的定义域为c,1，c,1 f(x,c)的定义域为c,1，c,17分 ? 上述两个定义域的交集为空集 则有: c,1 c,1 或c,1 c,19分 解得:c 2或c ,1 故c的取值范围为c 2或c ,110分 (3)? c,1 c,1恒成立 由(2)知:当,1 c 2时 c,1且 222222c2,1 c,1 当1 c 2或,1 c 0时 c,1c,1 c,1 222 此时的交集为(c,1, 当0 c 1 c,112分 c,1 c,1 且 c,1 c,1 22 此时的交集为c,1,c2,1 故,1 c 2时，存在公共定义域，且 当,1 c 0或1 c 2时，公共定义域为(c,1, 当0 c 1时，公共定义域为c,1,2c,1; c2,1. 19.解:(1)由函数f(x)的图像开口向上，对称轴x,b/2a,1知，f(x)